兩直線的“到角”“夾角”公式及應用

摘要：優化運算是研究解析幾何問題的重要內容，也是培養學生數學運算核心素養、探究運算思路的重要一環.在解析幾何中，夾角公式與到角公式是處理直線、射線或線段間角度關系的重要工具，它們不僅具有深刻的幾何意義，而且在解決解析幾何問題時展現出極高的應用價值，有效促進了數學思維的發展和運算能力的提高.

關鍵詞：到角；運算；思維

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0026-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：袁曉明，碩士，二級教師，從事高中數學教學研究.

新高考背景下，試卷的命題結構和難度結構進一步優化創新，在降低了題量的同時增加了思維量，突出考查學生的思維過程和思維方法.因此如何突破運算的瓶頸，提高優化運算求解的能力，提升數學素養，形成規范化思考問題的品質，是我們時刻需要研究的課題.在解析幾何的運算求解中，到角公式與夾角公式扮演了舉足輕重的角色，它們不僅豐富了我們的數學工具箱，也為解決各類幾何問題提供了強有力的支持.下面通過各地的高三模擬題，例談“到角”“夾角”公式在解析幾何中的運用.

1到角公式與夾角公式的定義

1.1到角公式

到角定義當l1與l2相交時，把l1繞著l1與l2的交點按逆時針方向旋轉到與l2首次重合時的最小正角，記為θ，則此時θ叫作l1到l2的角，那么l2到l1的角為π-θ，范圍：θ∈（0，π）.

到角計算公式記l1到l2的角為θ，直線l1與l2的斜率存在且分別為k1和k2，則tanθ=k2-k11+k2k1（1+k2k1≠0）[1].

1.2夾角公式

夾角定義當l1與l2相交時，直線l1與l2相交所成的四個角中最小的正角記作α，則此時α叫作l1與l2的夾角，范圍：α∈（0，π2].

夾角計算公式記l1與l2的夾角為α，直線l1與l2的斜率存在且分別為k1和k2，則tanα=|k2-k11+k2k1|（1+k2k1≠0）.

1.3區別與聯系

到角是有向角，公式中不含絕對值；夾角是無向角，公式中有絕對值.當l1到l2的角θ∈（0，π2]時，則θ就是l1與l2的夾角，當l1到l2的角θ∈（π2，π），則l1與l2的夾角為π-θ，即l2到l1的角［2］.

2到角公式與夾角公式的應用

例1已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點分別為F1，F2，A（-2，1）為橢圓上一點，B（0，-1），四邊形AF1BF2的面積為23，O為坐標原點.

（1）求橢圓E的方程；

（2）求∠F1AF2的角平分線所在的直線l的方程；

（3）過點A且斜率存在的直線l1，l2分別與橢圓交于點P，Q（均異于點A），若點B到直線l1，l2的距離相等，證明：直線PQ過定點.

解析（1）橢圓E的方程為x26+y23=1.

（2）由（1）F1（-3，0），F2（3，0），kAF1=13-2，kAF2=1-2-3.

設∠F1AF2的角平分線所在的直線l的斜率為k，則13-2lt;klt;1-2-3.

根據到角公式可得k-kAF11+k·kAF1=kAF2-k1+kAF2·k.

化簡得k2=1，所以k=-1（正值舍去）.

所以此時直線l的方程為x+y+1=0.

（3）設直線l1，l2的斜率分別為k1，k2（k1≠k2），可得直線l1：y-1=k1（x+2），l2：y-1=k2（x+2）.

由到角公式-1-k11-k1=k2+11-k2，化簡得k1k2=1.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

k1k2=y1-1x1+2·y2-1x2+2=1.

化簡，得y1y2-（y1+y2）+1=x1x2+2（x1+x2）+4.

設直線PQ為x=my+n，和橢圓聯立方程組x=my+n，

x2+2y2=6，得（m2+2）y2+2mny+n2-6=0.①

由韋達定理，得y1+y2=-2mnm2+2，

y1y2=n2-6m2+2.

所以x1+x2=4nm2+2，

x1x2=-6m2+2n2m2+2.

代入①化簡，得

n2-3m2+8n-2mn+12=0.

因式分解得（m+n+2）（n-3m+6）=0.

因此可得直線PQ過點（-6，-3）.

例2設點A為雙曲線C：x2-y23=1的左頂點，直線l經過點（-1，2），與C交于不與點A重合的兩點P，Q.

