含表面裂紋儲罐應力強度因子分析

摘 要：

為防止含缺陷在役儲罐發生安全事故、提高其安全性，對含裂紋缺陷儲罐不同尺寸和不同位置裂紋的應力強度因子進行研究。以承受內壓作用的含表面半橢圓裂紋儲罐為研究對象，利用相互作用積分法研究了不同裂紋長度（c）、裂紋深度（a）與儲罐厚度（t）比值a/t、裂紋所處位置因素對裂紋尖端應力強度因子最大值KⅠ，max數值的影響。結果表明：裂紋處于筒體位置時， KⅠ，max隨著裂紋長度和裂紋深度與儲罐厚度比值的增大而增長，且增長速率不固定；裂紋處于橢圓形封頭時，KⅠ，max隨裂紋面幾何中心與橢圓封頭中心連線與橢圓封頭長軸夾角θ的增大而減小，隨裂紋長度的增加而增大；裂紋處于開孔附近高應力區時，KⅠ，max隨裂紋長度的變化規律與筒體處一致；當裂紋長度大于裂紋深度時，KⅠ，max出現在裂紋前緣中間部位，反之出現在裂紋前緣兩端。研究結果對于在役含缺陷儲罐及其他壓力容器安全評價以及檢驗規則的制定具有一定的參考意義。

關鍵詞：

斷裂力學；應力強度因子；有限元分析；壓力儲罐；表面半橢圓裂紋

中圖分類號：

TH123

文獻標識碼：A

DOI： 10.7535/hbgykj.2025yx02010

Stress intensity factor analysis of storage tanks with surface cracks

JIAO Liangjie1， LIU Qinggang1， ZHAO Zenan1， DUAN Zhixiang2

（1.School of Mechanical Engineering， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China; 2.China Special Equipment Inspection and Research Institute， Beijing 100029， China）

Abstract：

To prevent safety accidents and improve the safety of in-service storage tanks with defects， the stress intensity factors of cracks of different sizes and locations in tanks with crack defects were studied. Taking the storage tank with a semi-elliptic surface crack under internal pressure as the research object， the influence of different crack length c， the ratio of crack depth to tank thickness （a/t）， and the location of the crack on the maximum value KⅠ，max of the stress intensity factor at the crack tip was studied by using the interaction integration method. The results show that when the crack is located in the cylinder， KⅠ，max increases with the increase of crack length and the ratio of crack depth to tank thickness， and the growth rate is not fixed; When the crack is located in the elliptical head， KⅠ，max decreases with the increase of the angle θ between the geometric center of the crack surface and the connecting line of the elliptical head center and the long axis of the elliptical head， and increases with the increase of the crack length; When the crack is located in the high stress area near the opening， the change rule of KⅠ，max with the crack length is consistent with that of the cylinder; When the crack length is greater than the crack depth， KⅠ，max appears in the middle of the crack leading edge， and vice versa. The research results have a certain reference significance for the safety evaluation and inspection rules of in-service defective storage tanks and other pressure vessels.

Keywords：

fracture mechanics; stress intensity factor; finite element analysis; pressure storage tank; semi-elliptical surface crack

