2024年上海高考第21題的探究

1 題目

（2024年上海第21題）對于一個函數f（x）和一個點M（a，b），令s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，若P（x0，f（x0））是s（x）取到最小值的點，則稱P是M在f（x）的“最近點”.

（1）對于f（x）=1x（xgt;0），求證：對于點M（0，0），存在點P，使得點P是M在f（x）的“最近點”.

（2）對于f（x）=ex，M（1，0），請判斷是否存在一個點P，它是M在f（x）的“最近點”，且直線MP與y=f（x）在點P處的切線垂直.

（3）已知函數y=f（x）在定義域R上存在導函數f′（x），且函數g（x）在定義域R上恒正，設點M1（t-1，f（t）-g（t）），M2（t+1，f（t）+g（t））.若對任意的t∈R，存在點P同時是M1，M2在f（x）的“最近點”，試判斷f（x）的單調性.

2 題目評析

本題為函數新定義問題，考查學生利用導數工具求函數極值、最值，表示切線斜率和解決函數單調性問題的能力，題目蘊含了轉化與化歸思想、從特殊到一般的思想以及數形結合的思想，也體現了對數學抽象和邏輯推理的核心素養的考查.題目設置由特殊到一般，層層遞進.

第一問是在給出f（x）的具體解析式的條件下求“最近點”問題，考查學生對于新定義的演繹能力，實際考查對于某個具體函數求最值的過程.對學生理解新概念有一定的要求.

第二問同樣給出了f（x）的具體解析式，與第一問類似的是同樣也要求“最近點”，同時要探究最近點處的幾何特征，即直線MP與y=f（x）在點P處的切線垂直.考查學生對切線斜率幾何意義的理解和應用.

第三問與前兩問不同，并沒有給出f（x）的具體解析式，僅僅說明f（x）在R上可導，定義新的一組M1，M2，對任意新定義的兩點均有同一個“最近點”，要求判斷函數的單調性.本問中并不知道函數的具體解析式，但給出了函數可導，暗示學生導數的另一個應用，即利用導數求解函數的單調性.第三問是在前兩問基礎上對函數性質的進一步研究，同時第二問中也給出了第三問解答的某些暗示.考查學生對于導數作為工具的多方面應用能力，包括求極值與最值、切線斜率的幾何意義，以及利用導數分析函數的單調性.同時體現了轉化與化歸、數形結合思想.

3 試題解析

（1）將f（x）=1x（xgt;0）以及M（0，0）代入s（x）可得s（x）=x2+1x2，由基本不等式可得s（x）≥2，當且僅當x=1時，等號成立，此時，點P坐標為（1，1）.

（2）將f（x）=ex以及M（1，0）代入s（x）可得s（x）=（x-1）2+e2x.

先利用導數求出“最近點”.易得

s′（x）=2x-2+2e2x，

s″（x）=2+4e2x.

注意到s″（x）gt;0，則s′（x）單調遞增.當xlt;0時，s′（x）lt;0，s（x）單調遞減，當xgt;0時，s′（x）gt;0，s（x）單調遞增.所以s（0）為函數s（x）最小值.此時點P的坐標為（0，1），它為M在f（x）的“最近點”.

由f′（x）=ex，得f′（0）=1，即y=f（x）在點P處的切線斜率k=1.

而直線MP斜率為kMP=yM-yPxM-xP=0-11-0=-1，則k＼5kMP=-1，故直線MP與y=f（x）在點P處的切線垂直.

第（3）問解法的思維導圖如圖1所示.

第（3）問的解析如下：

方法1：數形結合，循序漸進.

正如第二問中暗示的那樣，可以猜想對于一般函數而言，“直線MP與y=f（x）在點P處的切線垂直”這條性質也成立.

先證明引理：對于任意可導函數y=f（x），M與其“最近點”P滿足向量MP與P處切線的方向向量的數量積為0.（注意，這種描述其實涵蓋了兩種情況，點M在函數f（x）上時，點P與點M重合；點M不在函數f（x）上時，MP與切線垂直.）

函數s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，取最小值時，s′（x）=2x-2a+f′（x）＼5（2f（x）-2b）=0，此時，MP=（x-a，f（x）-b），切線的一個方向向量為d=（1，f′（x）），有MP＼5d=0.

在該引理下，對于任意一組M1和M2的“最近點”P，有

M1P＼5d=0，M2P＼5d=0.

故點P在直線M1M2上.沿著這個思路來尋找點P的具體位置.

下面利用反證法證明點P為M1M2的中點.

注意到M1M2的中點M（t，f（t））在f（x）圖象上，假設P同時是M1，M2在f（x）的“最近點”且不為中點，如圖2所示，可知PM1gt;MM1或PM2gt;MM2成立，這與“P同時是M1，M2在f（x）的‘最近點’”矛盾.故假設不成立，點P為M1M2的中點.

故點P（t，f（t））處切線的方向向量與向量M1M2數量積為0，可得2+2f′（t）＼5g（t）=0，即f′（t）=-1g（t）lt;0.

由于t為任意實數，故對于函數f（x）上任意一點處導數恒負，則函數f（x）在定義域上單調遞減.

