多段變性Pascal蝸線齒輪傳動特性分析

摘要：為得到不同傳動特性的Pascal蝸線齒輪機構，基于二段變性Pascal蝸線齒輪生成機理構建多段變性Pascal蝸線齒輪機構。將Pascal蝸線曲線劃分成N段，并在每一區段內引入不同的變性系數，由此獲得多段變性Pascal蝸線。基于幾何圖學構建該曲線數學方程。將多段變性Pascal蝸線曲線應用于齒輪機構，得到一種變速傳動的非圓齒輪機構，并構建該類型齒輪機構傳動數學模型。為便于優化設計，編制了多段變性Pascal蝸線齒輪機構可視化設計平臺，分析了變性系數對Pascal蝸線族齒輪的影響，總結了變性系數選取準則。分析了三段變性Pascal蝸線齒輪機構的傳動特性和多段變性Pascal蝸線齒輪在壓力機上的應用。研究發現：在不同區段內引入不同的變性系數，可獲得不同的傳動特性；且分段數量越多，可調節性越強，獲得的傳動特性種類越多。

關鍵詞：Pascal蝸線齒輪；多段變性；傳動比；壓力角；重合度

中圖分類號：TH132.424

Analysis of Transmission Characteristics of Multi-stage Denatured Pascal Worm Gears

TAO Dehua^1* WANG Ying2 CAO Zhenxin1 LI Ning1 HU Liguang1XUAN Zhongyi1 JIANG Hongkui1

1.School of Engineering，Xingzhi College Zhejiang Normal University，Jinhua，Zhejiang，321100

2.Faculty of Mechanical Engineering and Mechanics，Ningbo University，Ningbo，Zhejiang，315211

Abstract： In order to obtain the Pascal worm gear mechanisms with different transmission characteristics， a multi-stage denatured Pascal worm gear mechanism was constructed based on 2 stage denatured Pascal worm gear generation mechanism. Pascal worm curve was divided into N segments， and different denatured coefficients were introduced in each segment， and the multi-stage denatured Pascal worm lines were obtained. The mathematical equation of the curve was constructed based on geometric graphics. The multi-stage denatured Pascal worm lines were applied to the gear mechanisms to obtain a non-circular gear mechanism for variable speed transmission， and a mathematical model of this type of gear mechanisms was constructed. A multi-stage denatured Pascal worm line gear mechanism visual design platform was compiled for facilitating the optimization of the design， the effects of denatured coefficient on Pascal worm gear were analyzed， and the selection criteria of denatured coefficient were summarized. The transmission characteristics of 3 stage denatured Pascal worm gear mechanisms were analyzed， and multi-stage denatured Pascal worm gear was applied on the presses. Results show that different transmission characteristics may be obtained by introducing different denaturation coefficients in different sections， and the larger the number of segments， the stronger the adjustability， and the more types of transmission characteristics may be obtained.

Key words： Pascal worm gear; multi-stage denaturation; transmission ratio; pressure angle; coincidence

0 引言

非圓齒輪^［1］是一種非線性、可實現變速傳動的常見機構，其中Pascal蝸線齒輪機構^［2］廣泛應用于需要變速傳動的裝置^［3］內。目前對Pascal蝸線齒輪機構的研究主要集中于Pascal蝸線齒輪、變性Pascal蝸線齒輪、高階Pascal蝸線齒輪和高階變性Pascal蝸線齒輪這幾類Pascal蝸線族齒輪，而其中的變性齒輪僅限于二段變性Pascal蝸線齒輪。

任廷志等^［4］提出了主動輪向徑按照余弦運動規律變化的余弦齒輪機構，并對其基本參數的設計過程和傳動特性進行了分析。劉永平等^［5］對Pascal蝸線齒輪機構傳動特性進行了分析，并對齒廓進行虛擬加工仿真。陶德華等^［6］對高階二段變性Pascal蝸線齒輪進行傳動特性分析，并對影響傳動規律的各設計參數進行研究總結。余俊等^［7］利用有限元分析軟件對蝸線齒輪進行模態分析，并分析了影響蝸線齒輪固有頻率的設計參數。

