函數解題中的數學思維方式與模型建立

摘要：函數思維與模型建立是解決數學問題的核心要素.文章通過分析函數解題過程中的邏輯分析、轉化簡化、數形結合等基礎思維方式，研究了變量關系分析、分段點確定和函數表達式構建等模型建立方法，并探討了分段函數應用、圖象分析和模型驗證等典型問題的解決策略.

關鍵詞：數學思維方式；模型建立；函數解題；分段函數；實際應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0020-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：雷鳴東，本科，高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：陜西省“十四五”教育科學規劃2024年度課題“基于核心素養視域下高中數學‘新教材’比較和資源開發研究”（項目編號：SGH24Y1333）.

函數是現代數學中描述變量關系的重要工具，其解題過程涉及多樣化的思維方式和系統化的模型建立過程.當前的數學教育實踐表明，學生在函數問題解決中往往存在思維定式、模型構建不當等問題.深入研究函數解題中的思維方式及其與模型建立的關系，對于提升教學效果、培養學生的數學應用能力具有重要意義.

1函數思維的多維透視

函數解題過程中，主要涉及邏輯分析、轉化簡化和數形結合三種基礎思維方式的綜合運用.邏輯分析思維強調對函數問題中變量關系的系統分析，通過明確條件之間的邏輯關聯建立解題思路；轉化簡化思維通過將復雜問題分解或轉化為簡單問題，提供解決問題的多樣化途徑；數形結合思維則強調代數運算與幾何直觀的統一，在函數圖象分析和函數性質研究中發揮重要作用，能夠幫助解題者建立起代數表達式與幾何圖形之間的聯系，為解題提供直觀而有效的思路.這三種思維方式的有機結合，為提高解決函數問題的效率和準確性提供了重要保障.

2函數模型的構建藝術

函數模型的建立是解決實際問題的關鍵環節，涉及深入分析問題情境和準確把握數學關系.科學的建模方法能夠將現實問題轉化為數學問題，實現從具體到抽象的跨越.變量關系分析、分段點確定和函數表達式構建構成了函數模型建立的三個核心要素，它們相互依存、逐層深入，形成了完整的建模體系.

2.1變量關系分析法

變量關系分析法是建立函數模型的基礎環節，主要研究問題中各變量之間的依存關系和變化規律.在建立模型過程中，需要準確識別自變量和因變量，明確它們之間的數量關系［1］.通過分析變量的實際意義，確定變量的取值范圍和約束條件.變量關系分析需要結合實際背景，考慮變量的可測量性和可控性.在分析過程中，應重點關注變量之間的依賴性質，包括正相關、負相關或其他非線性關系.對變量關系的深入分析能夠幫助學生確定函數的基本類型，為后續的模型構建提供方向.

2.2分段點確定法

分段點確定法在函數模型建立中具有重要地位[2]，尤其適用于分段函數的構建過程.分段點的確定需要綜合考慮問題的實際背景和數學特征，準確把握函數值或導數發生突變的臨界位置.確定分段點時需要考慮函數在該點的連續性和可導性，分析函數值的變化趨勢.分段點的選擇直接影響模型的準確性.在實際應用中，分段點往往與問題的特定條件相對應，如價格變化點、政策轉折點等.分段點確定過程中需要特別注意數值的精確性，確保相鄰區間的函數表達式能夠合理銜接.

2.3函數表達式構建法

函數表達式構建法是函數模型建立的核心步驟，要求在準確理解變量關系的基礎上，用數學語言表達各變量之間的定量關系.表達式的構建需要遵循數學邏輯，保證公式的嚴密性和普適性[3].在構建過程中，應注意選擇合適的數學符號和運算規則，確保表達式的規范性.對于分段函數，需要為每個區間建立相應的表達式，并確保各區間表達式的有效性.構建函數表達式應考慮到實際應用的便利性，在保證準確性的同時追求形式的簡潔.表達式的驗證同樣重要，需要通過代入特殊值、考查極限情況等方法檢驗表達式的正確性.

3函數典型問題的智慧解析

有效的解題策略能夠提高解題效率，增強解題的準確性.分段函數應用、圖象分析和模型驗證構成了解決函數問題的三大核心策略，它們相互補充、相互驗證.

3.1分段函數應用策略

分段函數應用策略在解決實際問題中具有廣泛的適用性，教材中的個人所得稅計算模型體現了這一策略的典型應用.在該問題中，根據不同收入區間采用不同的計算方法，構建了完整的分段函數模型.具體而言，當收入在0至146 700元區間時，應納稅額為0；當收入在146 700至191 700元區間時，采用3%的稅率計算；隨著收入的增加，稅率逐步提高至45%.分段函數應用策略要求準確劃分區間，明確各區間的函數表達式（圖1）.在實踐中，需要特別注意分段點的選擇和區間的銜接.分段函數的構建過程體現了數學建模的系統性，要求解題者具備嚴密的邏輯思維能力.

