基于LQR和UKF的軟體機(jī)器人無模型軌跡跟蹤控制

摘要：針對軟體機(jī)器人精確建模和控制問題提出一種新穎的非線性估計和控制策略，用于控制二維氣動軟體機(jī)器人的動態(tài)性能。采用基于Koopman算子的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法建立二維氣動軟體機(jī)器人的線性模型。利用無跡卡爾曼濾波器（UKF）進(jìn)行傳感器數(shù)據(jù)濾波和系統(tǒng)狀態(tài)估計，同時利用線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）來實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤的最優(yōu)控制。仿真和實(shí)驗(yàn)比較結(jié)果一致表明，所提方法在軌跡跟蹤性能方面優(yōu)于另兩種方法。

關(guān)鍵詞：軟體機(jī)器人；Koopman算子；LQR控制；無跡卡爾曼濾波器

中圖分類號：TP242

Model-free Trajectory Tracking Control of Soft Robots Based on LQR and UKF

GUAN Shengchuang1 LIU Yujun2 YANG Qinghao1 LIU Zhaobing^1*

1.School of Mechanical and Electrical Engineering，Wuhan University of Technology，Wuhan，430000

2.Department of Electrical and Electronic Engineering，University of Nottingham Ningbo China，Ningbo，Zhejiang，315000

Abstract： A novel nonlinear estimation and control strategy for controlling the dynamic performance of a 2D pneumatic soft robot was proposed to address the problems of accurate modelling and control of soft robots. Firstly， a linear model of the 2D pneumatic soft robot was established using a Koopman operator-based approach. Then， the UKF was proposed for sensor data filtering and system state estimation， while the LQR was used for optimal control of trajectory tracking. Simulation and experimental results consistently show that the strategy herein performs better than other two strategies" in terms of trajectory tracking.

Key words： soft robot； Koopman operator； linear quadratic regulator（LQR） control； unscented Kalman filter（UKF）

0 引言

在過去的幾年里，由高度可變形和柔性材料制成的軟體機(jī)器人已經(jīng)成為一個新興的研究領(lǐng)域^［1］。與傳統(tǒng)的剛性機(jī)器人相比，它們表現(xiàn)出非凡的物理彈性、靈活性和安全性，能夠輕松適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境中的任務(wù)需求，這為機(jī)器人的應(yīng)用開辟了更多的可能性^［2］。 精確的模型有助于更好地理解軟體機(jī)器人的行為，以及根據(jù)模型設(shè)計適當(dāng)?shù)目刂破鳌＼涹w機(jī)器人的建模方法可以分為兩類：基于物理解析建模和無模型的數(shù)據(jù)驅(qū)動建模^［3］。

理論上，軟體機(jī)器人具有無限的自由度和強(qiáng)非線性，因此基于物理解析建模的方法一般需要強(qiáng)有力的假設(shè)。相比之下，只依賴實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模方法更適合軟體機(jī)器人。

Koopman算子理論提供了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模方法，既避免了物理簡化假設(shè)，同時建立了面向控制的線性模型^［4-5］。這種方法利用Koopman算子的線性結(jié)構(gòu)，根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建非線性受控動態(tài)系統(tǒng)的線性模型，再使用已建立的線性控制方法就可以對其進(jìn)行控制。BRUDER等^［4］利用Koopman算子理論對三腔式螺紋管型氣動軟體機(jī)器人進(jìn)行建模，并使用MPC控制器實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制。NARASINGAM等^［5］將Koopman算子理論應(yīng)用在水力壓裂過程的模型識別和反饋控制中，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，Koopman線性模型與真實(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出了良好的一致性。

另外，集成在軟體機(jī)器人上的傳感器很容易受環(huán)境的干擾，這會導(dǎo)致傳感器反饋的數(shù)據(jù)帶有噪聲甚至不穩(wěn)定^［6］。無跡卡爾曼濾波器（unsecanted Kalman filter， UKF）可以通過已有的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和系統(tǒng)觀測模型來估計系統(tǒng)的狀態(tài)，同時可以過濾傳感器中的噪聲^［7］。經(jīng)過UKF處理后數(shù)據(jù)傳遞給LQR控制器，可以計算出系統(tǒng)的最優(yōu)控制律。