以上類型的Pascal蝸線族齒輪由于設計參數數量較少，不能很好地滿足復雜的傳動工況需求。本文在二段變性原理的基礎上，提出將節曲線分割成N段^［8］并引入不同的變性系數，獲得傳動特性調整靈活性更強的多段變性Pascal蝸線齒輪；利用數值分析的方法構建齒輪副節曲線及其傳動特性數學模型；編制了可視化設計平臺^［9］；研究了變性系數對Pascal蝸線族非圓齒輪的影響；研究三段變性Pascal蝸線齒輪副的節曲線形狀及其傳動特性，并將多段變性Pascal蝸線齒輪用于驅動壓力機，凸顯多段變性Pascal蝸線齒輪的可行性及其優勢。

1 多段變性Pascal蝸線曲線

1.1 Pascal蝸線曲線

圖1所示為Pascal蝸線曲線生成原理，將該曲線應用于非圓齒輪機構領域，獲得一種特殊運動規律的變速傳動機構。由圖1可知：Pascal蝸線是以（b/2，0）為圓心、b/2為半徑長，在該圓上任意一點沿其向徑方向與此點距離為l的點的軌跡。根據幾何圖學可知，該點軌跡r（Pascal蝸線曲線）的表達式為

r=bcos θ+l（1）

式中：b為發生圓直徑；θ為轉角；l為展長。

1.2 二段變性Pascal蝸線曲線

目前常見的變性非圓齒輪主要是二段變性的。圖2中1為基Pascal蝸線。在極角φ=π位置將其分割成兩段，在曲線φ∈（0，π）區段內引入變性系數m11，可將原本兩段極角φ∈（0，π）和φ∈（π，2π）調整為兩段新極角φ1∈（0，π/m11）和φ2∈（π/m11，2π）。通過改變極角可獲得變性后的Pascal蝸線（圖2中2為m11=2時的變性Pascal蝸線）。若設第二段曲線的變性系數為m12，則引入的變性系數m11和m12需滿足以下條件：

m11gt;1/2

πm11+πm12=2π（2）

1.3 多段變性Pascal蝸線曲線

為滿足更多的傳動功能需求，在二段變性Pascal蝸線節曲線的基礎上，將連續封閉的Pascal蝸線分割成N段（N≥3），如圖3所示。圖中每一段Pascal蝸線分別引入一個變性系數m1i（i∈［1，N］），通過改變m1i的數值，即可獲得不同的Pascal蝸線曲線。

根據幾何圖形和數值分析可建立多段變性Pascal蝸線曲線數學方程：

r1（φ1）=

bcos（m11φ1）+l""" φ1∈［0，2π/（Nm11））

bcos（m12（φ1－2πNm11）+2πN）+l

φ1∈［2πNm11，∑2i=12πNm1i）""

bcos（m1N（2π－φ1）+2π（N－1）N）+l

φ1∈［∑N－1i=12πNm1i，2π］（3）

式中：r1為多段變性Pascal蝸線向徑；φ1為多段Pascal蝸線轉角；m1i為多段變性Pascal蝸線上第i分段的變性系數；m1N為最后一段變性系數；N為總共的分段數。

