2025年高考數學模擬卷二

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0084-09

（適合新課標Ⅱ卷省份：甘肅、山西、遼寧、吉林、黑龍江、廣西、海南、重慶、貴州、云南、新疆）

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．設集合A={1，a}，B={a+1，a2，3}，若AB，則a=（）.

A.3B.1C.0D.-1

2．若（1+i）z=2-i，則|z-z-|=（）.

A.1B.3C.6D.9

3．已知向量|a|=1，|b|=2，且a與b的夾角為45°，則b在a方向上的投影向量為（）.

A.22aB.2aC.2bD.b

4．已知sin（θ+10°）=-14，則sin（2θ+110°）=

（）.

A.78B.18C.-18D.-78

5．已知正四棱錐的頂點都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為3，則正四棱錐的體積為（）.

A.3B.23C.33D.63

6．已知函數f（x）的定義域為R，設f（x）的導函數是f ′（x），且f（x）·f ′（x）+xgt;0恒成立， 則（）.

A.f（1）lt;f（-1）B.f（1）gt;f（-1）

C.|f（1）|gt;|f（-1）|D.|f（1）|lt;|f（-1）|

7．已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ωgt;0，|φ|lt;π2）的部分圖象如圖1所示，其中A（π3，0），

B（-π24，-2），則以下說法正確的個數為（）.

①函數f（x）的最小正周期是π；

②函數f（x）的圖象關于直線x=11π24對稱；

③把函數y=2sin（x-π3）圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的14，得到f（x）的圖象；

④當x∈（π，5π4）時，f（x）∈（-3，2）

A.0B.1C.2D.3

8．若對任意的x1，x2∈（1，3］，當x1lt;x2時，

x1-x2gt;a2lnx1-a2lnx2恒成立，則實數a的取值范圍是（）.

A.［3，+∞）B.（3，+∞）

C.［6，+∞）D.（6，+∞）

二、多項選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）

9．下列說法中正確的是（）.

A.數據1，2，2，3，4，5的極差與眾數之和為7

B.若隨機變量X服從二項分布X～B（20，p），且E（X）=8，則D（X）=4.8

C.X和Y是分類變量，若χ2

=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）值越大，則判斷“X與Y獨立”的把握性越大

D.若隨機變量X服從正態分布X～N（2，σ2），且P（Xgt;5）=0.2，則P（-1lt;Xlt;5）=0.6

10．已知函數f（x）=xex-a，則下列說法正確的是（）.

A.f（x）有最大值-1e-a

B.當a=1時，f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程是y=x-1

C.f（x）在區間［-2，0］上單調遞減

D.關于x的方程f（x）=0有兩個不等實根，則a的取值范圍是（-1e，0）

11．“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術，更是中國傳統戲曲文化的重要載體．如圖2，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C.半圓C1的方程為x2+y2=9（y≥0），半橢圓C2的方程為x29+y216=1（y≤0）．則下列說法正確的是（）.

A.點A在半圓C1上，點B在半橢圓C2上，O為坐標原點，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B.曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7

C.若A（0，-7），B（0，7），P是半橢圓C2上的一個動點，則cos∠APB的最小值為19

D.畫法幾何的創始人加斯帕爾·蒙日發現：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日圓，那么半橢圓C2擴充為整個橢圓C′：x29+y216=1（-4≤y≤4）后，橢圓C′的蒙日圓方程為x2+y2=25

第Ⅱ卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）

12．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左焦點為F，B為雙曲線C的虛軸的一個端點，直線FB與雙曲線C交于點P，若FB=BP，則雙曲線C的離心率為．

13．已知P為函數f（x）=x4-33x圖象上一點，則曲線y=f（x）在點P處的切線的斜率的最小值為．

14．一顆質地均勻的正方體骰子，六個面上分別標有點數1，2，3，4，5，6.現隨機地將骰子拋擲三次（各次拋擲結果相互獨立），其向上的點數依次為a1，a2，a3，則事件“|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a1|=6”發生的概率為.

四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a-b3sinB+sinC=csinA+sinB．

（1）求A；

（2）若D是BC邊上一點，且AB⊥AD，2CD=3BD，求sin∠ADC的值．

16．設向量s=（x+3，y），t=（y，x-3）（x，y∈R），滿足|s|+|t|=4.

