泰勒公式在高等數學解題中的使用方法探討

摘" 要：學生在高等數學的學習過程中易遇到諸多難題，泰勒公式的應用研究意義重大。研究泰勒公式有助于深入剖析復雜函數，能夠為實際問題求解提供有力數學支持，在物理、工程等領域發揮關鍵作用。本研究通過研讀教材文獻梳理理論，結合解題練習總結技巧。研究認為，泰勒公式應用廣泛，日常學習應重視，多練習掌握解題方法，以提高解題效率與正確率，助力高等數學學習。

關鍵詞：泰勒公式；高等數學；解題方法

中圖分類號：O13" " 文獻標識碼：A" " 文章編號：1673-7164（2025）08-0091-04

在高等數學解題的過程中，利用泰勒公式時，要加強對泰勒公式內涵以及解題要點的深入性分析，要根據高等數學解題的特點，提高解題工作的針對性，靈活的應對高等數學解題中存在的各項問題，以保障泰勒公式功能的有效發揮。

一、研究意義

在高等數學的知識體系里，學習泰勒公式具有非同尋常的重要意義，在知識層面上，在函數的局部性質和整體性質之間架起了一座橋梁。利用泰勒公式可以把復雜函數變換成多項式函數進行逼近表示，從而使能夠用多項式觀點認識復雜函數并對其進行分析，洞悉其中潛藏的性質，加深對函數實質的理解，提升高等數學知識架構。在實際應用中泰勒公式也必不可少，就物理學科而言，可以借助于泰勒公式對刻畫物體復雜軌跡的函數進行化簡，從而幫助建立和分析物理模型；在工程技術領域中，對復雜信號、數據擬合問題的處理中，泰勒公式能夠提供一種高效的數學處理方法，對實際問題的解決提供了有力的數學支持，促進了相關方面的不斷發展和進步。

二、泰勒公式的概述

泰勒公式也被稱為泰勒級數展開式，在數學分析領域是一種關鍵的函數逼近技術。其以一種特定的方式將函數在某一點附近的值表示為無窮級數，這個級數由函數在該點的各階導數確定。泰勒公式不但有其理論意義，更有其實際運用。［1］泰勒公式最核心的思想就是用函數局部性質逼近其整體性質。具體來說，泰勒公式通過函數在某一點的各階導數信息，構造一個多項式函數，這個多項式函數在這一點附近與原函數具有相同的函數值以及各階導數值。因此，當需要研究函數在某一點附近的性質時，可以利用泰勒公式將這個函數近似地表示為一個多項式函數，從而簡化問題的處理。泰勒公式有很多種形式，其基本形式為泰勒級數展開式。這個公式將一個函數表示為以某一點為中心的無窮級數，級數的每一項都是該函數在該點的某階導數與相應階的差分的乘積。該展開式用途很廣，可用于解決函數極限、研究函數性質和證明定理。另外泰勒公式還存在著麥克勞林公式、拉格朗日余項公式及其他重要變型。這些公式可使泰勒公式在具體情況下的格式得到簡化，從而使計算變得更方便。這些變型還展現出泰勒公式靈活而廣泛的應用性。

三、泰勒公式在高等數學解題中的使用價值

泰勒公式是高等數學中一個重要的工具，在問題的求解中有著不可或缺的地位。泰勒公式既有助于深刻理解函數的本質，又可以為解決復雜問題提供高效的解題思路與途徑。泰勒公式在解決函數極限問題方面有很多應用，高等數學中常需解決某些復雜函數極限問題，這類問題通常很難直接用代數運算或者已知性質解決。這時，可應用泰勒公式把函數展開式化為多項式形式以簡化解題。［2］將展開多項式和極限表達式形式進行對比，可較方便地求出極限取值。泰勒公式對定理的證明以及公式的推導也起到了決定性的作用，很多高等數學的定理、公式就是根據泰勒公式導出。通過運用泰勒公式對其展開與變形，可導出多種有益的數學公式與定理，豐富數學知識與解題技巧。泰勒公式還被廣泛應用于求解某些實際問題，以物理學為例，常常要對物體運動規律進行研究，物體運動常常能被某些復雜函數所描述。通過用泰勒公式展開并逼近這些函數，可獲得物體運動的大致規律，使問題處理簡單化。在工程學、計算機科學等領域，泰勒公式也可應用于多種復雜系統性能分析與優化、算法效率提升等方面。值得指出的是泰勒公式的使用并非單純的公式套用，而需結合具體題目特點靈活使用。解題時，需根據題意選擇適當泰勒公式形式和確定適當展開階次。同時，也應關注泰勒公式收斂性及誤差估計問題，保證結果準確可靠。泰勒公式對高等數學解題有很強的應用能力。通過對泰勒公式運用方法與技巧的研究與掌握，能夠更好地解決各類復雜的題目，提升解題能力與數學素養。所以，在高等數學的學習中要對泰勒公式的研究與運用給予足夠的重視，并且在反復實踐的過程中，掌握正確的解題經驗，提高解題的正確率。

