“教學(xué)評”一體化視角下函數(shù)概念中的特殊“點”探究

摘要：本文介紹了“教學(xué)評”一體化視角下函數(shù)概念中存在的一些常見特殊“點”，并區(qū)分了部分容易混淆的概念，通過部分真題呈現(xiàn)這些特殊“點”在高考中的地位和考查方式.

關(guān)鍵詞：“教學(xué)評”；函數(shù)；概念；特殊“點”

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0023-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：魏東升，高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃“研究共同體”專項課題“逆向設(shè)計下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)評一體化的研究”（項目編號：Fjygzx23-145）.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，教師應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，達到相應(yīng)水平的要求[1].教學(xué)目標(biāo)是課標(biāo)對本節(jié)課學(xué)生達成目標(biāo)的要求，是課堂教學(xué)活動的起點和歸宿，是教學(xué)設(shè)計的核心，是教學(xué)活動的指導(dǎo)思想.而現(xiàn)實教學(xué)中，許多教師把精力只用在自己“教”的設(shè)計上，而忽略甚至淡忘了“教”是為“學(xué)”服務(wù)的.因此，預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)達成度如何是衡量一節(jié)課是否成功的重要標(biāo)志，而這也是目前教師們感覺到最棘手、最難操作的問題.

評價目標(biāo)前置化是最好的解決辦法.比如函數(shù)的概念和圖象是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的主要載體之一，也一直是高考數(shù)學(xué)考查的重點內(nèi)容.其中函數(shù)圖象上的一些常見特殊“點”在刻畫函數(shù)圖象的形態(tài)和函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)時有重要作用，這些特殊“點”其實一直是高考題中的常客，但是學(xué)生往往對這些函數(shù)的概念理解得并不到位，以致常因概念混淆影響相關(guān)問題的解決.如果教師在教學(xué)目標(biāo)設(shè)置中注意到這些問題，把評價目標(biāo)前置，探究清楚相關(guān)的每一個數(shù)學(xué)概念，并且在相關(guān)概念學(xué)習(xí)結(jié)束后適時地以小專題形式開展一節(jié)函數(shù)概念中存在的特殊點的專題課，相信定能促進相關(guān)的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的提升.

本文結(jié)合部分高考試題，以小專題的形式呈現(xiàn)函數(shù)概念中的這些特殊“點”，以供大家參考.

1案例剖析

1.1零點

對于定義在I的函數(shù)y=f（x），我們把x0∈I且滿足f（x0）=0的實數(shù)x0（注意其是一個數(shù)）稱為函數(shù)y=f（x0）的零點.

例1（2019年全國Ⅱ卷理）已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1x-1.討論f（x）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個零點.

解析f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞）.

因為f ′（x）=1x+2（x-1）2gt;0，

所以f（x）在（0，1），（1，+∞）單調(diào)遞增.

因為f（e）=1-e+1e-1lt;0，

f（e2）=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1gt;0，

所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點x1，即f（x1）=0.

又0lt;1x1lt;1，

f（1x1）=-lnx1+x1+1x1-1=-f（x1）=0，

故f（x）在（0，1）有唯一零點1x1.

綜上可知，f（x）有且僅有兩個零點.

1.2極值點

設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有點都滿足f（x）lt;f（x0），就說f（x0）是f（x）的一個極大值，x0（注意其是一個數(shù)）是f（x）的一個極大值點.同理可定義極小值點，極大值點和極小值點統(tǒng)稱極值點.

例2（2019年全國Ⅰ卷理）已知函數(shù)f（x）=sinx-ln（1+x），f ′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).證明：f ′（x）在區(qū)間（-1，π2）存在唯一極大值點.

解析設(shè)g（x）=f ′（x），則

g（x）=cosx-11+x，

g′（x）=-sinx+1（1+x）2.

當(dāng)x∈（-1，π2）時，g′（x）單調(diào)遞減，而g′（0）gt;0，g′（π2）lt;0，可得g′（x）在（-1，π2）有唯一零點，設(shè)為α.

則當(dāng)x∈（-1，α）時，g′（x）gt;0；

當(dāng)x∈（α，π2）時，g′（x）lt;0.

所以g（x）在（-1，α）單調(diào)遞增，在（α，π2）單調(diào)遞減.

故g（x）在（-1，π2）存在唯一極大值點.

即f ′（x）在（-1，π2）存在唯一極大值點.

1.3最值點

對于定義在I的函數(shù)y=f（x），如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意實數(shù)x∈I，都有f（x）≤M，②存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么我們稱x0（注意其是一個數(shù)）是函數(shù)y=f（x）的最大值點.同理可定義最小值點，最大值點和最小值點統(tǒng)稱最值點.

例3（2019年北京卷文）已知函數(shù)f（x）=14x3-x2+x.當(dāng)x∈［-2，4］時，求證：x-6≤f（x）≤x.