為保證多段變性Pascal蝸線曲線封閉，各段變性系數m1i需滿足以下條件：

m1igt;1/N∑Ni=12πm1i=2πN（4）

多段變性Pascal蝸線齒輪節曲線在分段處連續驗證：

當φ1=0和φ1=2π時，根據式（3）可得兩位置節曲線向徑r1（0）=r1（2π）=b+l；

當φ1=∑ji=12πNm1i時，

r1（j+1）=r1（j）=bcos（2πjN）+l，

j為Pascal蝸線分段中的第j段。

2 多段變性Pascal蝸線齒輪機構

將多段變性Pascal蝸線曲線應用于齒輪機構中，將曲線作為齒輪節曲線可構建出多段變性Pascal蝸線齒輪副機構，如圖4所示。

2.1 多段變性Pascal蝸線副節曲線方程的建立

為便于建立多段變性Pascal蝸線副節曲線方程，以主動輪轉動中心O為原點建立坐標系Oxy。主動輪節曲線方程即為Pascal蝸線曲線方程（式（3））。根據齒輪嚙合原理及傳動特性^［10］可知，從動非圓齒輪節曲線2方程可表示為

r2（φ2）=a－r1（φ1）

φ2（φ1）=∫^φ101i12dφ1=∫^φ10r1（φ1）a－r1（φ1）dφ1（5）

式中：r2為從動輪節曲線向徑；φ2為從動輪轉角；a為齒輪副中心距。

在各段變性系數m1i滿足式（4）的前提下，根據非圓齒輪節曲線封閉性條件^［11］可知，多段變性Pascal蝸線齒輪副能夠實現準確傳動需要滿足以下條件：

2πn2=∫^2π0r1（φ1）a－r1（φ1）dφ1=

∫^2πNm110［bcos（m11φ1）+l］a－［bcos（m11φ1）+l］dφ1+

∑Ni=2∫^{∑ij=12πm1j}∑i－1j=12πm1j［bcos（m1i（φ1－∑ik=12πNm1k）+

2π（i－1）N）+l］

｛a－［bcos（m1i（φ1－∑ik=12πNm1k）+

2π（i－1）N）+l］｝^-1dφ1（6）

式中：k用于計數分段，k=1，2，，…，i。

利用數值分析和一維搜尋的優化方法先確定中心距a的取值區間，然后利用黃金分割法在確定的區間中獲得精確的中心距a的數值。由式（6）求得中心距后代入式（5）即可得到從動輪節曲線方程，其中從動輪轉角φ2可通過梯形法求解得到。

2.2 凹凸性判別

為在多段變性Pascal蝸線曲線上范成出完整齒廓，需保證所設計非圓齒輪節曲線外凸，即保證曲線上各處曲率半徑滿足以下條件：

ρ=［r2+（drdφ）2］^3/2r2+2（drdφ）2－rd2rdφ2≥0（7）

式中：φ表示對應曲線的轉角。

經推導計算，主動輪節曲線保證外凸的條件需滿足1+i12+i″12≥0；從動輪節曲線保證外凸的條件為1+i12+（i′12）2－i12i″12≥0，將傳動比i12、傳動比等式對φ1求一階導數得到的i′12和傳動比等式對φ1求二階導數得到的i″12代入主、從動輪節曲線凹凸判定條件中即可判斷凹凸性^［12］。

2.3 傳動比

由于多段變性Pascal蝸線齒輪副各位置向徑比是時變的，因此其齒輪副傳動比也是時變的^［13］。根據齒輪副嚙合傳動理論，建立多段變性Pascal蝸線齒輪副傳動比i12數學模型：

i12（φ1）=a－r1（φ1）r1（φ1）=

a－［bcos（m11φ1）+l］bcos（m11φ1）+l"" φ1∈［0，2π/（Nm11））

a－［bcos（m12（φ1－2πNm11）+2πN）+l］bcos（m12（φ1－2πNm11）+2πN）+l

φ1∈［2πNm11，∑2i=12πNm1i）

a－［bcos（m1N（2π－φ1）+2π（N－1）N）+l］bcos（m1N（2π－φ1）+2π（N－1）N）+l

φ1∈［∑N－1i=12πNm1i，2π］（8）

2.4 壓力角

圓柱齒輪齒廓在節圓上的壓力角等于刀具齒廓的齒形角α0，等于20°，而多段變性Pascal蝸線齒輪節曲線是變化的，齒廓上的壓力角并不相同。根據機構學理論，非圓齒輪嚙合點處的壓力角α12為從動輪在嚙合點處的絕對速度v2的方向和此時此嚙合點的法向力F方向間的夾角^［14］。圖5中齒廓右側為此時的工作側，其壓力角大小可表示為