四、將泰勒公式應用于高等數學問題求解的方法

（一）用于導數求解

泰勒公式對解決導數問題起著舉足輕重的作用。利用泰勒公式展開可把復雜函數變換成多項式形式并簡化導數計算過程。尤其當一些函數表達式比較復雜，很難直接用基本導數公式來解決時，泰勒公式為解決這一問題提供了行之有效的方法。［3］應用泰勒公式解導時，必須先確定函數展開式點和展開式階數。選取展開點一般要依據題目要求或者函數性質，其階數主要由要求的準確性及計算復雜性決定。展開點及階數確定后，可按泰勒公式定義展開計算各階導數。

如對一些復雜復合函數可先用泰勒公式對其部分展開式求導。從而使繁雜的求導過程被分解成若干簡單的環節，減小計算難度。另外，利用泰勒公式也可解決高階導數問題，尤其在函數高階導數表達式比較復雜的情況下，利用泰勒公式能更方便地求出計算結果。在應用泰勒公式求導數時需保證展開式階數夠大才能保證計算結果精確，對泰勒公式收斂性及誤差估計也應引起重視，以免由于逼近造成誤差過大的情況。通過對泰勒公式求解導數方法的研究與掌握，能夠更靈活處理各類復雜導數問題，從而提高問題求解效率與精度。

（二）用于解極限問題

泰勒公式對于解極限問題也有廣泛用途。極限在高等數學中是一個很重要的概念，泰勒公式為解決各種極限問題提供了有效工具。［4］解極限問題，可先用泰勒公式把函數展開式成多項式形式，再用多項式性質使極限計算簡單化。尤其在極限點周圍函數行為比較復雜的情況下，利用泰勒公式對其進行擴展，能夠對極限點處函數行為有一個比較明確的認識，便于求出極限點處的數值。［5］

如對一些0/0型極限問題可采用泰勒公式把分子與分母均展開成多項式形式后再用多項式進行除法運算求極限。該方法可避免直接運用洛必達法則所帶來的煩瑣計算和解題過程。另外泰勒公式也可用來解決無窮大大于無窮大的極限。利用泰勒公式展開可使函數變為易處理形式，便于求極限。應當指出，用泰勒公式解極限問題時需選取適當的展開點及階數才能保證展開準確及結果準確。還要注意泰勒公式收斂性及誤差估計等問題，以免逼近所帶來的錯誤對計算結果造成影響。［6］通過對泰勒公式解極限問題方法的研究與掌握，能夠更有效地應對各類復雜極限問題，從而提高問題求解的效率與精度。

（三）用于求解無窮小量

泰勒公式對無窮小量問題的求解也有重要影響。無窮小量作為高等數學的重要概念常出現于極限，微分與積分問題的解答之中。泰勒公式有助于對無窮小量的更深入認識與處理，使有關問題得到更精確的解決。［7］利用泰勒公式對無窮小量進行處理時一般都會注意到泰勒公式高階無窮小項的存在。這些高階無窮小項通常可忽略于極限過程，簡化了解題。忽略這些高階無窮小項就能使復雜函數或者表達式近似于較簡單的形式，方便后續求解。