3.2圖象分析策略

圖象分析策略在解決函數問題中發揮著直觀而重要的作用.以一個典型的汽車行駛問題為例，通過分析速度—時間圖象，可以直觀地求解行駛路程.如圖2所示，汽車運動經歷了三個階段：0～10秒的加速階段，10～25秒的勻速階段，以及25～35秒的減速階段.圖象下方的陰影面積代表汽車的行駛路程，可以通過計算不同階段的面積（加速段和減速段的梯形面積，勻速段的矩形面積）來求得總路程.這種圖象分析策略充分體現了數形結合思維，使抽象的函數關系具象化，便于理解和分析.圖象分析策略強調對函數圖象特征的把握，包括函數的增減性、極值點、對稱性等性質.

3.3模型驗證策略

模型驗證策略是確保函數解題正確性的關鍵環節，該策略要求對建立的函數模型進行全面檢驗，驗證其是否符合實際問題的要求.驗證過程包括數值驗證、邏輯驗證和實際意義驗證三個方面.在稅率計算問題中，需要驗證各個收入區間的稅額計算是否準確，分段點處的函數值是否連續，計算結果是否符合實際意義.模型驗證策略強調結果的合理性檢查，通過代入特殊值、考查極限情況等方法檢驗模型的有效性.在實際應用中，驗證過程還需要考慮誤差范圍和精度要求.良好的驗證策略能夠及時發現模型中的問題，提高解題的準確性.

4思維方式與模型建立的融合創新

思維方式與模型建立的整合應用體現了解決函數問題的系統性和完整性.多維思維的綜合運用為模型建立提供了方法論指導，模型的優化完善過程體現了思維的深化和發展，而解題方法的系統構建則實現了理論與實踐的統一.通過整合應用，能夠提高解決函數問題的效率和準確性，形成科學的解題體系.

4.1多維思維的綜合運用

多維思維的綜合運用強調在解決函數問題過程中靈活運用各種思維方式.在教材的個人所得稅計算問題中，邏輯分析思維用于厘清不同收入區間的稅率關系，轉化思維用于將復雜的稅率計算轉化為分段函數模型，數形結合思維則用于理解和驗證計算結果.多維思維的綜合運用要求解題者具備全面的思維能力，能夠根據問題特點選擇恰當的思維方式.

4.2模型的優化與完善

模型的優化與完善過程體現了函數解題的動態性和發展性.以教材中的汽車行駛問題為例，初始模型可能僅考慮基本的速度—時間關系，優化可以引入加速度、路況等因素，使模型更加貼近實際.模型優化需要基于實際問題的要求，綜合考慮模型的準確性和實用性.優化過程中應注意保持模型的科學性，避免過度復雜化.模型完善過程中需要不斷驗證和調整，確保優化方向的正確性.

4.3解題方法的系統構建

解題方法的系統構建是思維方式與模型建立整合應用的最終目標.在教材的函數應用問題中，通過建立完整的解題體系，將思維方式和模型建立有機結合.系統的解題方法包括問題分析、模型建立、求解驗證等環節，每個環節都需要運用相應的思維方式.解題方法的構建應注重實踐性和可操作性，便于在類似問題中推廣應用.系統構建過程中需要總結經驗，提煉方法，形成科學的解題策略.方法構建過程中應注意與實際問題的結合，確保方法的實用性.

5結束語

函數解題中數學思維方式與模型建立密切關聯，相互促進.邏輯分析、轉化簡化、數形結合等思維方式為模型建立提供了重要指導，而規范的模型建立流程又促進了思維方式的深化和發展.在具體應用中，多維思維的綜合運用與模型的優化完善相互促進，形成了科學的解題體系.這些研究成果對指導數學教學實踐、提高學生解題能力具有積極意義.建議在今后的教學中，更加注重培養學生的多元思維能力，引導其掌握科學的模型建立方法.參考文獻：

［1］ 饒彬.基于深度學習的高中數學單元整體教學設計：以“函數的概念與性質”為例[J].數學學習與研究，2024（32）：122-125.

［2］ 李勇文.核心素養視角下高中生數學建模能力培養路徑探究[J].數學學習與研究，2024（31）：2-5.

［3］ 張傳利.函數思想在高中數學解題訓練中的妙用[J].數理天地（高中版），2024（17）：52-53.

［責任編輯：李慧嬌］