解析令g（x）=f（x）-x，x∈［-2，4］，

由g（x）=14x3-x2，得g′（x）=34x2-2x.

令g′（x）=0，得x=0或x=83.

當(dāng)x∈（-2，0）和（83，4）時，g′（x）gt;0，

所以g（x）在（-2，0）和（83，4）上單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈（0，83）時，g′（x）lt;0，

所以g（x）在（0，83）上單調(diào)遞減.

經(jīng)計算可得g（x）max=g（0）=g（4）=0，

g（x）min=g（-2）=-6.

所以-6≤g（x）≤0.

即x-6≤f（x）≤x.

1.4駐點

駐點又稱為平穩(wěn)點、穩(wěn)定點或臨界點，若定義在I的函數(shù)f（x）中存在x0∈I滿足f ′（x0）=0，則稱x0（注意其是一個數(shù)）為f（x）的一個駐點.

例4（2019年全國Ⅲ卷理）函數(shù)y=2x32x+2-x在［-6，6］的圖象大致為（）.

解析設(shè)y=f（x）=2x32x+2-x，則

f（-x）=2（-x）32-x+2x=-2x32x+2-x=-f（x）.

所以f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點成中心對稱，排除選項C.

又f（4）=2×4324+2-4gt;0，排除選項B.

f（6）=2×6326+2-6≈7，排除選項A.

故選D.

1.5拐點

設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若（x0，f（x0））是曲線y=f（x）凹與凸的分界點，則稱（x0，f（x0））（注意其是一個點）為曲線y=f（x）的拐點，也稱反曲點.

例5（2018年全國Ⅲ卷理）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.若a=0，證明：當(dāng)-1lt;xlt;0時，f（x）lt;0；當(dāng)xgt;0時，f（x）gt;0.

解析當(dāng)a=0時，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，

f ′（x）=ln（1+x）-x1+x.

設(shè)函數(shù)g（x）=f ′（x）=ln（1+x）-x1+x，則

g′（x）=x（1+x）2.

當(dāng)-1lt;xlt;0時，g′（x）lt;0；

當(dāng)xgt;0時，g′（x）gt;0.

故當(dāng)xgt;-1時，g（x）≥g（0）=0，從而f ′（x）≥0.

所以f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增.

又f（0）=0，故當(dāng)-1lt;xlt;0時，f（x）lt;0；

當(dāng)xgt;0時，f（x）gt;0.

1.6不動點

對于定義在I的函數(shù)y=f（x），我們把x0∈I且滿足f（x0）=x0的實數(shù)x0（注意其是一個數(shù)）稱為函數(shù)y=f（x0）的不動點［2］.

例6（2019年浙江卷）設(shè)a，b∈R，數(shù)列an滿足a1=a，an+1=a2n+b，n∈N*，則（）.

A.當(dāng)b=12，a10gt;10B.當(dāng)b=14，a10gt;10

C.當(dāng)b=-2，a10gt;10D.當(dāng)b=-4，a10gt;10

解析令an+1=f（an），n∈N*，構(gòu)造f（x）=x2+b，

令f（x）=x，即x2-x+b=0.

則當(dāng)Δ=1-4b≥0時，即必存在x0，使得

x20-x0+b=0.

即必存在an+1=a2n+b=an對任意n∈N*成立.

當(dāng)a1=a=x0時，解方程a2-a+b=0，得

a=1±1-4b2.

把B，C，D中b的值代入驗證可得a1=a2=…=a10≤10，故B，C，D三項均不正確.

當(dāng)b=12時，a2=a21+b≥12，a3=a22+12≥34，a4≥a23+12=1716gt;1，…，a10=a29+12gt;10，故A項正確.

2結(jié)束語

我們知道，認清函數(shù)圖象上的這些特殊“點”的概念、厘清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系以及熟悉其在高考解題中的作用，對我們的教學(xué)是十分必要的.充分理解這些數(shù)學(xué)概念是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要抓手，在實際教學(xué)中，對數(shù)學(xué)概念的理解既要以素養(yǎng)為導(dǎo)向，又必須依托真實的數(shù)學(xué)情境，沒有真實情境，就談不上關(guān)鍵能力、必備品格和價值觀念的培養(yǎng).

當(dāng)下，為了實現(xiàn)人們對美好生活的向往，促進經(jīng)濟社會的全面發(fā)展，國家正在大力弘揚新質(zhì)生產(chǎn)力.在新高考改革的背景下，教育行業(yè)也應(yīng)該踐行教育的新質(zhì)生產(chǎn)力.因此，正確處理好教學(xué)和評價的關(guān)系，認識到評價在“教學(xué)評”一致性中扮演著的至關(guān)重要的角色，非常有必要.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 彭家麟.函數(shù)的不動點和穩(wěn)定點[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（07）：37，40.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］