例如在解一些含有無窮小量極限的問題中，可采用泰勒公式對函數進行展開而忽略高階無窮小項。通過這種方法，能夠獲得較簡明的極限表達式以便于尋找極限的數值。另外泰勒公式也可應用于處理有關無窮小量的微分及積分。通過對泰勒公式進行擴展，可使復雜的微分或者積分表達式變成容易處理的格式，使解題過程得到簡化，當用泰勒公式來處理無窮小量的時候，必須保證忽略掉的高階無窮小項對于計算結果的影響能夠被忽略掉。這一般要求認真分析判斷泰勒公式展開階數及誤差估計。通過對泰勒公式用于無窮小量問題求解方法的研究與掌握，能夠對無窮小量問題的本質與行為有更深刻的認識，從而提高問題求解的精度與效率。這也將為后續學習和應用高等數學中的其他概念和方法打下堅實的基礎。

（四）用于高等數學級數問題的求解

泰勒公式也是級數解題的一個常用公式，級數是高等數學中的重要分支之一，它涉及無窮序列求和。泰勒公式將函數展開式成多項式序列形式，從而為解決級數問題提供了一種新思路、新途徑。［8］解決級數求和問題時，可采用泰勒公式把函數展開式成多項式序列后再進行逐項求和。該方法尤其適合那些很難直接求和的級數，利用泰勒公式展開可把問題化為多項式序列求和，使計算過程得到簡化。泰勒公式也可應用于級數斂散性的判定。將泰勒展開式多項式序列和已知斂散性級數進行對比，可推導出原始級數斂散性。該方法對級數斂散性的判定提供了有效工具。值得注意的是，用泰勒公式解級數問題時需保證展開式階數夠大才能保證計算結果的精度。對泰勒公式收斂半徑及收斂域也需關注，以免求和時發散。通過對級數問題求解中泰勒公式的研究與掌握，能夠更靈活處理各類級數問題，從而提高問題求解的效率與精度。［9］

（五）證明不等式類問題求解方法

泰勒公式還被廣泛應用于不等式類題的論證。不等式在數學上是一個很重要的概念，泰勒公式為證明各類不等式提供了有效工具。［10］由泰勒公式展開可把函數變換成多項式形式并用多項式性質證明不等式。該方法對于不易直接驗證的不等式尤其適用，利用泰勒公式可使問題變為利用多項式的性質，使論證過程得以簡化。

如在一些函數不等式的證明中，可應用泰勒公式把函數展開成多項式形式，應用多項式單調性和凹凸性的特點證明不等式。另外，泰勒公式也可應用于證明某些與級數有關的不等式中，對比級數中的項和泰勒展開式中多項式項間的關系就可獲得不等式證明結果，用泰勒公式進行不等式證明時，必須保證展開式階數夠大，才能確保證明準確、嚴密。對泰勒公式收斂性及誤差估計也應引起重視，以免逼近造成證明錯誤。通過對泰勒公式證明不等式類題的研究與掌握，能更靈活地處理各類不等式，從而提高解題效率與精度，泰勒公式對于高等數學問題的求解有著廣泛的應用。泰勒公式不僅在導數求解、極限問題、無窮小量處理、級數求解、近似值求解和不等式證明方面提供了有效的解決方案和工具，通過對泰勒公式運用方法的研究與掌握，能夠更深刻地認識高等數學中的思想與方法，并且找到問題的解決方法，厘清各個信息之間的關系，從而提高問題求解的效率與準確性。

（六）極限解題應用

泰勒公式是極限計算中十分有效而又普遍采用的公式。利用泰勒公式展開可把復雜函數變換成多項式形式以簡化極限計算過程。下面舉例說明泰勒公式極限應用的幾個具體實例。

1. 計算函數在某一點的極限值?？紤]函數f（x）時，需計算其極限值為x≠a。由泰勒公式可把f（x）展開成x=a的多項式序列。x向a靠攏后，泰勒公式高階無窮小項會趨向于0，故可忽略這些項，僅保留前項為f（x）近似。接下來，可以直接對這個多項式在x=a的位置進行計算，從而確定f（x）在x=a位置的最大值。比如對一個函數f（x）=sin（x）來說，需要計算其極限值為x=0。sin（x）可由泰勒公式展開式到x-x3/3！+x5/5-...。當x趨近于0時，高階項將逐漸趨近于0，因此可以近似地認為sin（x）≈x。因此sin（x）在x=0的位置上的最大值是0。