儲罐應用范圍較廣，在役儲罐面臨的工況復雜多樣，服役過程中易產生不同類型的裂紋缺陷。其中，介質腐蝕、蠕變腐蝕、疲勞腐蝕、過冷過熱等均可能導致儲罐形成裂紋缺陷，從而降低其使用壽命，使其存在安全隱患，因此需要分析含裂紋儲罐的極限狀態，從而預防安全事故，提高儲罐的工作效率和安全性［1-3］。要了解含缺陷罐體在承受內壓狀況下的應力分布情況，就需要研究應力強度因子。YANG等［4］分析了多裂紋應力強度因子中的含多裂紋的塑性區融合問題，發現可以對含有多個裂紋（彈性裂紋或塑性裂紋）材料的疲勞斷裂行為分析進行簡化，針對不同的多裂紋問題選擇不同的影響區域。BOZKURT等［5］分析了壓力容器與徑向接管交接處角裂紋的應力強度因子，結合圓形和橢圓形裂紋混合模式應力強度因子（stress intensity factor，SIF）計算，探究了角裂紋的角度和尺寸變化對應力強度因子的影響，得到內壓和各種外載荷作用下的角裂紋應力強度因子參數。PERL等［6］應用新穎的考慮包辛格效應的自增強殘余應力場方法，分析了球形壓力容器內孔環向裂紋在內壓和自增強作用下的應力強度因子，結果表明，利用自增強處理方法可延緩裂紋萌生和擴展的速率，延長疲勞壽命。TORIBIO［7］利用虛擬裂紋擴展技術計算出能量釋放率，分析螺母載荷與拉伸作用下螺栓半橢圓表面裂紋的應力強度因子，得到了一種利于處理螺紋連接處裂紋問題的解決方案。針對壓力容器的裂紋問題，根據具體情況采用相應的處理方法，由于工況、技術水平、材料差異等問題，實際測量和預估裂紋缺陷時較為困難。這需要結合相關數據、規范和技術經驗等手段，根據實測裂紋尺寸與容器壁厚之間的關系，確定簡化成的裂紋類型及尺寸，再進行系統的評估。裂紋產生的角度和尺寸是不可控的，且工程上也常出現不同于軸向的裂紋角度，初始角度的不同對儲罐的影響不同［8］。裂紋所處環境、所處位置、所受工況及殘余應力類型對裂紋的擴展方向、疲勞壽命也有較大的影響［9-11］。綜上所述，如何確定不同裂紋位置及尺寸對儲罐的具體影響，保障設備安全使用和實現使用率最大化尤為重要。

本文采用ANSYS有限元分析軟件，以含半橢圓表面裂紋缺陷儲罐為例，研究不同裂紋位置、裂紋長度、裂紋深度對儲罐造成的應力強度因子的變化情況，為工程實踐提供更加可靠的預測和控制手段，并為后續的安全評估提供參考。

1 應力強度因子計算

應力強度因子可作為裂紋尖端應力應變場強度的參量，由IRWIN在1957年正式定義，可用于表征裂紋尖端區的應力、應變、應變能密度及位移。確定應力強度因子的方法有很多，如常用的解析法、實驗法、數值法。解析法和實驗法都具有局限性，解析法單純運用公式和定理求解問題，實驗法需要適宜的設備及使用條件，而數值法由于不受幾何結構和載荷情況限制的特點，在現代斷裂力學中起到重要作用［12］。數值法廣泛應用于復雜問題的求解，具有良好的準確性。裂紋在力學特征上分為張開（Ⅰ型）、滑移（Ⅱ型）和撕開（Ⅲ型）3類［13］。由于Ⅰ型裂紋最為危險，因此研究Ⅰ型裂紋應力強度因子最大值KⅠ，max的分布規律，在工程上能夠有效保障含缺陷儲罐的安全性。

1.1 應力強度因子模擬法

應力強度因子模擬法采用相互作用積分法進行計算，當使用相互作用積分法計算應力強度因子時，是用體積分來進行獲取應力強度因子，通過建立裂紋尖端的輔助場來分離并獲取真實場中的Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子［14］。相互作用積分法是在Rice提出的J積分基礎上進行優化，使其適應范圍更廣，其J積分的定義如下［15］。

J=∫ΓWdy－Tuxds ，

（1）

式中：W為應變能密度；T為積分邊界上的作用力；u為邊界上位移；s為弧長；Γ為圍繞裂紋尖端的逆時針積分回路；x、y分別為以裂紋尖端為坐標原點平行和垂直裂紋面的坐標；W、T定義如下。

W=12∫εij0σijdεij，

（2）

T=σijni，

（3）

式中：εij為裂紋尖端的應變；σij為εij的應力參數；ni為積分回路的單元外法向向量。

為了分離應力強度因子KⅠ和KⅡ，假設承受真實載荷和輔助載荷的共同作用，因為輔助載荷下的輔助場（σauxij、εauxij、uauxij）也是滿足平衡條件和物理方程的位移場和應力場，即得到輔助場的積分公式，如式（4）所示：

