圓錐曲線解題的新視角

摘要：通過詳細分析極點極線的幾何意義及其在高考和競賽題中的具體應用，以及齊次化策略在簡化計算、提升解題效率方面的優勢，為高中數學教師和學生提供一種全新的解題思路和方法.

關鍵詞：圓錐曲線；極點極線；齊次化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0049-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：王振岳，本科在讀，從事中學數學圓錐曲線研究.

極點極線作為射影幾何中的內容，屬于圓錐曲線的基本特征之一，也是近年來高考命題的知識方向.學生如果掌握了極點極線的相關知識，就可以從“高觀點下”看待圓錐曲線的相關內容，進而有助于學生提高解題效率，更容易抓住問題本質[1].同時，齊次化策略作為一種有效的數學工具，在圓錐曲線解題中也展現出了獨特的優勢.齊次化處理可以使題目中的各項次數相等，從而簡化計算過程，提高解題速度，特別是在處理涉及斜率之積或斜率之和的圓錐曲線問題時，齊次化策略更是能夠發揮出巨大的作用[2].

1極點極線的解題應用

1.1二次曲線的極點極線

（1）二次曲線Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0極點P（x0，y0）對應的極線為Ax0x+By0y+Cx0y+y0x2+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0，

x2→x0x，y2→y0y，xy→x0y+y0x2，x→x0+x2，y→y0+y2（半代半不代）.

（2）圓錐曲線的三類極點極線（以橢圓為例）：橢圓方程x2a2+y2b2=1，

①如圖1，極點P（x0，y0）在橢圓外，PA，PB為橢圓的切線，切點為A，B，則極線為切點弦AB：x0xa2+y0yb2=1；

②如圖2，極點P（x0，y0）在橢圓上，過點P作橢圓的切線l，則極線為切線l：x0xa2+y0yb2=1；

③如圖3，極點P（x0，y0）在橢圓內，過點P作橢圓的弦AB，分別過A，B作橢圓切線，則切線交點軌跡為極線x0xa2+y0yb2=1.

（3）圓錐曲線的焦點為極點，對應準線為極線.

1.2斜率成等差模型

如圖4，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），點P（m，0），直線l過點P（極點）且與橢圓交于不同的兩點A，B，與直線x=a2m（極線）交于點M，顯然A，P，B，M四點形成調和點列.

（1）若點N為直線x=m上任意一點，則kAN+kBN=2kMN；

（2）若點Q為直線x=a2m上任意一點，則kAQ+kBQ=2kPQ；

（3）如圖5，若點P（0，m），直線l過點P（極點）且與橢圓交于不同的兩點A，B，Q為直線y=a2m上一點，則1kAQ+1kBQ=2kPQ.

1.3調和線束，平行截中點

調和線束：如圖6，若A，C，B，D構成調和點列，O為直線AB外任意一點，則直線OA，OC，OB，OD稱為調和線束.若另一直線截調和線束，則截得的四點A′，C′，B′，D′仍構成調和點列.

調和線束，平行截中點性質：與調和線束的一條直線平行的直線截另外三條直線，其中一個交點為另外兩個交點的中點.

如圖7，過點P的線束l1，l2，l3，l4，以下3個條件若其中2個成立則能得出第三個：

（1）l5與l4平行；

（2）AM＝BM；

（3）l1，l2，l3，l4為調和線束.

調和線束斜率關系補充：對于一組調和線束l1，l2，l3，l4，記斜率分別為k1，k2，k3，k4，則2（k1k3+k2k4）=（k1+k3）（k2+k4）.

（1）若其一為0，則余者倒數為等差數列（調和平均）；

（2）若其一不存在（＝∞），則余者為等差數列（算術平均）；

（3）若“一對兒”為0和不存在，則另一對兒互為相反數；

（4）若“兩條，非一對兒”為0和不存在，則余者為二倍關系.

1.4例題解析

例1如圖8，已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的離心率是53，點A（-2，0）在C上.

（1）求C的方程；

（2）過點（-2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.

解析（1）由題意，得ca=53，

b=2，

a2+b2=c2.

解得a=3，

b=2，

c=5.

所以橢圓C的方程為y29+x24=1.

（2）記B（-2，3），點B的極線y3-x2=1過點A，設極線與PQ交于點D，則B，P，D，Q為調和點列，AB，AP，AD，AQ為調和線束，而AB平行y軸，故MN的中點為y軸與極線的交點（0，3）.