α12=μ1+α0-π/2（9）

式中：μ1為節曲線在嚙合點P處的切線正向與齒輪向徑間夾角。

根據幾何學，將多段變性Pascal蝸線齒輪傳動比方程（式（8））和傳動比等式對φ1求一階導數得到的i′12代入下式：

tan μ1=r1（φ1）dr1（φ1）/dφ1=－i12+1i′12（10）

利用數值分析求解可得μ1值。

2.5 齒輪副重合度

齒輪機構的傳動是通過齒輪副間的齒廓交替嚙合來實現的。為滿足齒輪連續傳動的要求，齒輪副的重合度ε需大于或等于許用值［ε］。齒輪副重合度是評判齒輪傳動特性優劣的重要指標之一^［15］。

非圓齒輪副嚙合時的重合度ε為輪齒嚙合時的有效嚙合線長度和基圓齒距的比值，如圖6所示。由于非圓齒輪節曲線上各點曲率半徑不同，因此，非圓齒輪副嚙合時的重合度是時變的。其中基圓齒距為Pb=πmcos α0，α0=20°。u1為齒輪嚙合接觸點P和主動輪齒頂與嚙合線交點A間距離，u2為齒輪嚙合接觸點P和從動輪齒頂與嚙合線交點B間距離，計算公式如下：

u1=（ρ1+ha1）2-（ρ1cos α0）2-ρ1sin α0

u2=（ρ2+ha2）2-（ρ2cos α0）2-ρ2sin α0

（11）

式中：ρ1為主動輪節曲線在嚙合接觸點P處的曲率半徑；ρ2為從動輪節曲線在嚙合接觸點P處的曲率半徑；ha1為主動輪齒頂高；ha2為從動輪齒頂高。

非圓齒輪副重合度為

ε=u1+u2πmcos α0（12）

式中：m為齒輪模數。

非圓齒輪副重合度是時變的，計算量大，利用編程語言計算可快速得到結果。

3 可視化平臺編制及應用

為分析多段變性Pascal蝸線齒輪形狀及其傳動特性，在建立的數學模型的基礎上，利用MATLAB建立可視化分析設計軟件，如圖7所示。

3.1 可視化平臺功能分析

圖8為該可視化設計平臺的功能流程圖。設計者可在設計平臺界面輸入Pascal蝸線齒輪參數和各段變性原理參數，通過按鈕控制的方式實時輸出相關參數，包括多段變性Pascal蝸線齒輪壓力角曲線、重合度曲線、傳動比曲線和從動輪的運動特性，并進行多段變性Pascal蝸線齒輪節曲線運動模擬，初步驗證設計的合理性及準確性，并將設計計算結果保存。若輸入設計參數的輸出結果并不滿足設計要求，則可實時調節相關設計參數進行優化設計。

3.2 各段變性系數m1i影響分析

為分析變性系數m1i對多段Pascal蝸線齒輪的影響，選擇基礎參數一致的未引入變性系數的Pascal蝸線齒輪和在各段引入不同變性系數m1i的四段變性Pascal蝸線齒輪進行對比。

變性系數m1i對極角的影響列于表1。通過改變各區段極角的方式獲得多段變性Pascal蝸線齒輪節曲線（圖9）。圖9中r0為未變性Pascal蝸線齒輪節曲線，r1為在各區段引入變性系數后的節曲線。變性系數對齒輪傳動比的影響如圖10所示。可知：

1）在第一區段內引入m11=1后，該區段各點向徑不變，各向徑極角不變，兩者傳動比變化趨勢一致，但傳動比數值受到引入的不為1的多段變性系數m1i影響，引入的多段變性系數影響齒輪中心距，改變相應位置的主、從動輪向徑比；