Jaux=∫Γ12Wauxδij－σauxijuauxxinidΓ。

（4）

利用疊加原理并聯立式（1）－（4），得復合場共同作用的積分公式，如式（5）所示：

J*=∫Γ12σij+σauxijεij+εauxijδij－

σij+σauxijui+uauxixinidΓ。（5）

根據各向同性材料的J積分與應力強度因子的關系得到式（6）。

J=1E*K2Ⅰ+K2Ⅱ ，

（6）

式中：E*為等效模量，當E*=E時表示平面應力，當E*=E/（1-v2）時表示平面應變，其中E為材料彈性模量；v為材料泊松比。因此復合場共同作用的積分可表示為式（7）。

J*=1E*KⅠ+KauxⅠ2+KⅡ+KauxⅡ2，（7）

J*=J+Jaux+I，

（8）

其中，I為相互作用積分，聯合式（6）—（8）得Ⅰ型、Ⅱ型應力強度因子與相互作用積分之間關系，如式（9）所示：

I=2E*KⅠKauxⅠ+KⅡKauxⅡ。

（9）

輔助場中取KⅠ =1、KⅡ =0或KⅠ =0、KⅡ =1，得到實際場的Ⅰ，Ⅱ型應力強度因子KⅠ、KⅡ。

KⅠ=E*2I1，

（10）

KⅡ=E*2I2。

（11）

1.2 應力強度因子理論值計算法

根據GB/T 19624—2019《在用含缺陷壓力容器安全評定》［16］要求，得到半橢圓表面裂紋軸向時的KⅠ計算公式，如式（12）所示。

KI=πa（σmfm+σbfb），

（12）

式中：σm為薄膜應力，MPa；fm為薄膜應力強度因子系數；σb為彎曲應力，MPa；fb為彎曲應力強度因子系數；a為裂紋短半軸。其中：

fAm=11+1.464ac1.650.51.13-0.09ac+-0.54+0.890.2+acat2+0.5-10.65+ac+141-ac24］at4，

（13）

fAb=1+－1.22－0.12acat+［0.55－1.05ac0.75+0.47ac1.5］at2）fAm，

（14）

fBm=1.1+0.35at2ac0.5fAm，

（15）

fBb=［1－0.34at－0.11a2/（ct）］fBm。

（16）

式中：fAm、fAb為求裂紋深度KⅠ處時所用系數；fBm、fBb為求裂紋長度方向兩端KⅠ處時所用系數，其中深度處的系數與長度處的系數所求取的位置在裂紋表征下如圖1所示的點A、點B處，并且以下這2點位置所得的應力強度因子分別稱為KⅠ，A和KⅠ，B。

2 物理模型及可靠性驗證

2.1 物理模型的建立

傳統的儲罐結構較為復雜，分析中為了提高計算效率，對圓筒形儲罐模型進行了簡化，省略了對分析結果影響較小的扶梯、安全閥、加強圈等附件［17］，儲罐原始及簡化后的模型如圖2所示。

模型參數為壁厚t=6 mm，外徑D0=2 412 mm，筒體長l=5 850 mm，采用標準橢圓形封頭。由于模型的外直徑D0與內直徑Di之比小于1.1，因此該儲罐視為薄壁圓筒結構［18］。儲罐模型的材料選取為Q345R，彈性模量E=201 GPa，泊松比v=0.3，屈服強度ReL =315 MPa。有限元模型的載荷在筒體表面施加內壓力為0.5 MPa，邊界條件為在鞍座底部施加固定支撐約束。

根據GB/T 19624—2019《在用含缺陷壓力容器安全評定》［16］要求，并結合沿殼體表面方向的實測最大裂紋長度與實測裂紋深度之間的關系，分別規劃為半橢圓型裂紋和半圓型裂紋。本文裂紋尺寸均符合規劃為半橢圓裂紋的要求，因此基于儲罐不同位置的內表面設置了半橢圓型裂紋，裂紋面始終垂直壁厚方向，設置了不同裂紋深度（a）和裂紋長度（c）值。將模型沿軸向Y剖分為1/2進行觀測，如圖3所示，其中X為徑向方向，Y為軸向方向，Z為垂直于軸向的法向方向。選取的裂紋在筒體中心處的局部單元示意圖如圖4所示，即裂紋長度與筒體軸向平行，裂紋深度與筒體壁厚垂直。裂紋位置分別設定為筒體中心位置、不同角度（θ）下的封頭各個位置、高應力區位置，其中選取θ分別為30°、45°和60°，θ值代表裂紋面幾何中心與橢圓封頭中心連線與橢圓封頭長軸夾角。同時考慮局部應力分布情況及開孔邊界的影響，選取了開孔位置附近沿筒體軸向Y距開孔外徑為30 mm處為高應力區，如圖5所示。