綜上所述，本文針對軟體機(jī)器人建模控制復(fù)雜的問題，將基于Koopman算子的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法應(yīng)用于二維氣動軟體機(jī)器人并建立系統(tǒng)的線性模型；基于該模型設(shè)計了線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）；提出了無跡卡爾曼濾波器（UKF）來估計系統(tǒng)狀態(tài)并過濾傳感器反饋數(shù)據(jù)中的噪聲，并設(shè)計了對比實(shí)驗(yàn)。

1 基于Koopman算子的建模方法

1.1 Koopman算子理論

首先考慮一個具有輸入的離散非線性被控動力系統(tǒng)：

xk+1=F（xk，uk）（1）

xk∈XRn" uk∈URm

式中：xk、uk分別為動態(tài)系統(tǒng)在第k個采樣時間的狀態(tài)和控制輸入；F為系統(tǒng)狀態(tài)由xk隨時間步長k演化到xk+1的函數(shù)。

在狀態(tài)空間上定義一個標(biāo)量可觀測函數(shù)g：X×U→R，用來表示狀態(tài)和輸入之間的關(guān)系。在無限維函數(shù)空間F中，動力系統(tǒng)的狀態(tài)演化由Koopman算子K ：F→F控制，Koopman算子K將可觀測量沿系統(tǒng)軌跡的動力學(xué)定義為

KggF（2）

式中：“”為復(fù)合函數(shù)操作符。

1.2 Koopman算子的近似

理論上，Koopman算子是無限維的，在實(shí)際應(yīng)用中需要求解其有限維的近似值。為此，利用最近開發(fā)的EDMD算法^［8］為受控系統(tǒng)構(gòu)建Koopman算子的有限維近似，EDMD算法流程如下。

1）定義系統(tǒng)的提升函數(shù)：

φ（x，u）=（φ1（x，u），φ2（x，u），…，φN（x，u））T（3）

式中：x、u分別為系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入；φi（x，u）為線性無關(guān)的基函數(shù)，i∈1，2，…，N。

定義提升后的狀態(tài)為

φ（xk）=（φ1（xk），φ2（xk），…，φN（xk））T（4）

2）構(gòu)建Koopman算子線性模型：

φ（xk+1）=Aφ（xk）+Buk

zk=Cφ（xk）（5）

式中：zk為對原非線性系統(tǒng)狀態(tài)xk的估計；A、B和C表示線性常數(shù)矩陣。

3）準(zhǔn)備包含p個系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)集：

X=（x1，x2，…，xp）

Y=（y2，y3，…，yp+1）

U=（u1，u2，…，up）（6）

yi+1=F（xi，ui）" i∈1，2，…，p

4）準(zhǔn)備提升系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)據(jù)集：

φXY=φYφXUT

φXX=φXUφXUT（7）

φX=（φ（x1），φ（x2），…，φ（xp））

φY=（φ（y2），φ（y3），…，φ（yp+1））

5）Koopman線性模型中的A、B和C矩陣由求解最小二乘問題獲得：

minA，B∑pk=1‖φ（yk+1）－Aφ（xk）－Buk‖22

minC∑pk=1‖xk-Cφ（xk）‖22（8）

φ（yk+1）=（φ1（yk+1），φ2（yk+1），…，φN（yk+1））T

φ（xk）=（φ1（xk），φ2（xk），…，φN（xk））T

式（8）的最小二乘問題的解為

［A，B］=φXYφXX

C=Xφ（X）（9）

式中：“" ”表示偽逆。

至此，獲得了氣動軟體機(jī)器人的Koopman線性模型表達(dá)式（式（5））的參數(shù)矩陣，可以用于后續(xù)控制器的設(shè)計。

2 軟體機(jī)器人最優(yōu)控制策略

目前的研究中基于Koopman線性模型的控制器大多是根據(jù)模型的控制方法設(shè)計的。基于Koopman線性模型的控制方法使用較多的是LQR和MPC控制器。相比之下，LQR控制器計算量更小，具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性^［9］。

