波利亞解題思想和圍棋手割理論在高考解答題中的分析探究

摘要：探討波利亞解題思想與圍棋手割理論在高考數學解答題中的應用，并以2024年新課標Ⅰ卷為例，分析這兩種理論如何共同指導學生在解答數學題目時提升思維效率和解題準確性.通過理論分析與實例解讀，文章展示了這兩種理論在數學解題中的融合應用及其對學生數學素養的積極影響.

關鍵詞：波利亞解題思想；圍棋手割理論；高考數學；新課標Ⅰ卷

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0061-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：劉曄，碩士研究生，從事數學教學研究;

陳維，博士，從事概率論與數理統計研究.

隨著教育改革的不斷深入，高考數學試題愈發注重考查學生的思維能力、邏輯推理能力和問題解決能力［1］.在這樣的背景下，波利亞解題思想與圍棋手割理論為高考數學教學及學生解題提供了有益的啟示.波利亞解題思想強調解題過程的系統性和邏輯性，而圍棋手割理論則提供了一種獨特的分析視角和策略優化方法.本文將探討這兩種理論在高考數學解答題中的應用，并以2024年新課標Ⅰ卷為例進行深入分析.

1波利亞解題思想簡介

波利亞認為，解題活動并非僅僅是一個邏輯推理的過程，更是一個包含了理解、探索、轉化、反思等多個環節的綜合活動.他強調，解題的首要任務是理解題目，找出題目的條件和目標，然后嘗試將問題轉化為運用已知的知識或方法能夠解決的形式.在解題過程中，波利亞提倡使用“啟發法”來引導學生自主思考，鼓勵學生嘗試不同的方法和策略，從而培養學生的創新思維和解決問題的能力.

波利亞解題思想[2]的一般步驟：波利亞在《HowtoSolveit》中提出解題的一般過程分為：理解題目—制定計劃—執行計劃—回顧.

理解題目：要求什么？已知什么？條件是什么？

制定計劃：以前見過類似的題目嗎？知道一道與它相關的題目嗎？找出已知數據與未知量之間的聯系，制定解題計劃.

執行計劃：能清楚地看清每個步驟是正確的嗎？能否證明它是正確的？執行解題方案，檢查每一個步驟.

回顧：能檢查這個結果嗎？能檢驗這個論證嗎？用到所有已知數據了嗎？在其他題目中能利用這種結果或方法嗎？檢查已經得到的解答.

2圍棋中的“手割理論”內涵

圍棋中的手割理論，是圍棋中的一種重要理論，它強調在圍棋對弈中，要時刻關注局部的得失，通過精準地計算和判斷，選擇最優的方法來保持或擴大自己的優勢.這種理論在數學解題中同樣具有指導意義.

“手割分析法”是首先確定需要分析的局部棋形，然后拿掉一些黑子和白子以便更直觀分析局勢.在數學解答題中，也是要先理解分析問題，知道要求什么？已知什么？已知和未知怎樣能建立聯系？要抓住問題的主要部分，將數學問題簡化.“手割法”會改變行棋順序，改變行棋布局，以便分析棋子得失，尋找最優布局.在數學解題中，當一道題有多種解法，或者有多個公式可以求解未知量時，可以根據要求的未知量和題目中給的已知條件進行分析，看看用哪個方法或哪個公式計算更高效，能迅速求出未知量.同時“手割分析法”還可以改變數學問題的推理順序，從未知量出發，抓住未知量，從后往前來逆推，尋找已知量和未知量之間的關系，從而尋找解題策略.

3基于波利亞解題思想與“手割分析法”的解題流程圖將波利亞解題思想和“手割分析法”結合，在破解高考解答題時，不僅可以提供完整的解題思路，還能夠迅速找到正確答案，從而為高考解答題提供了新的思路和方法.具體過程如圖1所示.

理解題目，學生通過讀題，要找出要求什么？已知量是什么？條件是什么？通過“手割分析法”抓住問題的主要部分，抓住關鍵點，從主要問題出發.

