基于混合效應的紅松人工林單木樹高-胸徑模型研究

摘要：" 建立紅松人工林單木樹高（HT）-胸徑（DBH）曲線模型對未來紅松人工林生長量預測具有重要意義。本研究基于黑龍江省東京城林業局紅松人工林48塊每木調查數據，選取7個常用的經驗生長模型作為備選模型通過比較選取最優基礎模型。基于最優基礎模型引入樣地水平隨機效應，最終構建了基于樣地水平隨機效應的人工紅松單木樹高-胸徑曲線混合效應模型。結果表明，與其他幾個模型相比，Gompertz形式的M6取得了更好的擬合效果（Ra2=0.8338，RMSE=1.609 1）。與最優基礎模型比較，混合效應模型Ra2顯著升高，RMSE、AIC、BIC顯著降低，擬合效果較好。基于混合模型的固定效應參數對樹高-胸徑曲線進行模擬發現，樹高-胸徑曲線變化規律為隨著胸徑的增大樹高呈逐漸上升的趨勢，前期樹高增長較快，后期增長逐漸減緩，符合樹高曲線的總體變化規律。本研究最終構建的樹高-胸徑曲線模型精度較高，能有效預估紅松人工林單木樹高變化規律，為未來東京城林業局紅松人工林經營提供參考。

關鍵詞：" 混合效應模型；" 樹高-胸徑模型；" 紅松

中圖分類號：" "S 753" " " " " " " "文獻標識碼：" "A" " " " " " " " 文章編號：１００1 － 9499（２０25）02 － 0035 － 05

Mixed-effects Model of Individual-tree Height-diameter

in Pinus koraiensis Plantation

ZHU Wancai LIU Qifeng LI Yazhou WU Yao PAN Yan

（Heilongjiang Forestry Science Research Institute，" Heilongjiang Harbin 150081）

Abstract Modeling the individual HT-DBH curve of Pinus koraiensis plantation is significantly important for the prediction of future growth of Pinus koraiensis plantation. In this study， 7 commonly used experience growth models were selected as alternative models based on data from 48 sample plots of Pinus koraiensis plantation in the Dongjingcheng forestry administration， Heilongjiang Province， and the optimal basic model was selected by comparison. Based on the optimal basic model， sample-level random effects were introduced and a mixed-effects model for individual tree height-diameter of Pinus koraiensis was developed. The results show that the Gompertz form of M6 shows a better fitting results compared to several other models （Ra2= 0.833 8， RMSE=1.609 1）. Compared with the optimal basic model， the mixed-effects model has a significantly higher Ra2， significantly lower RMSE， AIC， and BIC， and better fitting results. Based on the fixed effect parameters of the mixed model， the HT - DBH curve was simulated， and the results showed that with the increase of DBH" was gradually increasing trend， and the tree height grew faster in the early stage， and the growth gradually slowed down in the later stage ， which was consistent with the overall rule of change of the tree height curve. The HT-DBH curve model finally developed in this study has higher accuracy and can effectively predict the change rule of individual tree height in Pinus koraiensis plantation， which can provide a reference for the future management of Pinus koraiensis plantation in the Dongjingcheng forestry administration.

Key words mixed effect model; tree height DBH model; Pinus koraiensis

作為林分調查中最重要和最基本的兩個測樹因子，胸徑和樹高是構建直徑生長模型[ 1 ]、冠幅模型[ 2 ]、生物量模型[ 3 ]的重要預測因子。胸徑是目前觀測最經濟且精準的林木因子，與之相比，由于林分中林況較為復雜，樹高的測量相對比較麻煩且準確度較低。由于胸徑和樹高之間相關性較強，構建樹高-胸徑模型是目前調查樹高的一個行之有效的方法。已有大量學者構建不同地區不同樹種的樹高-胸徑模型，目前常用線性或非線性模型來構建樹高胸徑曲線，但由于樹高與胸徑之間的非線性關系，非線性模型更受學者的歡迎[ 4 - 6 ]。在實際外業調查中，測量數據往往具有區域-樣地-樹木的嵌套結構，彼此之間存在相關性[ 7 ]，使用傳統的最小二乘回歸擬合數據會產生誤差。而混合效應模型被認為是處理嵌套數據的一種行之有效的方法[ 8 ]，與最小二乘法相比，混合效應模型添加了隨機效應部分來解決由于已知或未知因素引起的數據異質性以及隨機性，并采用方差-協方差結構來解決異方差以及相關性等問題[ 9 ]。