2.2 正確性驗證

選取a=c=0.2t的表面半橢圓裂紋參數進行模擬，同時為了保證準確性，需要對模型的裂紋處進行網格加密，因此采用局部影響球加密方法，即在裂紋處施加16條圓周分割輪廓網格，6條繞線積分條數，裂紋周圍影響區域設置為Solid186單元。該單元為三維20節點的楔形單元，同時為消除裂紋尖端應力奇異性，需要在其尖端位置設置1/4節點的網格劃分方式，其他區域設置為Solid187的四面體網格單元。裂紋位置及網格如圖6所示。

根據無力距理論，當裂紋面垂直于壁厚時，裂紋處薄膜應力σm與周向應力σθ相等，如式（17）所示。

σm=σθ=pD02t，

（17）

式中：σθ為周向應力，MPa；p為壓強，MPa；t為壁厚，mm。

由于薄壁圓筒結構，結合無力矩理論可知，彎曲應力σb取值為0，接著通過式（12）—（16）得到上述1.2節中圖1所示位置的應力強度因子KⅠ，A解析解（理論值），與文中1.1所述模擬出的有限元解（模擬值）進行對比，從而判斷模擬的正確性。模擬了不同參數下的應力強度因子，對比結果如表1所示。由表1可知，裂紋前緣模擬值和理論值誤差小于10%，符合工程要求，證明了模擬方法的可行性。

3 結果分析

3.1 裂紋長度對應力強度因子最大值KⅠ，max的影響分析

設置裂紋長度c值為a、2a、4a、6a、8a、10a，其中a為（0.2～0.4）t，得到應力強度因子KⅠ，max模擬結果如圖7所示。由圖7可知KⅠ，max值隨著裂紋長度c的增長而增大，其中隨裂紋長度增大，各尺寸間的增長速率趨勢并不穩定，不同裂紋尺寸下KⅠ，max的增長率如表2所示。

如圖8可知，其中KⅠ，A、KⅠ，B表示圖1所示A點、B點位置的應力強度因子，在c/a為1～2時，KⅠ，max值出現相交現象，KⅠ，max由KⅠ，B變為KⅠ，A，即KⅠ，max位置發生變化。當c/a≤1時，KⅠ，max在裂紋前緣的兩端B點，當c/a＞1時，KⅠ，max在裂紋前緣的中部A點位置。

3.2 深厚比對應力強度因子KⅠ，max的影響分析

為了研究應力強度因子KⅠ，max沿不同裂紋深度與筒體厚度的比值（a/t，簡稱深厚比）下的變化規律，通過3.1節中已設定的裂紋深度與厚度的比值為0.2～0.4下的數據，對裂紋深度與筒體壁厚之間的相互影響關系進行了詳細分析，得到KⅠ，max隨裂紋深度變化的結果，如圖9所示。由圖9可看出KⅠ，max隨深厚比增大而增大，且當c/a變化時，仍存在KⅠ，max位置交互現象，證明該現象不受深厚比影響。

3.3 裂紋位置對應力強度因子KⅠ，max的影響分析

為探究表面半橢圓裂紋在不同位置隨裂紋長度或深度變化下的應力強度分布情況，設置裂紋深度為a=0.2t，裂紋長度的設置與文中3.1節所述長度參數變化一致。首先進行了內、外表面位置的分析，根據薄壁圓筒的模型特性，又結合模擬分析所得發現數值極為接近，因此，內、外表面的應力強度因子可視為相同。接著為進一步探究裂紋位置因素對應力強度因子的影響，基于封頭、筒體中心和高應力區位置進行探討。在封頭不同角度下的各個位置和高應力區位置預設了裂紋，各個位置的選取參數可見本文2.1所述。通過分析和匯總各個位置下KⅠ，max數據，得到的封頭各位置下應力強度因子最大值規律如圖10所示，高應力區的分析結果如圖11所示。

