對一道三角函數“陳題”的解法思考

摘要：文章對一道三角函數“陳題”的慣有解法提出了質疑，給出了修改建議，提供了兩種更加直觀的解答，并指出數學學習要有質疑精神，要培養思維的嚴謹性，要注重課本概念的深度理解．

關鍵詞：陳題；嚴謹性；隱含條件；數學概念

嚴謹性是數學學科的基本特點，思維嚴謹是學習數學最基本的要求．在平時的解題中，我們要努力做到思維嚴謹，不斷提升思維品質．筆者發現有一類“已知條件中給出函數y=Asin （ωx+φ）+k的某些性質，求ω的范圍”這樣的三角函數試題，倍受青睞，頻繁出現在高考和各類教輔資料中.學生對這類試題往往心存畏懼，而這些參考資料給出的解答缺乏關鍵環節的分析，思維不夠嚴謹，增加了學生學習數學的難度，無益于培養學生對數學的興趣．

1 試題及疑惑

題目已知ωgt;0，函數f（x）=sin ωx+π4在 π2，π上單調遞減，則ω的取值范圍是（）.

A.12，54B.12，34C.0，12D.（0，2）

這是一道比較經典的試題，學生面對這樣的試題一般會想到從復合函數的單調性出發，采用換元法，結合內外層函數單調性的聯系，構建不等關系，難點在于得到不等關系后不知如何進一步求解，解題陷入困境.這正如某些教輔資料上給出的解答一樣，關鍵地方走了過場，讓學生困惑不已，比如《步步高學案導學筆記》第35頁給出了如下解答：

解：由π2＜x＜π，ωgt;0，得ωπ2+π4＜ωx+π4＜ωπ+π4.因為y=sin x在π2，3π2上單調遞減，則

ωπ2+π4≥2kπ+π2，

ωπ+π4≤2kπ+32π.①

顯然，

ωπ2+π4≥π2，

ωπ+π4≤32π.②

解得12≤ω≤54.故選：A.

疑惑：“式子②”是“式子①”在k=0時的特殊情形，為什么是k=0才符合題意呢，參考答案沒有說明，課堂上很多老師也都一帶而過，讓學生一頭霧水．2 釋疑及解法改進

解法1：（上述解法的改進）根據①可以解得ω≥4k+12，

ω≤2k+54.由ωgt;0知，必有2k+54gt;0，即kgt;－58；另一方面2k+54gt;4k+12，則k≤38.

所以－58＜k≤38，由k∈Z得k=0.

所以ω≥12，

ω≤54，即12≤ω≤54．

可見，上述教輔書的解答不能“服眾”的原因在于隱含條件的挖掘不夠.當然，這正好也是學生學習的軟肋.

事實上，如果能從圖象直觀出發，抓住ω對圖象形狀的影響，還可以有如下兩種直觀的解法：

解法2：將y=sin x的圖象向左平移π4個單位長度后，再將圖象上的所有點的橫坐標變為原來的1ω倍（縱坐標不變）即得f（x）=sin ωx+π4的圖象.由f（x）在π2，π上單調遞減，知區間π2，π的長度不會超過半個周期，則12T≥π－π2，即T≥π，所以0＜ω≤2，于是5π4ω≥5π8gt;π2，則π2，ππ4ω，5π4ω，所以π4ω≤π2，

5π4ω≥π.解得12≤ω≤54．

解法3：首先y=sin x在［0，2π］上的圖象過的五個基本點是（0，0），π2，1，（π，0），32π，－1，（2π，0），將圖象向左平移π4個單位長度后得到y=sin x+π4，這五個點依次為－π4，0，π4，1，3π4，0，5π4，－1，7π4，0.

接下來由y=sin x+π4的圖象進行伸縮變換得y=sinωx+π4，圖象上每個點的橫坐標伸縮為原來的1ω倍（縱坐標不變），則這五個點依次為－π4ω，0，π4ω，1，3π4ω，0，5π4ω，－1，7π4ω，0.

①若ω=1，則y=sin x+π4，函數在π2，π上單調遞減是顯然的；

②若ωgt;1，圖象的變換效果是沿著水平方向壓縮，此時若函數在π2，π上遞減，當且僅當π≤5π4ω，即ω≤54，故1＜ω≤54；

③若0＜ω＜1，圖象的變換效果是沿著水平方向拉伸，此時若函數在π2，π上遞減，當且僅當π4ω≤π2，即12≤ω＜1.