制定計劃，尋找有用的思路.從考慮題目的主要部分開始.要從不同的方面來考慮題目，并且尋找與頭腦之中的知識的聯系.尋找與所學知識之間的聯系，想想過去類似情況是怎么處理的？過去類似的題目是怎么解出來的？要求的量可以直接由已知量求出來嗎？如果不能，已知量和未知量之間有什么關系呢？如何建立他們之間的關系呢？以前遇到過類似的題目嗎[3]？之前是怎么解出來的？

解題的思路和方法有很多，要選擇哪一個方法能迅速解出未知量呢？用“手割分析法”進行分析，看看用哪個方法或者哪個公式能更快更簡便地求出未知量.

執行計劃.從獲得解答的思路開始，已經掌握了主要聯系，并能補充出一些次要細節時，就可以開始執行計劃了.

回顧.從解答開始，看每一個細節是否是完整而正確的.從不同的方面來考慮解答，并尋找與過去所獲得知識之間的聯系.

4以新課標Ⅰ卷為例的解題過程剖析

4.1解三角函數類問題

例1記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，且a2+b2-c2=2ab.

（1）求B;

（2）若△ABC的面積為3+3，求c.

理解題目：解決這個問題的第一步是先集中到目標上，觀察未知量，盯住目標.

“要求的是什么？”

“求角B.”

“已知數據是什么？”

“sinC=2cosB，a2+b2-c2=2ab.”

“條件是什么？”

“三個內角A，B，C，對應邊分別為a，b，c.”

制定計劃：用已知量可以直接解出未知量嗎？已知量和未知量之間有什么聯系？

已知量不能直接解出未知量；二者之間的聯系有正弦定理、余弦定理；那么，到底是用正弦定理還是余弦定理呢？這兩個已知條件先用哪一個呢？這個時候就要用到局部“手割分析法”了.如果用正弦定理，看看滿不滿足正弦定理的條件，顯然是不滿足的，無法用正弦定理解出未知量.再看看用余弦定理呢？根據a2+b2-c2=2ab這個條件，就可以求出cosC，進而求出sinC，然后再根據sinC=2cosB，就能求出角B了.

執行計劃：具體解題過程如下：

解析根據余弦定理有：c2=a2+b2-2abcosC.

已知c2=a2+b2-2ab，

所以2abcosC=2ab.

解得cosC=22，sinC=22.

根據sinC=2cosB，解得B=π3.

回顧：檢驗這個計算結果.

在這道題中，解題思路是按照波利亞的解題思想，在制定計劃的時候，解題思路和可用到的計算公式會有多種，到底用哪一種能快速求出未知量呢？這就要用到“手割分析法”了，分析題目中的已知量和要求的未知量，然后考慮用哪個公式能快速求出未知量，“手割分析法”能幫助判斷用哪種方法最行之有效.

再來看第二問，已知三角形的面積，求邊長c.一般常規的解題思路是從已知量出發，思考已知量是什么？這些東西對求未知量有什么作用？怎樣才能用上這些已知量？從這些已知量你能推出什么？根據已知量，可以求出哪些未知量，然后再看看能不能求出題目中要求的未知量.

先來看看常規做法：

解析由（1）知B=π3，C=π4.

故A=5π12，sinA=2+64.

根據正弦定理，得b3/2=c2/2=a（2+6）/4，

解得b=62c，a=1+32c.

代入a2+b2-c2=2ab，解得c=22.

根據正弦定理求出三邊的關系，再根據余弦定理求出邊長.缺點是計算量太大，容易出錯，而且題目中給了一個已知條件面積沒用上.可以反思：把全部條件都考慮進去了嗎？把所有的已知量都用上了嗎？把全部假設都考慮進去了嗎？

可以發現常規做法是從前往后推，可以從已知量中導出很多量，但是這些量可能沒有任何用處，也許不能由它得出我們要求的未知量.再來看看用波利亞解題思想來解題：

理解題目：要求什么？已知什么？盯住未知量，未知量是什么？

制定計劃：怎樣才能求出這個未知量？怎樣才能求出這種類型的未知量？根據哪些已知量才能確定這個未知量？解過這種類型的未知量的一個題目嗎？回到這個題目，根據三角形的面積能直接求出三角形的邊長嗎？三角形面積和邊長之間能建立什么聯系呢？

S=12底×高=12absinC=12bcsinA=12acsinB.