（1）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；

（2）若點F1（-3，0），F2（3，0），設斜率

為-33且過點F2的直線l與（1）中的軌跡交于P，Q兩點，求△F1PQ的面積.

17．如圖3（a），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，

AD=8，BC=4，∠DAB=60°，點E，F在以AD為直徑的半圓上，且AE=EF=FD，將半圓沿AD翻折如圖3（b）.

（1）求證：EF∥平面ABCD；

（2）當多面體ABE-DCF的體積為32時，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值.

18．已知函數f（x）=xex-a（x+1）2．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若alt;0，且存在x1，x2（x1lt;x2），滿足f（x1）=f（x2），證明：x1+x2lt;-2；

（3）設函數g（x）=b（lnx+x），若a=0，且f（x）與g（x）的圖象有兩個交點，求實數b的取值范圍．

19．在平面直角坐標系xOy中，若在曲線E1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ為非零的正實數）代替（x，y）得到曲線E2的方程F（λx，λy）=0，則稱曲線E1，E2關于原點“伸縮”，變換（x，y）→（λx，λy）稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比.

（1）已知曲線E1的方程為x24-y23=1，伸縮比

λ=12，求E1關于原點“伸縮變換”后所得曲線E2的方程；

（2）射線l的方程y=2x（x≥0），如果橢圓E1：x24+y2=1經“伸縮變換”后得到橢圓E2，若射線l與橢圓E1，E2分別交于兩點A，B，且|AB|=33，求橢圓E2的方程；

（3）對拋物線E1：x2=2p1y，作變換（x，y）→（λ1x，λ1y），得拋物線E2：x2=2p2y；對E2作變換（x，y）→（λ2x，λ2y），得拋物線E3：x2=2p3y；如此進行下去，對拋物線En：x2=2pny作變換（x，y）→（λnx，λny），得拋物線En+1：x2=2pn+1y，…，若p1=1，λn=2n，求數列{pn}的通項公式pn.

參考答案

1．因為A={1，a}，B={a+1，a2，3}，且AB，所以1∈B.

則a+1=1或a2=1，解得a=0或a=1或a=-1.

當a=0時，A={1，0}，B={1，0，3}，符合題意.

當a=1時，集合A不滿足元素的互異性，故舍去.

當a=-1時，A={1，-1}，B={1，0，3}，不滿足AB，故舍去.

同理a∈B，則a=a2或a=3.

即a=0或a=1或a=3.

由以上分析可知a=0符合題意，a=1不符合題意，a=3時，A={1，3}，B={4，9，3}，不符合題意.

綜上可得a=0.

故選C.

2．由（1+i）z=2-i，可得

z=2-i1+i=（2-i）（1-i）（1+i）（1-i）=1-3i2.

則|z-z-|=|1-3i2-1+3i2|=|-3i|=3.

故選B.

3．由題意知，a·b=|a||b|cos45°=2.

所以b在a上的投影向量為a·b|a|2a=21a=2a.

故選B.

4．由題意可得sin（θ+10°）=-14.

故sin（2θ+110°）=sin（90°+2θ+20°）=cos（2θ+20°）=1-2sin2（θ+10°）

=1-2（-14）2=78.

故選A.

5．因為棱錐的高和球的半徑均為3，所以底面正方形的外接圓圓心即為球心，外接圓半徑即為球的半徑.

所以正四棱錐的底面邊長（3）2+（3）2=6.

故四棱錐的體積為13×（6）2×3=23.

故選B.

6．設g（x）=f 2（x）+x2，則

g′（x）=2f（x）·f ′（x）+2xgt;0 .

故y=g（x）在定義域上是增函數.

于是 g（1）gt;g（-1） .

即f 2（1）+1gt;f 2（-1）+1 .

即有f 2（1）gt;f 2（-1）.

故得 |f（1）|gt;|f（-1）| .

故選C.

7．由圖象知：34T=π3-（-π24）=3π8，解得T=π2，故①錯誤.

所以2πω=π2，解得ω=4.

將B（-π24，-2）代入f（x）=2sin（4x+φ），得

sin（φ-π6）=-1.

所以φ-π6=-π2+2kπ，k∈Z.

即φ=-π3+2kπ，k∈Z.

又因為|φ|lt;π2，

所以φ=-π3.

所以f（x）=2sin（4x-π3）.

當x=11π24時，f（11π24）=2sin（4×11π24-π3）

=2sin3π2=-2，

所以函數f（x）的圖象關于直線x=11π24對稱，

故②正確.