二維氣動軟體機(jī)器人系統(tǒng)已經(jīng)用Koopman線性模型（式（5））表示，系統(tǒng)模型和控制率都滿足線性相關(guān)，兩者之間的關(guān)系可以表達(dá)為

uk=－K（φ（xk）－φ（xr））（10）

式中：φ（xr）為參考值的提升狀態(tài)；K為LQR的狀態(tài)反饋增益。

LQR狀態(tài)反饋增益的選擇標(biāo)準(zhǔn)是：使得系統(tǒng)的性能代價函數(shù)實(shí)現(xiàn)極小值。具體地，基于Koopman線性模型的代價函數(shù)的形式如下：

J=∑∞k=0（Δφ）TQ（Δφ）+uTkRuk（11）

式中：Δφ=φ（xk）－φ（xr）；Q、R分別表示關(guān)于狀態(tài)和輸入的權(quán)重矩陣，是對稱正定矩陣。

LQR反饋控制律K就是在式（11）的約束條件下求出其最優(yōu)控制律uk，并使得代價函數(shù)J的值最小。

基于Koopman模型的二維氣動軟體機(jī)器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)反饋增益矩陣K的形式如下：

K=R^－1BTP（12）

其中，P為常量矩陣，其具體值可以在MATLAB中通過求解 Riccat 方程進(jìn)行計算得出：

ATP+PA－PBR^－1BTP+Q=0（13）

3 無跡卡爾曼濾波器

本文利用UKF處理非線性系統(tǒng)的優(yōu)勢，實(shí)現(xiàn)對氣動軟體機(jī)器人的狀態(tài)估計和傳感器反饋數(shù)據(jù)中噪聲過濾，然后將處理過的數(shù)據(jù)用于LQR控制器。

UKF由無跡變換（unscented transform，UT）和線性卡爾曼濾波算法組成。無跡變化的本質(zhì)是高斯分布，具體而言：在初始狀態(tài)數(shù)據(jù)中根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)獲得采樣點(diǎn)，采樣點(diǎn)的均值、協(xié)方差與初始狀態(tài)一致；將采樣點(diǎn)代入非線性狀態(tài)空間，得到映射的非線性狀態(tài)空間數(shù)據(jù)集，計算UT后的均值和協(xié)方差。高斯分布的優(yōu)勢在于可以獲得非線性系統(tǒng)精確到三階的UT后的后驗(yàn)均值和協(xié)方差。

為了方便推導(dǎo)，假設(shè)一個離散非線性系統(tǒng)：

xk=G（xk－1，uk－1）+wk

zk=g（xk）+vk（14）

wk～（0，Qk）vk～（0，Rk）（15）

式中：G、g分別為非線性狀態(tài)方程函數(shù)和觀測方程函數(shù)；wk、vk分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)換和觀測噪聲;（0，Qk）表示均值為0，協(xié)方差為Qk;（0，Rk）表示均值為0，協(xié)方差為Rk。

系統(tǒng)初始狀態(tài)的均值和協(xié)方差分別為x+0=E（x0）和P+0=E（［x0－x+0］［x0－x+0］T），其中，x0為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

具體地，UKF算法流程如下。

1）從高斯過濾中選擇sigma點(diǎn)：

x^^（i）k－1=x^+k－1+nP+k－1

x^^（n+i）k－1=x^+k－1－nP+k－1（16）

式中：x^^（i）k－1為狀態(tài)sigma點(diǎn);x^+k－1為后驗(yàn)狀態(tài)估計;P+k－1為后驗(yàn)協(xié)方差;n為系統(tǒng)狀態(tài)的維度，i=1，2，…，n。