2）在第二區段內引入小于1的變性系數后，該區段內向徑保持不變，向徑對應極角擴大至原來的1/m1i倍，傳動比曲線變化趨緩，變化速度由引入的變性系數決定，且該區段內的傳動比曲線極值向后移動；

3）在第三區段內引入大于1的變性系數后，該區段內向徑保持不變，向徑對應極角縮小至原來的1/m1i，傳動比曲線變化加速，變化速度由引入的變性系數決定，且該區段內的傳動比曲線極值向前移動。

為保證節曲線封閉，各區段變性系數需滿足式（4），因此，末段變性系數取決于其余區段的變性系數。在各區段向徑保持不變的情況下，通過引入變性系數改變各區段極角，以獲得不對稱的節曲線形狀，從而獲得不同的傳動特性。

3.3 各段變性系數m1i的選取依據

1）保證多段變性Pascal蝸線曲線在各分段處連續，需保證各段變性系數m1igt;1/N，若某一區段變性系數小于或等于1/N時，曲線在相應區段會出現不連續的情況。

2）為保證多段變性Pascal蝸線曲線不出現內凹現象，選取的變性系數m1i應當保證曲線各點曲率半徑始終大于或等于0，即滿足式（7）。

3）工況需求齒輪傳動在某段區間內快速傳動，則在該區段內引入大于1的變性系數；若要求慢速傳動，則引入小于1的變性系數。為保證節曲線封閉，在其他區段變性系數確定的情況下，最后設計的區段內的變性系數需適應其余區段。

4 實例分析

4.1 三段變性Pascal蝸線齒輪副特性

為研究三段變性Pascal蝸線齒輪傳動特性，選取一組設計參數：發生圓直徑b為5 mm，展長l為40 mm，齒輪模數m為4，第一段變性系數m11為1，第二段變性系數m12為2，保證節曲線的封閉，由式（4）得第三段變性系數m13為2/3，主、從動輪階數為1，即一個傳動周期內，齒輪副傳動比平均值為1。通過編制的設計軟件得到該組參數下的三段變性Pascal蝸線齒輪節曲線，并利用范成法生成齒廓，如圖11所示。

圖12為該組設計參數下的三段變性Pascal蝸線齒輪副一個傳動周期內的齒輪副傳動比曲線、壓力角曲線和齒輪副重合度曲線。該組設計參數下的齒輪副傳動比在［0.831，1.354］范圍變動，變動規律與引入的變性系數m1i有關；壓力角變化范圍為［6.996°，32.792°］，最大壓力角小于齒輪自鎖時的最大允許壓力角65°；重合度變化范圍為［1.562，1.614］，整個傳動內重合度最小值為1.562，高于一般機械設備對于齒輪副的許用值［εα］。

為驗證建立的數學模型的準確性，利用三維實體建模軟件SolidWorks建立三段變性Pascal蝸線齒輪副，并利用Motion進行模擬仿真運動，將虛擬仿真所得三段變性Pascal蝸線齒輪副傳動比曲線與理論計算所得傳動比曲線進行對比分析，如圖13所示，由圖可知，傳動比曲線趨勢基本吻合，初步驗證了所建立的多段變性Pascal蝸線齒輪數學模型及傳動特性數學模型的準確性。

虛擬仿真得到的傳動比曲線與理論計算得到的傳動比曲線不完全重合的原因主要有以下幾點：①齒廓計算不夠精確，在嚙合傳動過程中，齒間出現間隙；②輪齒建模過程中采用軟件自帶樣條曲線擬合，存在建模誤差。