把函數y=2sin（x-π3）圖象上點的橫坐標縮短為原來的14，得到

2sin（4x-π3）=f（x），

故③正確.

當x∈（π，5π4）時，4x-π3∈（4π-π3，5π-π3），

則sin（4x-π3）∈（-32，1］，

f（x）=2sin（4x-π3）∈（-3，2］，

故④錯誤.

所以說法正確的是②③.

故選C.

8．當x1lt;x2時，x1-x2gt;a2lnx1-a2lnx2恒成立，

即當x1lt;x2時，x1-a2lnx1gt;x2-a2lnx2恒成立.

設f（x）=x-a2lnx，x∈（1，3］，則f（x）單調遞減.

而f ′（x）=1-a2x≤0在（1，3］上恒成立，即a≥2x在（1，3］上恒成立.

所以a≥6.

故選C.

9．選項A，該組數據的極差為4，眾數為2，所以該組數據的極差與眾數之和為6，故A錯誤.

選項B，由X～B（20，p），E（X）=8，得E（X）=np=20p=8，解得p=25.

所以D（X）=np（1-p）=20×25×35=4.8，故B正確.

選項C，χ2值越大，X和Y有關系的可能性就越大，則“X與Y獨立”的把握越小，故C錯誤.

選項D，由X～N（2，σ2），P（Xgt;5）=0.2，得

P（Xlt;-1）=P（Xgt;5）=0.2.

所以P（-1lt;Xlt;5）=1-P（Xlt;-1）-P（X

gt;5）=0.6，故D正確.

故選BD.

10．因為f ′（x）=ex（x+1），

選項A，當xlt;-1時，f ′（x）lt;0，當xgt;-1時，f ′（x）gt;0.

所以在區間（-∞，-1）上f（x）單調遞減，在區間（-1，+∞）上f（x）單調遞增，

所以f（x）有最小值f（-1）=-1e-a，無最大值，故A錯誤，

選項B，當a=1時，f ′（0）=1，f（0）=-1，

所以f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程是y=x-1，故B正確.

選項C，因為在區間（-∞，-1）上f（x）單調遞減，在區間（-1，+∞）上f（x）單調遞增，故C錯誤.

選項D，方程f（x）=0，即xex-a=0xex=a.

令g（x）=xex，而g′（x）=ex+xex=ex（x+1），

當xlt;-1時，g′（x）lt;0，當xgt;-1時，g′（x）

gt;0.

所以在區間（-∞，-1）上g（x）單調遞減，在區間（-1，+∞）上g（x）單調遞增，

當xlt;0時g（x）lt;0，且g（0）=0，如圖4.

所以a的范圍是（-1e，0），故D正確.

故選BD.

11．選項A，因為點A在半圓C1上，點B在半橢圓C2上，O為坐標原點，OA⊥OB，則

|OA|=3，|OB|≤4.

則S△AOB=12|OA||OB|=32|OB|≤6，當點B位于橢圓的下頂點時取等號.

所以△OAB面積的最大值為6，故A正確.

選項B，半圓C1上的點到點O的距離都是3，半橢圓C2上的點到點O的距離的最小值為3，最大值為4，所以曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確.

選項C，A（0，-7），B（0，7）是橢圓x29+y216=1的兩個焦點，

在△PAB中，|AB|=27，由余弦定理知

cos∠APB=|PA|2+|PB|2-|AB|22|PA|·|PB|

=（|PA|+|PB|）2-|AB|2-2|PA|·|PB|2|PA|·|PB|

=82-28-2|PA|·|PB|2|PA|·|PB|

=18|PA|·|PB|-1

≥18（|PA|+|PB|）2/4-1=18，

當且僅當|PA|=|PB|時取等號.

所以cos∠APB的最小值為18，故C錯誤.

選項D，由題意知：蒙日圓的圓心O坐標為原點（0，0），在橢圓C′：x29+y216=1（-4≤y≤4）中取兩條切線：x=3和y=4，它們交點為（3，4），該點在蒙日圓上，半徑為32+42=5，

此時蒙日圓方程為x2+y2=25，故D正確．

故選ABD.

12．如圖5，設雙曲線C的右焦點為F′（c，0），O為坐標原點，由FB=BP，得B是FP的中點.

在△FF′P中，OB為中位線，則F′P∥OB.