2）通過系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換函數(shù)傳播sigma點(diǎn)：

x^^（i）k=G（x^^（i）k－1，uk）+wk（17）

3）從映射的sigma點(diǎn)中提取高斯?fàn)顟B(tài)的預(yù)測均值和協(xié)方差：

x^－k=12n∑2ni=1x^^（i）k

P－k=12n∑2ni=1（Δx）（Δx）T+Qk－1（18）

式中：x^－k為預(yù)測狀態(tài)估計；P－k為預(yù)測協(xié)方差，Δx=x^^（i）k－x^－k。

4）從預(yù)測的高斯分布中選一組新的sigma點(diǎn)：

x^^（i）k=x^－k+nP－k

x^^（n+i）k=x^－k－nP－k（19）

5）通過測量方程傳播sigma點(diǎn)以生成預(yù)測測量值z^^（i）k：

z^^（i）k=g（x^^（i）k）+vk（20）

6）確定k時間處的預(yù)測測量值z^k，預(yù)測測量值的協(xié)方差Pz以及x^－k和z^k之間的交叉協(xié)方差Pxz：

z^k=12n∑2ni=1z^^（i）k

Pz=12n∑2ni=1（Δz）（Δz）T+Rk

Pxz=12n∑2ni=1（Δx）（Δz）T（21）

Δz=z^^（i）k－z^k

7）通過卡爾曼濾波方程提取濾波后，UKF的卡爾曼增益Kk、系統(tǒng)狀態(tài)x^+k和相應(yīng)的協(xié)方差P+k可估計為

Kk=Pxz（Pz）^－1

x^+k=x^－k+Kk（zk－z^k）

P+k=P－k－KkPzKTk（22）

4 實(shí)驗(yàn)平臺和數(shù)據(jù)處理

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺

氣動軟體機(jī)器人使用商用熔融沉積模型（FDM）打印機(jī)（FlashForge Creator Pro）進(jìn)行制造，打印的二維氣動軟體機(jī)器人的總體尺寸為108 mm×14 mm×25 mm，如圖1所示。

圖2展示了實(shí)驗(yàn)的基本裝置，主要包括：Arduino Mega 2560電路板，用于與彎曲傳感器的交互，以收集反饋信息；SMC VQ110U-5M電磁閥，接收來自Arduino板的60Hz脈沖寬度調(diào)制（PWM）信號，控制氣體流量以改變SPA的內(nèi)部壓力；彎曲傳感器，測量二維氣動軟體機(jī)器人的彎曲角度；上位機(jī)，向控制器發(fā)出角度指令，并實(shí)時監(jiān)測二維氣動軟體機(jī)器人的角度。在MATLAB/Simulink中記錄和顯示傳感器反饋的數(shù)據(jù)。Arduino板的模擬輸出為0～255，對應(yīng)的氣壓是0～120 kPa。

4.2 數(shù)據(jù)獲取與處理

本文使用的二維氣動軟體機(jī)器人只有一個氣道，因此可以定義為單輸入單輸出模型，輸入為0～255的模擬信號，輸出為彎曲角度，通過實(shí)驗(yàn)獲取10 000組輸入輸出數(shù)據(jù)對，用于構(gòu)建Koopman線性模型。

對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化預(yù)處理，歸一化處理后的數(shù)據(jù)更易準(zhǔn)確捕捉自變量與因變量的相關(guān)性，從而提高模型預(yù)測精度，因此處理后的數(shù)據(jù)更適合建立Koopman模型。通過均方根誤差（RMSE）來計算狀態(tài)軌跡的擬合程度：

ERMSE=∑pi=1（yreal－yref）2p（23）

式中：yreal、yref分別為狀態(tài)的測量值和參考值;p為收集的測量點(diǎn)的個數(shù)。

5 結(jié)果與討論

5.1 仿真結(jié)果

在MATLAB/Simulink中搭建Koopman線性模型、編寫UKF濾波器和LQR控制器仿真模型。為驗(yàn)證所設(shè)計控制器的可行性，分析比較了三種控制策略，分別為基于解析模型的LQR控制策略（A-FL-LQR）、基于Koopman線性模型的LQR控制策略（K-LQR）、基于Koopman線性模型的UKF估計和LQR控制策略（K-UKF-LQR）。

仿真輸入的參考信號為正弦波和三角波，輸出為彎曲角度，圖3～圖5所示分別為A-FL-LQR、K-LQR和K-UKF-LQR對三角波和正弦波的軌跡跟蹤仿真結(jié)果。