（1）求直線AP，AQ的斜率之和；

（2）設在射線AQ上的點R滿足∠APQ=∠ARP，求直線PR的斜率的最大值.

解析（1）設直線AP：y=k1（x+1），

AQ：y=k2（x+1）.

聯立y=k1（x+1），

3x2-y2=3，得

（3-k21）x2-2k21x-k21-3=0.

由xAxP=-k21+33-k21，得xP=k21+33-k21.

于是P（k21+33-k21，6k13-k21）.

設l：y-2=k（x+1），將點P的坐標代入，有

k21+3k1-3k-3=0.

同理得k22+3k2-3k-3=0.

所以k1，k2是關于x的方程x2+3x-3k-3=0的兩根.故k1+k2=-3，k1k2=-3k-3.

所以直線AP，AQ的斜率之和為定值-3.

（2）設直線PR的斜率為m，由∠APQ=∠ARP及到角公式，有k-k11+kk1=k2-m1+k2m.

整理，得

m=k1+k2+k（k1k2-1）k（k1+k2）-k1k2+1=-3k2-4k-34，

當且僅當k=-23時，PR的斜率有最大值-512.

評析第（1）問是常見的共點引雙線模型，在PQ過定點的情況下，求證從點A出發的兩條射線斜率和為定值.

第（2）問給出的兩個角相等，思考的方向有兩個，一是推導△APQ∽△ARP，得到AP2=AR·AQ，于是解出R的坐標，然后計算PR的斜率；二是利用到角公式表達角相等，轉化為k1，k2的關系，借助第（1）問將PR的斜率轉化為關于k的二次函數.

例3已知動點M到點F（-1，0）的距離與到直線l：x=-2的距離之比等于22.

（1）求動點M的軌跡W的方程；

（2）過直線l上的一點P作軌跡W的兩條切線，切點分別為A，B，且∠APB=60°，求點P的坐標.

解析（1）設M（x，y），根據題意得

（x+1）2+y2|x+2|=22.

得動點M的軌跡方程為x22+y2=1.

（2）設P（-2，m），切線斜率是k，切線方程為y=k（x+2）+m.

聯立橢圓方程x22+y2=1，得（2k2+1）x2+（8k2+4km）x+8k2+2m2+8km-2=0.

則其判別式為Δ=（8k2+4km）2-4（2k2+1）·（8k2+2m2+8km-2）=0.

化簡，得2k2+4mk+m2-1=0.

設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，

由韋達定理，得k1+k2=-2m，k1k2=m2-12.

由夾角公式tan∠APB=|k2-k11+k2k1|=3，

平方，得3=（k1-k2）2（k1k2+1）2=（k1+k2）2-4k1k2（k1k2+1）2.

即4m2-4（m2/2-1/2）（m2/2+1/2）2=8m2+1=3.

解得m=±53=±153.

所以點P的坐標為（-2，±153）.

評析第（2）問是雙切線模型，與例2一樣，利用同構法，設直線聯立方程組，由相切Δ=0，得到關于k的一元二次方程，再由韋達定理得到斜率之和、斜率之積的關系，代入夾角公式，利用整體的思想求出參數m的值.夾角公式通過斜率的形式，直接關聯了兩直線的傾斜程度與它們之間夾角的大小，既直觀又精確.

3結束語

到角公式與夾角公式來源于書本課后習題，是一道探究拓展題，既解決了平面幾何里兩直線相交時的夾角問題，也為解析幾何問題提供了一個直接的解題思路，有效地簡化了運算求解過程，高度契合了新高考卷“多思少算、注重幾何思想、減少計算量”的理念，強調解析幾何的一般觀念是先用幾何眼光觀察，再用坐標法解決.而到角公式與夾角公式正是在幾何與代數之間架起了一座橋梁，通過它，我們可以用坐標表示斜率、向量，進而解決平面幾何、解析幾何問題，同時也加深了對幾何概念的理解[3].

參考文獻：

［1］ 尹建堂.兩條直線的“到角”與“夾角”[J].數學通訊，2000（20）：8-10.

[2] 聶雙亮.直線中兩類“角”公式的應用[J].中學生數理化（高一版），2010（11）：15.

[3] 劉小東.直線“到角”“夾角”公式的應用[J].高中數學教與學，2017（22）：16-17.

［責任編輯：李慧嬌］