綜上，12≤ω≤54．

點評：常規的解法1形式上是機械地“套公式”，解題的過程并未加深學生對ω的理解，學生受益最多的可能是運算求解能力；解法2和解法3則不同，解法2的巧妙之處在于當ωgt;0時，伸縮變換前后，單調區間的屬性不變，即遞增區間還是遞增區間，遞減區間還是遞減區間；解法3的巧妙之處在于抓住函數在某個區間單調的本質是在該區間內函數取不到極值，從極值點的位置分析問題.

3 高考鏈接

一滴水雖小，但能折射出太陽的光輝，以上雖然只談及了一道題的解法，但其實在高考中也有一些類似的試題，如果抓住數學概念和幾何直觀，往往也能得到較為簡單的解答.如下面一道經典高考壓軸選擇題，有興趣的讀者可以解一下.

已知函數f（x）=sin （ωx+φ）ωgt;0，|φ|≤π2，x=－π4為f（x）的零點，x=π4為f（x）的對稱軸，若f（x）在π18，5π36上單調，則ω的最大值為（）.

A.11B.9C.7D.5

簡解：由題意分析知函數的對稱軸形如x=π4+k·πω，k∈Z，函數在區間π18，5π36上單調的意思是在該區間不存在對稱軸，于是，可以依次對四個選項逐一進行檢驗.當ω=11時，由π18＜π4+k·π11＜5π36，解得－7736＜k＜－4436.

顯然k=－2，區間內有對稱軸，不符合題意，舍去.

當ω=9，π18＜π4+k·π9＜5π36，解得－74＜k＜－1，在該區間內無整數，符合題意.故選：B.

筆者見過很多分析解答此題的文章，唯有這種解法清新自然，真正體現了幾何直觀的優勢，我想這應該是命題人的初心.

4 解題感悟

4.1 數學學習要有質疑精神

我國古代思想家孔子說：“疑是思之始，學之端.”這句話是說一個人要有質疑精神，懂得疑才能真正學會思考、學會學習.在學習中培養“學而有疑”的精神就是要帶著疑問的動機去學習，這樣才有利于在學習中達到鉆研的目的，并收獲獨到的見解．宋代的朱熹曾說：“讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長進．”本文中的例子及教輔書上給出的解答思維明顯不夠嚴謹，學生盡管看不太懂，卻鮮有人提出質疑，才讓這樣的解答在眾多資料書中存在多年，至今沒有完善．

4.2 數學學習要培養思維的嚴謹性

在數學學習和解題過程中，要嚴格遵守邏輯規則，做到概念清晰、判斷正確、推理有據，不斷提升自身思維活動的嚴謹和縝密程度．要提升思維的嚴謹性，首先要準確理解數學概念、公式、法則、定理的含義.學生的理解程度常常體現在他們自身的語言表述中，學習時要注意定義、公式、法則、定理中的一些關鍵性詞語，使之精確化，并學會用符號語言正確表述.其次，訓練嚴密推理，推理有據是思維嚴謹性的核心要求，努力做到推理的每一步都有根據，符合邏輯要求．

4.3 數學學習要注重概念的深度理解

遵循教育規律，注重考查對基礎知識、基本技能、基本方法的深刻理解，引導學生要知其然，更知其所以然，學有所思、思有所疑、疑有所問、問有所悟.教學要把精力放在講透課程重點內容上，強調在深刻理解的基礎上的融會貫通、靈活運用，把教學重點從總結解題技巧轉向培養學生學科核心素養的高考命題改革精神.

著名數學家華羅庚先生曾說過：“數學的學習過程，就是不斷的建立各種數學概念的過程．”由此可見，學好數學概念是何等重要，概念是數學的基石，也是培養數學素養的關鍵一環，學生能夠自覺從概念出發解題往往是數學素養高的體現．本文中給出的解法3，就是從課本基本概念出發，在深入理解ω對圖象變化影響的基礎上給出的，這種植根于課本概念的解法，能增進學生對數學的理解，關注到數學問題的本質．