表1給出了正弦波和三角波參考信號下三種控制策略的仿真軌跡跟蹤結(jié)果，可以看出，相較于A-FL-LQR，在三角波輸入下，K-LQR和K-UKF-LQR的跟蹤精度分別提高了42.34%、64.11%；在正弦波輸入下 K-LQR和K-UKF-LQR的跟蹤精度分別提高了40.78%、62.61%。這說明無論是三角波輸入還是正弦波輸入，K-UKF-LQR控制策略的跟蹤效果都有明顯提升。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在二維氣動軟體機(jī)器人控制實(shí)驗(yàn)平臺上進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)，在同樣的三角波和正弦波輸入下，A-FL-LQR、K-LQR和K-UKF-LQR的軌跡跟蹤效果見圖6～圖8。

表2給出了在正弦波和三角波參考信號下三種控制策略的實(shí)驗(yàn)軌跡跟蹤結(jié)果。相較于A-FL-LQR，在三角波輸入下，K-LQR和K-UKF-LQR的跟蹤精度分別提高了41.68%、54.23%；在正弦波輸入下，K-LQR和K-UKF-LQR的跟蹤精度分別提高了37.73%、51.70%。這說明K-UKF-LQR的軌跡跟蹤誤差最小，控制策略的控制精度最優(yōu)。

圖9分別展示了二維氣動軟體機(jī)器人在15°、20°、25°、35°時的彎曲狀況。

5.3 結(jié)果討論

由表1和表2可知，A-FL-LQR控制策略的RMSE值更大，軌跡跟蹤誤差較大。這是因?yàn)?LQR 對模型精度有較高依賴，而構(gòu)建解析模型通常需要先了解系統(tǒng)的物理方程、參數(shù)以及必要的簡化假設(shè)，才能進(jìn)行建模推導(dǎo)。然而，真實(shí)系統(tǒng)往往具有復(fù)雜的非線性和難以精確建模的因素，導(dǎo)致解析模型難以精確描述系統(tǒng)行為。相比之下，Koopman 線性模型基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建，能夠更好地適應(yīng)實(shí)際情況。此外，Koopman 線性模型通過將狀態(tài)空間映射到無限維函數(shù)空間，可以更準(zhǔn)確地捕捉系統(tǒng)的非線性動態(tài)行為。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，基于Koopman模型的控制策略具有較高的控制精度。此外，傳感器受環(huán)境干擾導(dǎo)致反饋的數(shù)據(jù)中帶有噪聲的影響，也會影響控制效果，在控制策略中加入UKF后，K-UKF-LQR的RMSE值明顯降低了，表明UKF可以有效過濾傳感器反饋數(shù)據(jù)中的噪聲并估計系統(tǒng)狀態(tài)，用于求解最優(yōu)控制。綜上所述，該結(jié)果證明了提出的K-UKF-LQR控制策略的有效性。

值得注意的是，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的RMSE值有差距，這可能包含以下幾種原因：

1）本實(shí)驗(yàn)中的彎曲角度是由彎曲傳感器RB-02S046測量的。當(dāng)彎曲角度不同時，傳感器會輸出不同的電阻值，后面再通過人為標(biāo)定來確認(rèn)不同彎曲角度對應(yīng)的電阻值，在這個過程中會人為引入一些誤差。

2）從實(shí)驗(yàn)圖6～圖8中可以看出，在參考信號的波峰和波谷時會出現(xiàn)較大的波動。這是因?yàn)殡姶砰y的開關(guān)突然變大或變小，會導(dǎo)致氣腔內(nèi)的氣壓忽大忽小，從而產(chǎn)生一些波動，對控制效果產(chǎn)生一定的影響。此外，軟體機(jī)器人的超彈性材料產(chǎn)生的機(jī)械阻尼增大了控制策略的超調(diào)。

3）仿真中添加的噪聲是一種理想的高斯白噪聲，但在現(xiàn)實(shí)的實(shí)驗(yàn)中會受到電磁閥開/關(guān)閥門大小頻繁切換帶來的噪聲影響，傳感器數(shù)據(jù)反饋時的噪聲以及環(huán)境中的未知擾動的影響也會對實(shí)驗(yàn)效果產(chǎn)生影響。