掃碼看解題過程方法2：抽屜原理，幾何秒殺.（略）

方法3：純代數法，暴力破解.（略）

方法4：利用特例，尋找突破.（略）

（掃碼看具體解法.）

4 解法反思

本題目就是構建在一個距離最短的問題背景下，引導學生通過代數方法，證明并利用幾何圖形上看起來很直觀的現象.高考題目中的這一類問題，充分體現了從經典幾何到現代數學理論的演變過程，以及數學在實際問題中的應用價值.在連續可導函數上求出一點P到已知點M的距離最近問題，當點M在函數圖象上時，這個問題的答案顯而易見，即點P與點M重合；當點M不在函數圖象上時，需要求得目標函數s（x）（實際為歐式距離平方）的最小值.由費馬引理可知，定義域為R連續可導函數的最小值在駐點處取到.故可以將問題轉化為求目標函數的駐點.注意到這里的駐點是一個必要條件，而并非充要條件，因此得出的目標函數導數為0的點，可能為極值點而非最值點.這里舉一個二次函數的例子，令f（x）=x2，M（0，3），代入可得

s（x）=x2+（x2-3）2=x4-5x2+9.

求駐點，可得

s′（x）=4x3-10x=0.

解得x1=0，x2=102，x3=-102.這里x2，x3為目標函數的極小值點，而x1=0為目標函數的極大值點.如圖3所示.

因此，在本例證明過程中，除了利用駐點這一必要條件，同時還要證明最小值的充分性.這往往是解答中容易忽略的問題.

通過以上步驟，利用代數方法求解二維平面上函數到固定點的最短距離問題，需要建立距離函數，并求解其最值.這個過程不僅涉及基礎的導數知識，還需要解方程和驗證極值點的能力，體現了代數在解決幾何問題中的應用.這類問題不僅考查了學生對數學知識的掌握程度，更重要的是培養了他們分析問題和解決問題的能力，是高考中具有挑戰性和應用價值的題目.

5 試題溯源、推廣與改編

5.1 試題探源

探源1（歷史背景）：歐氏幾何與解析幾何的結合.

本題目的命題背景來源于一個大家熟知的幾何問題，即距離最短問題.早在公元前300年左右，歐幾里得在他的幾何學著作《幾何原本》中，就對平面幾何中兩點間的距離給出了一條重要的公理：兩點之間線段最短.這條公理不僅在幾何學中起到了奠基性的作用，還對后世的數學發展產生了深遠的影響.

在那個年代，人們通常采用幾何學的證明方法來認識和解決最短距離問題.比如歷史悠久的將軍飲馬問題，它描述了一位將軍在一條河兩岸分別有兩匹馬，如何選擇飲水點使得兩匹馬到飲水點的總距離最短；又如FermatTorricelli問題，它要求找到一個點，使其到三角形三個頂點的總距離最小.這些問題通過直觀的幾何構造和對稱性，利用簡單而樸素的幾何學知識，成功地證明了最短路徑的存在.

隨著時間的推移，笛卡兒和費馬等數學家在17世紀創立并發展了解析幾何.這一學科利用坐標系將幾何問題轉化為代數問題，從而可以用代數方法來研究幾何對象之間的關系和性質.解析幾何的建立標志著數學發展的一個重要轉折點，它第一次將幾何方法與代數方法結合起來，使數與形得到了統一.通過解析幾何，數學家們不僅能夠更加精確地描述和研究曲線、曲面的性質，還能夠利用代數方法解決許多復雜的幾何問題，推動了數學理論的進一步發展.

諸如歐氏幾何與解析幾何結合的經典距離問題模型，有著悠久的歷史背景，下文提出三種真題模型背景，感受其中蘊含的代數和幾何的結合美.

探源2：兩點費馬問題.

函數圖象上一點到兩點距離和的最值問題.

已知y=f（x）在定義域R上存在導函數f′（x），設點M1（a，b），M2（c，d），其中a，b，c，d為常數.令d（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2+（x-c）2+（f（x）-d）2.

P（x0，f（x0））是d（x）取到最小值的點.

下分析點P的特征：

求d（x）的駐點.

求導，得d′（x）=x-a+f′（x）＼5［f（x）-b］（x-a）2+（f（x）-b）2+x-c+f′（x）＼5［f（x）-d］（x-c）2+（f（x）-d）2=0.

與M1P，M2P共線的單位向量分別為

n1=x-a（x-a）2+（f（x）-b）2，f（x）-b（x-a）2+（f（x）-b）2，

n2=x-c（x-c）2+（f（x）-d）2，f（x）-d（x-c）2+（f（x）-d）2.

因此駐點條件可以轉化為函數在點P處切線的方向向量d=（1，f′（x））與n1+n2的數量積為0.可以分為兩種情況：M1（a，b），M2（c，d）在函數圖象異側以及M1（a，b），M2（c，d）在函數圖象同側.

當點M1，M2在函數圖象異側時，如圖4，此時點P即為線段M1M2與函數圖象的交點（可能不止一個）.幾何解釋也非常明確，兩點之間線段最短.