紅松（Pinus koraiensis）是中國東北部地區頂級群落的重要組成樹種之一，具有重要的經濟價值和生態防護功能[ 10 - 12 ]。紅松人工林目前已在黑龍江地區廣泛分布，在地區經濟中占據重要位置。構建紅松人工林單木樹高-胸徑曲線模型對未來紅松生長量預測及森林經營方案的開展具有重要意義。基于此，本研究以東京城林業局48塊紅松人工林固定樣地數據為基礎，對7個備選模型進行比較，在此最優基礎模型的基礎上通過混合效應的方法構建了紅松人工林單木樹高-胸徑曲線模型，以期為未來森林經營管理提供理論依據和技術支持。

1 研究區概況與數據來源

1. 1 研究區概況

東京城林業局位于黑龍江省寧安市東京城鎮，區域坐標為：128°7′45″～130°2′35″ E，43°30′30″～" 44°18′45″ N。氣候屬中溫帶季風氣候。年平均氣溫3 ℃，最高氣溫36.5 ℃，最低氣溫-40 ℃，年降水量550～600 mm，無霜期120～135 d[ 13 ]。

1. 2 數據來源

2017年9月，在東京城林業局選取不同年齡的紅松人工林，共設置固定樣地48塊，樣地面積0.04～0.09 hm2。在布設樣地的同時對樣地內樹木進行調查，測量胸徑、樹高等單木因子，同時對樣地因子如坡度、坡向、坡位等進行記錄。通過構建胸徑-樹高散點圖對異常數據進行剔除，最后共獲得了2940株紅松調查數據，單木因子統計如表1所示。為了節省數據，本研究將全部數據都用來構建模型。

2 研究方法

2. 1 基礎模型選取

選取7個已使用過的樹高-胸徑模型形式作為備選模型，通過比較選出最優基礎模型，備選模型具體形式如表2所示。

2. 2 混合效應模型

本研究在最優備選模型的基礎上引入樣地水平隨機效應構建單水平非線性混合效應模型。單水平非線性混合效應模型的形式如下：

yij=f （φij，Vij）+εij" i=1，…m， j=1，…，niφij=Aij β+Bij Biεij～N（0，σ2Ri）， bi～N（0，D）Ri=σ2Gi0.5ΓiGi0.5（1）

式中：yij表示第i塊樣地第j棵樹的樹高；m是總樣地數量，ni是第i塊樣地的總樣木數量；f是含有參數向量φij和Vij的函數；β為固定效應向量；bi為帶有方差-協方差矩陣D的隨機效應向量；Aij和Bij為相應的設計矩陣；εij為誤差;2為方差；Gi為描述方差異質性的對角矩陣；i為樣地內誤差的相關性結構；Ri為樣地內的方差-方差矩陣。

將模型中所有的參數組合均作為隨機效應對模型進行擬合。排除未收斂的參數組合后，選AIC、BIC、LogLikelihood對含有不同隨機效應參數數量的模型進行比較。在含有不同數量隨機效應的組合各選出一個最優的模型。使用LRT進行檢驗，選擇參數較少且效果較好的模型。隨機效應的方差-協方差矩陣（D）可以反映不同樣地之間的差異。本研究采用常用的廣義正定矩陣和對角矩陣通過比較對樣地之間的差異進行描述。數據中一般存在著誤差相關性和異方差的問題，研究采用的數據為一次調查數據不需要考慮相關性的問題，僅使用指數函數和冪函數來矯正異方差現象。兩種函數形式如下：

Var（μij，α）=σ2|μij|a（2）

Var（μij，α）=σ2exp（β μij）（3）

式中：μij是固定效應參數的預測值，α、β為冪函數與指數函數的參數。

2. 3 模型評價與檢驗

采用調整后的多重決定系數（Ra2）、均方根誤差（RMSE）、平均絕對誤差（MAE）、平均絕對百分比誤差（MAPE）、赤池信息準則（AIC）、貝葉斯信息準則（BIC）對模型的擬合效果和檢驗效果進行評估。各指標公式如下：