雖然實(shí)驗(yàn)和仿真的數(shù)值結(jié)果上有差距，但從總體的趨勢上實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果是相符的。

6 結(jié)語

本文采用數(shù)據(jù)驅(qū)動方法描述二維氣動軟體機(jī)器人系統(tǒng)的動態(tài)行為，建立了基于Koopman算子的線性模型，結(jié)合非線性估計和濾波方法（UKF）以及最優(yōu)控制（LQR）的方法對二維氣動軟體機(jī)器人進(jìn)行軌跡跟蹤控制。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與K-LQR控制策略相比，所提出的K-UKF-LQR控制策略可以更準(zhǔn)確地控制二維氣動軟體機(jī)器人的軌跡，在數(shù)據(jù)處理和系統(tǒng)狀態(tài)估計方面表現(xiàn)良好，驗(yàn)證了所提控制策略的有效性。

參考文獻(xiàn)：

［1］ LIU Zhaobing， PENG Kerui， HAN Lvpeng， et al. Modeling and Control of Robotic Manipulators Based on Artificial Neural Networks：a Review［J］. Iranian Journal of Science and Technology， Transactions of Mechanical Engineering， 2023， 47（4）：1307-1347.

［2］ 徐豐羽， 孟凡昌， 范保杰， 等. 軟體機(jī)器人驅(qū)動、建模與應(yīng)用研究綜述［J］. 南京郵電大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2019， 39（3）：64-75.

XU Fengyu， MENG Fanchang， FAN Baojie， et al. Review of Driving Methods， Modeling and Application in Soft Robots［J］. Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications （Natural Science Edition）， 2019， 39（3）：64-75.

［3］ SCHEGG P， DURIEZ C. Review on Generic Methods for Mechanical Modeling， Simulation and Control of Soft Robots［J］. PLoS One， 2022， 17（1）：e0251059.

［4］ BRUDER D， FU Xun， GILLESPIE R B， et al. Data-driven Control of Soft Robots Using Koopman Operator Theory［J］. IEEE Transactions on Robotics， 2021， 37（3）：948-961.

［5］ NARASINGAM A， KWON J S I. Application of Koopman Operator for Model-based Control of Fracture Propagation and Proppant Transport in Hydraulic Fracturing Operation［J］. Journal of Process Control， 2020， 91：25-36.

［6］ CAO Guizhou， HUO Benyan， YANG Lei， et al. Model-based Robust Tracking Control without Observers for Soft Bending Actuators［J］. IEEE Robotics and Automation Letters， 2021， 6（3）：5175-5182.

［7］ XAVIER M S， FLEMING A J， YONG Y K. Nonlinear Estimation and Control of Bending Soft Pneumatic Actuators Using Feedback Linearization and UKF［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2022， 27（4）：1919-1927.

［8］ WILLIAMS M O， KEVREKIDIS I G， ROWLEY C W. A Data-driven Approximation of the Koopman Operator：Extending Dynamic Mode Decomposition［J］. Journal of Nonlinear Science， 2015， 25（6）：1307-1346.

［9］ NAIDU D S. Optimal Control Systems［M］. Boca Raton：CRC Press， 2018.

（編輯 王旻玥）

基金項(xiàng)目：國家大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃（024104970）

作者簡介：

關(guān)勝闖，男，1998年生，碩士研究生。研究方向?yàn)檐涹w機(jī)器人建模與控制。E-mail：giky0915@163.com。

劉兆冰*（通信作者），男，1983年生，副教授。研究方向?yàn)檐涹w機(jī)器人建模與控制。E-mail：zhaobingliu@whut.edu.cn。

本文引用格式：

關(guān)勝闖，柳宇鈞，楊清昊，等.基于LQR和UKF的軟體機(jī)器人無模型軌跡跟蹤控制［J］. 中國機(jī)械工程，2025，36（3）：570-575.

GUAN Shengchuang， LIU Yujun， YANG Qinghao， et al. Model-free Trajectory Tracking Control of Soft Robots Based on LQR and UKF［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（3）：570-575.