隨θ角的增大，封頭位置的KⅠ，max呈減小趨勢，且封頭各個位置隨裂紋長度的變化與筒體處規律相同。高應力區位置的KⅠ，max值整體較大于其他位置，并且受裂紋長度變化的影響與其他裂紋位置的KⅠ，max變化規律一致，驗證了不同裂紋位置KⅠ，max大小與應力分布有關。

4 結 語

采用相互作用積分法分析了含表面半橢圓裂紋儲罐裂紋尖端應力強度因子最大值KⅠ，max隨裂紋在儲罐上位置以及裂紋幾何尺寸的變化規律，主要研究結論如下。

1）當裂紋面平行于儲罐軸線方向且裂紋長度處于0.2t～2.0t時，應力強度因子最大值KⅠ，max隨裂紋長度的增大而增大。

2）當裂紋深度處于0.2t～0.4t時，KⅠ，max隨裂紋深度的增大同樣呈增大趨勢，并且該規律不受裂紋位置變化的影響。對比不同位置裂紋的KⅠ，max發現，當裂紋長度一定時，高應力區裂紋尖端的KⅠ，max最大；其次是筒體中心處；最后為封頭各位置。這與內壓作用下儲罐的應力分布規律一致。

3）對比封頭各位置的KⅠ，max發現，KⅠ，max隨θ角的增大而減小；KⅠ，max出現位置與c/a比值有關，當c/a＞1應力強度因子最大值KⅠ，max位于裂紋前緣中部；c/a≤1時，應力強度因子最大值KⅠ，max出現在裂紋前緣兩端。KⅠ，max出現位置隨c/a的變化規律與裂紋在儲罐上的具體位置無關。

本文未對不同溫度、不同施加載荷方式、不同裂紋類型等條件下的影響情況進行探究，存在一定的局限性，后續將對含裂紋儲罐在承受內壓與彎矩的復合型載荷方式下的應力強度因子進行研究。

參考文獻/References：

［1］

陳飛，丁寧，王馨怡，等.基于XFEM的管道表面裂紋環向擴展數值模擬［J］.材料保護，2022，55（12）：47-54.

CHEN Fei，DING Ning，WANG Xinyi，et al.Numerical simulation of circumferential propagation of surface cracks on pipeline based on XFEM［J］.Materials Protection，2022，55（12）：47-54.

［2］ 趙曉鈞.鍋爐壓力容器壓力管道檢驗中的裂紋問題研究［J］.中國設備工程，2022（6）：180-181.

ZHAO Xiaojun.Research on cracks in inspection of pressure piping of boiler and pressure vessel［J］.China Plant Engineering，2022（6）：180-181.

［3］ 劉興林.鍋爐壓力容器壓力管道檢驗中裂紋問題及處理措施分析［J］.中國機械，2023（29）：101-104.

LIU Xinglin.Cracks in the inspection of pressure pipes of boilers and pressure vessels and analysis of treatment measures［J］.China Machinery，2023（29）：101-104.

［4］ YANG Hongda，SHENG Yue，ZHANG Jiding，et al.The influenced zones of stress intensity factor and plasticity at multi-crack tips［J］.Theoretical and Applied Fracture Mechanics，2023，127：103978.

［5］ BOZKURT M，UZZAMAN A，NASH D.Determination of mixed-mode stress intensity factors for axial crotch corner cracks at cylindrical vessel to nozzle intersections under internal pressure and nozzle loads［J］.International Journal of Pressure Vessels and Piping，2023，204：104929.

［6］ PERL M，STEINER M.The beneficial effect of full or partial autofrettage on the combined 3-D stress intensity factors for inner coplanar crack arrays and ring cracks in a spherical pressure vessel［J］.Engineering Fracture Mechanics，2018，191：426-440.