即F′P⊥x軸，不妨設點P在第一象限，

由x=c，x2a2-y2b2=1， 解得

P（c，b2a），b2a=2b，ba=2.

所以e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5.

故答案為5.

13．由f（x）=x4-33x求導，得

f ′（x）=4x3·3x-3（x4-3）9x2

=3x4+33x2

=x2+1x2.

因為x2gt;0，所以x2+1x2≥2，當且僅當x=±1時等號成立.

即當點P（1，-23）或P（-1，23）時，曲線y=f（x）在點P處的切線的斜率取得最小值為2.

故答案為2.

14．所有投擲結果共有63種.

由|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a1|=6，

可得2［max{a1，a2，a3}-min{a1，a2，a3}］=6.

所以max{a1，a2，a3}-min{a1，a2，a3}=3.

我們不妨設min{a1，a2，a3}=x，則max{a1，a2，a3}=x+3，還有一個數為x+d，顯然x∈{1，2，3}，d∈{0，1，2，3}.

當d=0時，三個數為x，x，x+3，對應a1，a2，a3有A33A22=3種方法；

當d=1時，三個數為x，x+1，x+3，對應a1，a2，a3有A33=6種方法；

當d=2時，三個數為x，x+2，x+3，對應a1，a2，a3有A33=6種方法；

當d=3時，三個數為，x，x+3，x+3對應a1，a2，a3有A33A22=3種方法；

所以一共有3×（3+6+6+3）=54種.

故事件“|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a1|=6”發生的概率為5463=14.

故答案為14.

15．（1）因為a-b3sinB+sinC=csinA+sinB，

由正弦定理可得a-b3b+c=ca+b.

即a2-b2=3bc+c2.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，

所以cosA=-32.

又A∈（0，π），所以A=5π6.

（2）如圖6，因為∠DAC=∠BAC-∠DAB=π3，記∠ADC=α，則∠ADB=π-α.

因為2CD=3BD，設BD=2m，CD=3m（mgt;0），

在RtABD中，sin（π-α）=c2m，

即sinα=c2m.

在△ADC中，ACsinα=CDsin∠CAD，

所以bsinα=3m3/2.

所以sinα=b23m.

所以c2m=b23m，即b=3c.

在△ABC中，由余弦定理有

25m2=3c2+c2-2×3c×c×（-32），

整理，得25m2=7c2.

即cm=57.

所以sinα=c2m=5714.

即sin∠ADC=5714.

16．（1）由|s|+|t|=4，得

（x+3）2+y2+（x-3）2+y2=4.

由橢圓定義知，點M（x，y）到兩定點F1（-3，0），F2（3，0）的距離之和為4，且4gt;23，

所以2a=4，c=3.

因為b2=a2-c2，

所以b=1.

所以點M（x，y）的軌跡C的方程為x24+y2=1.

（2）如圖7，因為F1（-3，0）F2（3，0），

所以直線l方程為y=-33x+1.

聯立方程組x24+y2=1，y=-33x+1，得

7x2-83x=0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

x1+x2=837，x1x2=0.

所以|PQ|=1+k2|x1-x2|

=1+（-33）2·（837）2-4×0=167.

點F1到直線PQ的距離

d=|-3/3×（-3）+1-0|1+（-3/3）2=223/3=3，

所以S△F1PQ=12|PQ|·d=12×167×3=837.

17．（1）如圖8，設O是AD的中點，連接OB，OC，OE，OF，AE，EF，FD，依題意，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8，BC=4，∠DAB=60°，點E，F在以AD為直徑的半圓上，且AE=EF=FD.圖8第17題解析圖（a）

由等邊三角形可知A，B，C，D，F，E分布在同一個圓周上，且AE=EF=FD=DC=CB=BA，

則六邊形ABCDFE為正六邊形.

所以EF∥AD∥BC，EF面ABCD，BC面ABCD，所以EF∥ABCD.

（2）在圖9中連EB交AD于點O1，則AD⊥EB，連FC交AD于點O2，則AD⊥FC.

故在圖10中，AD⊥O1E，AD⊥O1B，O1E∩O1B

=O1，O1E，O1B平面EOB1.

所以AD⊥平面EO1B.

同理可證得AD⊥平面FO2C.