2. 求解復雜函數極限，有時會碰到某些復雜函數，它們極限的計算過程十分煩瑣。此時可試圖用泰勒公式把函數展成多項式的形式以簡化計算。選取適當的展開點及階數可獲得足夠準確的逼近多項式，再運用多項式的特性進行極限計算。例如，當考慮函數f（x）=（e^x-1）/x時。當x趨近于0時，這個函數的最大值是什么？直接計算可能會很困難，但可以利用泰勒公式將e^x展開為1+x+x^2/2！+...。代入原函數可得有關x的多項式分式。接下來，可以借助多項式的特性來確定這個分式在x趨近于0時的最大可能值。從計算中可看出該極限值是1。

泰勒公式為極限計算提供了有效而靈活的手段。通過把復雜函數變換成多項式形式可使計算過程簡化，獲得準確的極限值。泰勒公式成了求解極限問題最重要的手段之一。不管是在處理簡單函數或復雜函數時，均可提供強有力支撐。

五、學生學習泰勒公式的實用價值

泰勒公式是高等數學的一個重要工具，對于學生的學習具有非同尋常的意義，熟練掌握用法可以幫助學生克服許多數學難題。學用泰勒公式，學生必須先深入理解其中的基本原理，并清楚地認識到怎樣用多項式來近似函數，泰勒公式以不同階的多項式片段逐漸準確拼湊出原來函數的樣子。學生可以先從簡單函數開始，例如普通指數函數和三角函數一樣做泰勒展開習題，細心觀察隨展開階數升高、逼近效果是怎樣改變的，這樣就可以直觀地體會到泰勒公式的妙用。在實踐中，面對極限計算，函數近似求值等此類問題，泰勒公式可以一顯身手，例如在某些復雜極限的求法中，利用函數展開式為泰勒級數的方法，使復雜函數形式變成容易處理的多項式形式，從而使極限求解簡潔明了。對函數近似求值問題，學生可根據特定的精度要求，確定適當的展開階數，然后求出準確近似值。

六、結語

在高等數學解題中融入泰勒公式所發揮的作用較為突出，因此在日常學習的過程中，要加強對這一公示方法的有效利用，結合解題的需求以及在其中所產生的難點在關鍵環節融入這一公式，找到問題的解決思路，發展解題思維。

參考文獻：

［1］ 虎兵. 解析以泰勒公式為背景的高考題［J］. 中學生理科應試，2024（02）：3-5.

［2］ 昝彩虹，廖家鋒. 高觀點下的高考數學試題探析：以“泰勒公式”為背景［J］. 數理天地：高中版，2024（01）：54-55.

［3］ 王永軍，李鍵. 高等數學背景下的教學實踐探究：以泰勒公式為例［J］. 中學數學教學參考，2023（34）：40-42.

［4］ 陳應生. 一道恒等式的幾個證法及其推廣與應用［J］. 高等數學研究，2023，26（03）：53-55.

［5］ 張夢燕，楊小櫻，何桃順. 泰勒定理在考研數學中的應用［J］. 四川文理學院學報，2023，33（02）：31-38.

［6］ 蘇華. 高等數學中“泰勒公式”的口訣記憶及其應用［J］. 高等數學研究，2022，25（05）：21-24.

［7］ 馬巧靈，馬超，劉童. Taylor公式在高等數學中的應用［J］. 高等數學研究，2022，25（05）：25-27+31.

［8］ 楊亞莉，黃國榮，任謹慎. 求函數帶有拉格朗日余項的泰勒公式一種常見錯誤［J］. 高等數學研究，2019，22（05）：15+18.

［9］ 劉艷. 泰勒公式在函數極限計算中的方法探討［J］. 教育教學論壇，2020（28）：328-329.

［10］ 蔡光程，呂毅斌，葉鳳英，等. 泰勒公式的延伸式教學案例［J］. 高等數學研究，2023，26（06）：52-54+60.

（薦稿人：周根全，西安翻譯學院副教授）

（責任編輯：邵秋露）

作者簡介：謝天遙（2003—），男，學士在讀，南開大學，研究方向為數學專業知識。