［7］ TORIBIO J. Review and synthesis of stress intensity factor （SIF） solutions for elliptical surface cracks in bolts under nut loading： A tribute to Agustín de Betancourt［J］. Procedia Structural Integrity， 2022， 39： 730-734.

［8］ 馬東文，余剛，方修洋，等.初始圓形裂紋角度對鋼軌埋藏裂紋擴展特性影響［J］.機械強度，2022，44（4）：959-964.

MA Dongwen，YU Gang，FANG Xiuyang，et al.Influence of initial circular crack angle on buried crack growth characteristics of rail［J］.Journal of Mechanical Strength，2022，44（4）：959-964.

［9］ FANG Xiuyang，ZHANG Haonan，MA Dongwen，et al.Influence of welding residual stress on subsurface fatigue crack propagation of rail［J］.Engineering Fracture Mechanics，2022，271：108642.

［10］FANG Xiuyang，ZHANG Haonan，MA Dongwen.Influence of initial crack on fatigue crack propagation with mixed mode in U71Mn rail subsurface［J］.Engineering Failure Analysis，2022，136：106220.

［11］黃奎龍，余剛，方修洋，等.踏面匹配與初始裂紋形態交互作用下車輪多軸疲勞裂紋擴展特性［J］.材料導報，2024，38（4）：187-191.

HUANG Kuilong，YU Gang，FANG Xiuyang，et al.Multiaxial fatigue crack propagation characteristics of wheel under the interaction of tread matching and initial crack morphology［J］.Materials Reports，2024， 38（4）：187-191.

［12］汪必升，李毅波，廖雅詩，等.基于擴展有限元模型的動態應力強度因子計算［J］.中國機械工程，2019，30（11）：1294-1301.

WANG Bisheng，LI Yibo，LIAO Yashi，et al.Calculation of dynamic stress intensity factors based on XFEM model［J］.China Mechanical Engineering，2019，30（11）：1294-1301.

［13］李群，歐卓成，陳宜亨.高等斷裂力學［M］.北京：科學出版社，2017：16-17.

［14］宮經全，張少欽，李禾，等.基于相互作用積分法的應力強度因子計算［J］.南昌航空大學學報（自然科學版），2015（1）：42-48.

GONG Jingquan，ZHANG Shaoqin，LI He，et al.Computation of the stress intensity factor based on the interaction integral method［J］.Journal of Nanchang Hangkong University（Natural Sciences），2015（1）：42-48.

［15］李有堂，張展濤，楊佳.裂紋初始角度對球形壓力容器的裂紋應力強度因子與J積分的影響［J］.機械設計與制造工程，2023，52（8）：93-97.

LI Youtang，ZHANG Zhantao，YANG Jia.The influence of the initial angle of crack on the crack stress intensity factor and J integral of spherical pressure vessel［J］.Machine Design and Manufacturing Engineering，2023，52（8）：93-97.

［16］GB/T 19624—2019，在用含缺陷壓力容器安全評定［S］.

［17］潘科，李蕾蕾.洪水侵襲作用下沿海化工儲罐失效機制及概率研究［J］.安全與環境學報，2022，22（3）：1169-1177.

PAN Ke，LI Leilei.Failure mechanism and probability of coastal chemical storage tanks under flood attacking［J］.Journal of Safety and Environment，2022，22（3）：1169-1177.

［18］鄭津洋， 桑芝富.過程設備設計［M］.北京：化學工業出版社，2015：22-26.

收稿日期：2024-06-20;修回日期：2025-01-19；責任編輯：王淑霞

基金項目：國家重點研發計劃（2020YFB1506205）

第一作者簡介：

焦亮杰（1999—），男，河北邢臺人，碩士研究生，主要從事過程裝備結構優化與強度分析方面的研究。

通信作者：

劉慶剛教授。 E-mail：qgliu81@163.com

焦亮杰，劉慶剛，趙澤楠，等.

含表面裂紋儲罐應力強度因子分析

［J］.河北工業科技，2025，42（2）：182-188.

JIAO Liangjie，LIU Qinggang，ZHAO Zenan，et al.

Stress intensity factor analysis of storage tanks with surface cracks

［J］. Hebei Journal of Industrial Science and Technology，2025，42（2）：182-188.