4.2 Pascal蝸線族齒輪驅動對心式曲柄滑塊式壓力機對比分析

圖14為Pascal蝸線族齒輪副驅動對心式曲柄滑塊式壓力機的機構簡圖，其工作原理為：動力源由主軸O1傳入，驅動固連其上的主動多段Pascal蝸線族齒輪1做勻速轉動，通過齒廓嚙合，將動力傳遞給從動非圓齒輪2，由于非圓齒輪副的不規則的傳動特性，從動非圓齒輪2做變速轉動，由于曲柄3與從動非圓齒輪2固連在同一根軸上，因此兩者運動特性一致，然后通過連桿4，將動力傳遞至滑塊5，滑塊5做往復運動。

根據幾何數學可知滑塊的位移數學模型：

φ2（φ1）=∫^φ101i12dφ1=∫^φ10r1（φ1）a－r1（φ1）dφ1

s=l22－l21sin2φ2+l1cos φ2－（l2－l1）（13）

式中：s為滑塊位移;l1為曲柄長度;l2為連桿長度。

圖15為Pascal蝸線齒輪（未變性）、二段變性Pascal蝸線齒輪和多段變性Pascal蝸線齒輪分別驅動對心式曲柄滑塊式壓力機時的滑塊位移曲線，對比分析可知：

1）Pascal蝸線齒輪（未變性）驅動時，對心式滑塊機構推程和回程占比為1∶1，無急回特性；而二段變性Pascal蝸線齒輪和多段變性Pascal蝸線齒輪驅動時，均可以使滑塊具備急回特性，在一定程度上可提高壓力機的工作效率；

2）二段變性Pascal蝸線齒輪驅動時，滑塊的推程和回程階段的運動規律較為單一，而多段變性Pascal蝸線驅動時，通過調節分段數及各分段內的變性系數可使滑塊在推程的前半段（空推程段）快速移動，在靠近加工零件前，慢速前進，實現低速鍛壓，在一定程度上提升產品品質。

綜上，對于多段變性Pascal蝸線齒輪副的設計，分段數量越多，可調變性系數數量越多，得到的節曲線形狀越接近自由節曲線；只要引入各段的變性系數m1i合適，設計出的非圓齒輪機構在滿足設計要求的基礎上可具備良好的傳動特性。

5 結論

1）由二段變性Pascal蝸線齒輪演化原理推導出多段變性Pascal蝸線齒輪生成機理，通過在每一段引入相應變性系數，理論上可獲得能夠實現無數不同傳動特性的Pascal蝸線齒輪機構，此生成機理可為其他類型非圓齒輪的拓展設計提供借鑒意義。

2）建立了多段變性Pascal蝸線齒輪機構可視化設計平臺，為該類型非圓齒輪副的優化設計提供了便捷的設計手段。

3）分析了多段變性Pascal蝸線齒輪傳動特性，表明不同區間引入不同的變性系數可獲得不同的傳動特性；分段數量越多，可引入的變性系數越多，節曲線形狀越趨近于自由節曲線，齒輪傳動特性可調節性越強。

4）對比多段變性Pascal蝸線齒輪、二段變性Pascal蝸線齒輪和未變性Pascal蝸線齒輪分別驅動對心式曲柄滑塊式壓力機時位移曲線可知，多段變性Pascal蝸線齒輪能夠更好地滿足鍛壓工藝要求。

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（編輯 王旻玥）

基金項目：浙江省教育廳一般科研項目（Y202249437）；金華市公益性技術應用研究項目（2022-4-069;2021-4-362）；寧波市重大科技攻關暨“揭榜掛帥”項目（2022Z063）；寧波市北侖區關鍵核心技術攻關項目（2022001）

作者簡介：

陶德華*，男，1993年生，講師。研究方向為異性齒輪傳動技術。E-mail：taodehua@zjnu.edu.cn。

本文引用格式：

陶德華，王英，曹振新，等.多段變性Pascal蝸線齒輪傳動特性分析［J］. 中國機械工程，2025，36（3）：475-482.

TAO Dehua， WANG Ying， CAO Zhenxin， et al. Analysis of Transmission Characteristics of Multi-stage Denatured Pascal Worm Gears［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（3）：475-482.