Ra2=1-（）（4）

" "RMSE=（5）

MAE=（6）

MAPE=（7）

AIC=2k-2ln（L）（8）

BIC=kln（n）-2ln（L）（9）

式中，yi是第i株樹的樹高實際值；yi為第i株樹的樹高估計值；yi為樹高觀測值的平均值；k是參數數量；L是似然函數；n是樣本數。

3 結果分析

3. 1 最優基礎模型選取

使用R軟件對7個樹高-胸徑曲線備選模型進行擬合（表3），7個模型中，M6模型的擬合效果最好（Ra2=0.833 8，RMSE=1.609 1），因此將M6模型作為樹高-胸徑曲線的最優基礎模型，公式如下：

HT=1.3+16.519 3×e（10）

3. 2 混合模型構建

在模型（10）的基礎上引入樣地水平的隨機效應，將所有的參數組合作為隨機效應進行擬合，采用廣義正定矩陣和對角矩陣進行比較來確定樣地間的方差-協方差矩陣結構。最終結果表明，引入3個隨機效應參數的模型擬合效果最好，與對角矩陣相比廣義正定矩陣表現出了更好的擬合效果。圖1繪制了基礎模型和混合模型的殘差圖。由圖1（a）可以看出引入隨機效應之前的模型（10）的殘差分布范圍較廣且有著明顯的趨勢，因此采用冪函數與指數函數進行比較來矯正異方差。結果表明，與冪函數相比指數函數表現出了更好的擬合效果，因此本研究采用指數函數來矯正異方差。由圖1（b）可以看出，引入隨機效應并且使用指數函數矯正異方差后的模型縮小了殘差的分布范圍，改善了異方差的問題。

從擬合統計結果（表4）看，基礎模型的Ra2、RMSE、AIC、BIC分別為0.833 8、1.609 1、11 148.15、11 172.05，混合效應模型的Ra2、RMSE、AIC、BIC分別為0.908 1、1.196 7、982 8.20、989 4.03，從結果看混合模型顯著優于基礎模型，這說明引入樣地水平的隨機效應顯著提升了模型的預測能力。

模型的檢驗效果對模型的實際應用至關重要，為了檢驗混合模型的實際檢驗效果，本研究將數據按3∶1分割成兩部分，36塊樣地進行擬合，12塊樣地進行檢驗。對隨機效應進行檢驗（表5）。

3. 3 樹高-胸徑曲線模擬

由圖2可知，本研究構建的樹高-胸徑曲線變化規律為隨著胸徑的增大樹高呈逐漸上升的趨勢，前期樹高增長較快，后期增長逐漸減緩，符合樹高曲線的總體變化規律。

4 討 論

模型形式的選擇是成功開發模型的基礎，目前來看并沒有一種模型適合所有樹種用來開發樹高-胸徑曲線模型[ 14 ]。基于此我們選擇了7種常見的經驗生長方程作為備選模型并進行比較。結果表明，7個備選模型的Ra2都在0.8以上，擬合效果均較好。其中Gompertz模型形式的M6的擬合效果優于其他6個模型，M6被選為最優基礎模型。樹木之間可能處于相同的樣地或者區域中，因此觀測數據往往難以滿足最小二乘法獨立同分布的假設，僅使用最小二乘法對模型進行擬合可能會產生一定的誤差。混合效應作為改進參數估計的一種實用統計技術，目前在林業上應用廣泛。本研究在M6的基礎上，將樣地效應作為隨機效應引入到模型中并于基礎模型進行比較。結果表明引入隨機效應后模型的各項擬合與檢驗指標均優于基礎模型，隨機效應的引入顯著的提升了模型的預估效果。

5 結 論

基于黑龍江東京城林業局48塊不同年齡紅松人工林樣地的每木檢尺數據，本研究選取7種常見的經驗生長方程并在此基礎上使用混合效應模型的方法，最終開發了紅松單木樹高-胸徑模型，模擬了紅松樹高隨胸徑變化曲線。從結果看本研究最終開發的模型擬合精度較高，樹高曲線效果較好，能對研究區的樹高進行有效的模擬和預測。

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