當點M1，M2在函數圖象同側時，如圖5，此時點P特征為n1+n2為點P處切線的法向量.當y=f（x）為一次函數時，是直線上的點到兩點距離的最值，這就是著名的“將軍飲馬”模型（如圖6）.而函數不為直線型函數時，這個問題也是光學中鏡面反射的原理，也就是費馬原理的解析證明.

關于“將軍飲馬”問題，在平面幾何中有較為直觀的解釋，通過對稱等效原則，以及兩點之間線段最短公理，利用幾何方法找到最值（如圖6）.

對于曲線問題，在高中圓錐曲線章節也有體現，在一個橢圓曲線Γ：x24+y23=1上找到一點P使得P到點F2（1，0）和點A（0，1）的距離和最小.如圖7所示，觀察到F2（1，0）為橢圓的一個焦點，由橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=2a=4.

又|PA|≤|PF1|-|AF1|，當且僅當P，A，F1三點共線時等號成立.

故|PA|+|PF2|≤|PF1|+|PF2|-|AF1|=4-2.

以上是高中階段解析幾何中利用圓錐曲線定義和幾何三角不等式的方法求圓錐曲線上一點到兩定點距離和（其中一點為焦點）的最小值問題.相比上文的代數解釋，這個問題還有一個更加直觀的幾何解釋，也就是在點P處的切線的垂線平分∠APF2（如圖8）.

探源3：平面上一點到內角均小于120°的三角形各個頂點距離和最小值問題.

該問題由費馬提出，是著名的“求一點，使其到三角形三個頂點的距離和最小”的極值問題.費馬將這一問題交給意大利物理學家托里拆利求解.托里拆利成功解決了該問題，發現當三角形的所有內角均小于120°時，滿足∠APB=∠APC=∠BPC=120o時的P正是所求的點.該點故被稱為托里拆利點，也稱費馬點（如圖9）.

將題目背景1中的兩個點推廣到三個點時，題目背景1中的性質依然存在，只不過將兩個單位向量和特征推廣為三個單位向量和n1+n2+n3與點P處切線的方向向量的數量積為0.特別地，當函數圖象經過三角形費馬點時，三個單位向量兩兩成120°，此時n1+n2+n3=0，剛剛提到的數量積為0的向量特征是一定滿足的.故該點一定是到三點的距離和最近的點.關于費馬點的幾何證明過程，網絡上有較多版本，這里就不展開了.這個推廣僅用代數方法給出一個思考角度作為參考.

探源4：加權距離和問題，斯涅爾定律.

斯涅爾定律主要用于光的折射問題，如圖10，設光在介質1與介質2中的光速之比為1∶k，α為入射角，β為折射角，則 sin α∶ sin β=1∶k.

其背后的費馬原理與最小路徑或最小距離問題有著密切聯系.費馬原理表明，光線傳播的路徑所需的時間為極值.這里利用費馬原理證明斯涅耳定律留給讀者自行證明.

5.2 推廣延伸

類比推廣：函數圖象上點到一定直線的距離最值問題，猜想并證明其幾何特征.

已知函數y=f（x）在定義域R上存在導函數f′（x）和一條直線l：y=kx+b，函數y=f（x）的圖象與直線l無公共點.令d（x）=kx-f（x）+b，若P（x0，f（x0））是d（x）取到最值的點，則直線l與y=f（x）在點P處的切線平行（如圖11）.

證明略.

延伸應用：平面上一點到多個點距離和最值問題也即費馬托里拆利問題.

在幾何學中，歐氏空間中一組離散樣本點的幾何中位數是使到樣本點的距離和最小化的點.它也被稱為空間中位數、歐氏最小和點、托里切利點.原試題第二問其實是這個問題在函數約束下，到一個點距離最值的特例情況.

求解幾何中位數問題的方法有多種，根據問題的復雜性和精度要求，可以選擇不同的算法，常見的求解方法主要有魏斯菲爾德算法、坐標下降法、梯度下降法、枚舉法、啟發式算法等.總之，幾何中位數問題不僅在理論數學中具有深遠影響，還在眾多實際應用中扮演著關鍵角色.通過研究和解決這一問題，人們可以在各個領域中實現資源優化和效率提升.

5.3 試題改編

（原創命題）已知函數y=f（x）在定義域R上存在導函數f′（x）和一條直線l：y=kx+b，函數y=f（x）的圖象與直線l無公共點，令d（x）=kx-f（x）+b，若P（x0，f（x0））是d（x）取到最值的點，則稱P是l在f（x）的“最值點”.

（1）已知f（x）=x2（xgt;0），求證：對于直線l：y=x-2，存在點P，使得點P是l在f（x）的“最值點”.

（2）已知f（x）=ex，直線l：y=x，請判斷是否存在一個點P，使得它是l在f（x）的“最值點”，且直線l與y=f（x）在點P處的切線平行？

（3）已知y=f（x）不為常值函數，在定義域R上存在導函數f′（x）和f″（x）且對于直線l：y=kx+b，若存在不少于三個點是l的“最值點”，求證：存在t∈R，使得f″（t）=0.

解析略，可掃前文中的二維碼看具體解析.