記面ABE與面CDF所成角為θ，則

∠EO1B=∠FO2C=θ，S△EO1B=S△FO2C=6sinθ，

VABE-DCF=V錐A-EO1B+VEO1B-FO2C+VD-FO2C

=13S△EO1B×AO1+S△EO1B×EF+13S△FO2C×DO2

=32sinθ=32，

故sinθ=1，即θ=π2.

即面AEFD⊥面ABCD.

如圖11，延長AB，DC交于點Q，延長AE，DF交于點P，則PQ為面ABE與面CDF交線，且AP=AQ=8，

PD=QD=8，取PQ中點M，連接AM，DM，則AM⊥PQ，DM⊥PQ.

則∠AMD即為面ABE與面CDF所成角.

在△AMD中，AM=DM=210，AD=8，

故cos∠AMD=（210）2+（210）-82×210×210=15.

故面ABE與面CDF所成角的余弦值為15.

18.（1）由題意得f ′（x）=（x+1）ex-2a（x+1）=（x+1）（ex-2a），

若a≤0，則ex-2agt;0，f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增．

若agt;0，令f ′（x）=0，得x=-1或x=ln2a.

若0lt;alt;12e，則f（x）在（-∞，ln2a）上單調遞增，在（ln2a，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增；

若a=12e，則f（x）在R上單調遞增；

若agt;12e，則f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，ln2a）上單調遞減，在（ln2a，+∞）上單調遞增．

（2）由（1）可知，當alt;0時，f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增.

因為f（x1）=f（x2），所以x1lt;-1lt;x2．

令F（x）=f（x）-f（-2-x），

則F′（x）=f ′（x）+f ′（-2-x）

=（x+1）ex-2a（x+1）-（x+1）e-2-x

+2a（x+1）

=（x+1）（e2x-e-2）ex.

當xlt;-1時，x+1lt;0，e2x-e-2lt;0，

當x≥-1時，x+1≥0，e2x-e-2≥0，

所以F′（x）≥0恒成立，F（x）在R上單調遞增．

因為x1lt;-1，所以F（x1）lt;F（-1）=0.

即f（x1）lt;f（-2-x1）.

所以f（x2）lt;f（-2-x1）．

又f（x）在（-1，+∞）上單調遞增，且

x2gt;-1，-2-x1gt;-1，

所以x2lt;-2-x1.

即x1+x2lt;-2．

（3）由題意可得方程xex=b（lnx+x）=bln（xex）有兩個實根．

設φ（x）=xex，當xgt;0時，φ′（x）=（x+1）exgt;0，則φ（x）在（0，+∞）上單調遞增.

令t=xex，則tgt;0，所以關于t的方程t=blnt，即1b=lntt有兩個實根.

令λ（t）=lntt，則λ′（t）=1-lntt2.

當t∈（0，e），λ′（t）gt;0，所以λ（t）在（0，e）上單調遞增，

當t∈（e，+∞），λ′（t）lt;0，所以λ（t）在

（e，+∞）上單調遞減.

所以λ（t）max=lnee=1e，且t→+∞時，λ（t）→0．

所以1b∈（0，1e）.

所以b∈（e，+∞）.

即b的取值范圍是（e，+∞）．

19．（1）由條件得（x/2）24-（y/2）23=1.

整理，得x216-y212=1.

所以E2的方程為x216-y212=1.

（2）因為E1，E2關于原點“伸縮變換”，

對E1作變換（x，y）→（λx，λy）（λgt;0），得

E2：λ2x24+λ2y2=1，

聯立y=2x（x≥0），x24+y2=1，

解得點A的坐標為（23，223）.

聯立y=2x（x≥0），λ2x24+λ2y2=1，

解得點B的坐標為（23λ，223λ）.

所以|AB|=1+2·|23-23λ|=33.

所以23-23λ=13或23-23λ=-13.

所以λ=2或λ=23.

因此橢圓E2的方程為x2+4y2=1或x29

+4y29=1.

（3）對En：x2=2pny作變換（x，y）→（λnx，λny），

得拋物線En+1：（λnx）2=2pnλny.

得x2=2pnλny.

又因為x2=2pn+1y，

所以pn+1=pnλn.

即pn+1pn=（12）n.

當n≥2時，pnpn-1·pn-1pn-2·pn-2pn-3·…·p4p3·p3p2·p2p1=（12）1+2+3+…+n-1，

得pn=（12）12n（n-1），p1=1適用上式.

所以數列{pn}的通項公式pn=（12）12n（n-1）.

［責任編輯：李慧嬌］