到底應該用哪個公式呢？這就要用到“手割分析法”進行局部分析了，第一個面積公式要先求出三角形的一條高，第二個面積公式根據三角形的三邊關系和正弦值可以列算式直接解出c.根據“手割分析法”得知用第二個面積公式更高效便捷，能更快地求出未知量.

這也符合波利亞提出的擇優原則：如果一個問題有兩種途徑去解它，他們在其他方面都差不多，但其中有一個看上去比另一個要容易些，那么自然要先去試那條容易的.

執行計劃：具體過程如下：

解析S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，

所以bsinC=csinB.

所以2b2=3c2.解得b=62c.

已知S=12bcsinA，A=5π12，解得sinA=2+64.

所以c=22.

回顧：檢驗結果.

4.2圓錐曲線類問題

例2已知點A（0，3）和點P（3，32）分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的兩點，

（1）求C的離心率；

（2）若過點P的直線l交C于另一點B，且ΔABP的面積為9，求l的方程.

解析設橢圓方程為x2a2+y2b2=1，過點（0，3）和（3，32），代入解得橢圓方程為x212+y29=1.

故離心率為e=ca=12.

第一問比較簡單，代入數值即可.主要看第二問，求直線的方程.

理解題目：要求什么？已知什么？

要求直線的方程，已知橢圓的方程，兩點坐標，圍成三角形的面積.

制定計劃：未知量可以直接求出來嗎？已知量和未知量之間有什么關系？怎樣才能求出這個未知量？根據哪些已知量就能求出這個未知量？

若未知直線的方程不能直接求出來，可以通過畫圖，運用數形結合的思想來分析它們的關系.

觀察圖2可以看出，B是一個動點，故PB可以垂直于x軸，也可以平行于x軸，可以先討論這兩種情況，看圍成的三角形面積是否等于9.

當PB⊥x軸時，斜率不存在，此時面積為

S=12|PB|·|xP-xA|=12×3×3=92，

不符合題意，故斜率存在.

同理可得當PB∥x軸時，S=12×6×32=92，也不符合題意，故斜率不等于零.

當斜率存在且不等于零時，設l方程為y-32=k（x-3），根據y-32=k（x-3）和x212+y29=1，得

（4k2+3）x2+12（k-2k2）x+36（k2-k）-27=0.

由韋達定理，得xp·xB=36（k2-k）-274k2+3.

又因為xp=3，所以xB=12（k2-k）-94k2+3.

又因為BP與y軸交點（0，-3k+32），所以

S△ABP=12·|32+3k|·|xp-xB|

=12·|32+3k||3-12（k2-k）-94k2+3|=9，

解得k=12或32.

所以l的方程為y=12x或3x-2y-6=0.

執行計劃：按照上述分析過程進行計算.

回顧：檢查結果，把求出來的未知量代入方程，看看求解是否正確.

5結束語

波利亞解題思想與圍棋手割理論在高考數學解答題中的應用，為學生提供了更加系統和高效的解題策略.通過理解題目、制定計劃、執行計劃和回顧這四個步驟，可以更加清晰地把握解題方向，提高解題效率.同時，圍棋手割理論的引入，有助于在解題過程中剔除冗余條件，聚焦關鍵信息，從而更準確地找到解題突破口.未來，可以進一步探索這兩種理論在其他數學題型中的應用，以推動數學教育的創新與發展.

參考文獻：

［1］ 教育部教育考試院.2024年普通高等學校招生全國統一考試大綱（數學）［M］.北京：高等教育出版社，2024.

［2］ G·波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承大，譯.上海：上海科技教育出版社，2011.

［3］ 張奠宙，過伯祥.數學方法論稿[M].上海：上海教育出版社，2012.

［責任編輯：李慧嬌］