我們發現，利用極點極線的知識可以迅速判斷出答案，然而，這是超綱知識的應用，也無法書寫過程，所以無法在考場上使用.齊次化與極點極線各有利弊：齊次化有過程、有邏輯，但適用范圍窄且不易挖掘.極點極線可快速挖掘出對應關系并解出答案但沒有書寫根據[3].但是，我們注意到極點極線所能挖掘出來的恰好是齊次化所需要的斜率關系，那么我們能否根據極點極線與斜率的關系進行快速挖掘，再使用齊次化來書寫過程以實現題目的解答呢？

依舊以這道題為例我們來分析：

過點B引出直線交橢圓于P，Q兩點，再寫出點B所對應的極線y3-x2=1，極線過點A，設極線與PQ交于點D，則B，P，D，Q為調和點列，AB，AP，AD，AQ為調和線束，剩下三條直線斜率成等差數列，即kAP+kAQ=2kAD.

之后再用齊次化進行證明，最后嘗試用所得斜率關系去解答題目.

2齊次化方法的應用

2.1定義

通過對直線變形，采取“1”的巧用，一般二次方程不變，一次方項直接乘以“1”，常數項乘以“1”的平方，從而構建關于x，y的二元二次的齊次方程，再兩邊同時除以x2，得到一個一元二次方程，其根是以原點與曲線上的點連線的斜率k，再借助韋達定理使得問題運算得到簡化，我們把這種操作手法稱之為“齊次化”.齊次化作為圓錐曲線中一種極為巧妙的運算方法，通過巧設直線，妙聯立實現運算的化簡，邏輯清晰簡潔，其應用原理有韋達定理，直線方程的設法等［4］.

2.2例題解析

例2已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明l過定點.

解析（1）根據橢圓的對稱性，P3（-1，32），P4（1，32）兩點必在橢圓C上.

又P4的橫坐標為1，所以橢圓必不過P1（1，1）.

所以P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）三點在橢圓C上.

把P2（0，1），P3（-1，32），代入橢圓C，

得1b2=1，

1a2+34b2=1，

解得a2=4，b2=1.

所以橢圓C的方程為x24+y2=1.

（2）設AB：mx+n（y-1）=1（直線不經過點P2），C：x24+［（y-1）+1］2=1，（根據直線方程改寫橢圓方程）

即x2+4（y-1）2+4+8（y-1）=4.

即x2+4（y-1）2+8（y-1）[mx+n（y-1）]=0.

即x2+（4+8n）（y-1）2+8mx（y-1）=0.

同時除以x，構造出以斜率為自變量的一元二次方程，

（4+8n）（y-1x）2+8m（y-1）x+1=0（x≠0）.

由題知

k1+k2=8m8n+4=-1.

所以8m=8n+4.

所以2m-2n=1.

所以mx+n（y-1）=1恒過（2，-1）.

綜合以上題目，我們發現齊次化不管是解決直線方程的求解或者是定點問題還是證明類問題，其共同點為題目當中給出斜率條件.那么如果題目沒有給出斜率條件，還能否運用此方法呢？

3結束語

在高中數學學習中，圓錐曲線問題常常讓學生們感到棘手.文章獨辟蹊徑，深入剖析了圓錐曲線解題的新視角——應用極點極線和齊次化策略，為解決這類問題提供新思想.通過全面且細致的理論闡述與實例分析，展示了這兩種策略在簡化圓錐曲線問題求解過程、提升解題效率方面的顯著優勢，將復雜的圓錐曲線問題轉化為更易于處理的形式，極大地減輕了學生的計算負擔，幫助學生更輕松地攻克圓錐曲線難題.

參考文獻：

［1］ 向波，陳邕.極點極線視角下一類圓錐曲線試題的命制與分析[J].教學考試，2024（38）：49-52.

[2] 吳文忠.齊次化方法在圓錐曲線中的應用舉例[J].中學數學，2024（15）：103-105.

[3] 曾曉麗.極點極線視域下圓錐曲線試題的應用探索[J].中學數學研究（華南師范大學版），2023（23）：42-44.

［4］ 李清華.齊次化方法在圓錐曲線問題中的應用探究［J］.數學學習與研究，2023（34）：113-115.

［責任編輯：李慧嬌］