溯源教材：基于關鍵能力培養的“圓錐曲線第三定義”復習課探究

圓錐曲線是高考考查的重點和熱點內容，對數形結合、數理思維和推理運算等能力要求高，需要有較強的轉化與化歸、圖形識別以及語言與數式形轉換等能力，在求解過程中要注意思維嚴密，以保證結果的完備性.近年來，以圓錐曲線第三定義為背景的高考題、模擬題頻繁出現.這些題目通常以教材母題為“根”，以能力立意為“魂”，注重知識的交匯性、滲透性、探究性，展現了圓錐曲線第三定義內涵與外延的“來龍去脈”，體現了數學公式和結論的結構美與和諧美，已成為考查學生關鍵能力的重要載體.

1 教學探源

1.1 回歸教材

例1（人教A版選擇性必修第一冊第108頁例3）如圖1，設A，B兩點的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-49，求點M的軌跡方程.

解析：設點M（x，y），則直線AM，BM的斜率分別為kAM=yx+5，kBM=yx-5（x≠±5）.由已知得kAM·kBM=yx+5×yx-5=-49（x≠±5），化簡得點M的軌跡方程為x225+y21009=1（x≠±5）.所以點M的軌跡是除去（-5，0），（5，0）兩點的橢圓.

學生在分析、討論的基礎上自主完成，教師適時提醒注意檢驗方程與曲線之間是否等價，引導學生進一步理解橢圓的第一定義（距離和）、第二定義（距離比），掌握其標準方程，深化學生對求曲線方程的方法及橢圓幾何特征的再認識，實現知識方法的內化.

1.2 歸納探究

在例1的基礎上，分類研究兩定點在不同位置情形下圓錐曲線上任意一點與這兩定點連線的斜率之積是否為定值？

1.2.1" 探究一：兩定點是橢圓長軸的兩個端點

如圖2，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的長軸兩端點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1（是定值，其中e是橢圓的離心率，下同）.

1.2.2 探究二：兩定點是橢圓短軸的兩個端點

如圖3，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的短軸兩端點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1.

思考：長軸、短軸都是經過橢圓中心的弦，此結論能否進一步推廣？

1.2.3 探究三：兩定點關于橢圓對稱中心對稱

如圖4，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上關于原點對稱的兩點，點P在橢圓上，當PA，PB的斜率都存在時，則有kPA·kPB=.

答案：kPA·kPB=-b2a2=e2-1.

1.2.4 探究四：橢圓垂徑定理

如圖5，已知直線l與橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，O為坐標原點，且kAB，kOM都存在，則有kAB·kOM=.

答案：kAB·kOM=-b2a2=e2-1.

1.2.5 歸類總結

如圖6，橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的任意一點P，當kPA，kPB都存在時，總滿足kPA·kPB=-b2a2=e2-1，其中點A，B關于中心O對稱.當橢圓變為圓時e=0，kPA·kPB=-1，此時P′A′⊥P′B′，對應著圓周角定理.

如圖7，在橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）中當M為弦AB的中點時，總有kAB·kOM=-b2a2=e2-1.當橢圓變為圓時，e=0，kAB·kOM=-1，此時A′B′⊥O′M′，對應著圓垂徑定理.

當橢圓焦點在y軸上時，類比上述探究，可得到如下結論：A，B是橢圓C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的長軸（或短軸）兩端點或是關于原點對稱的兩點，點P在橢圓上，當PA，PB的斜率都存在時，總有kPA·kPB=-a2b2=1e2-1，是一個定值.2 拓展延伸

2.1 延申一：與兩定點連線的斜率之積為正數的點的軌跡

例2（人教A版選擇性必修第一冊第121頁探究）如圖8，點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是49，試求點M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀，與例1比較有什么發現？

例2與例1的學習目標相呼應，既能強化對雙曲線標準方程求法的理解，又能引導學生運用類比的方法，將學習橢圓的方法正遷移到學習雙曲線的知識中，為后面統一認識圓錐曲線第三定義埋下伏筆.這對于學生數學知識和思想方法的學習起到很好的指導與鞏固作用.

2.2 延申二：雙曲線中的周角定理和垂徑定理

如圖91，A，B是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的實軸（或虛軸）兩端點或是關于原點對稱的兩點，P是C上異于A，B的任一點，當kPA，kPB都存在時，則有kPA·kPB=b2a2=e2-1；如圖92，若雙曲線的方程為C：y2a2-x2b2=1（agt;0，bgt;0），則有kPA·kPB=a2b2=1e2-1.

如圖101，A，B是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的實軸（或虛軸）兩端點或是關于原點對稱的兩點，P是AB的中點，當kAB，kOP都存在時，則有kAB·kOP=b2a2=e2-1；如圖102，若雙曲線的方程為C：y2a2-x2b2=1（agt;0，bgt;0），則有kAB·kOP=a2b2=1e2-1.

2.3 延申三：拋物線中的相關結論

如圖111，A，B是拋物線C：y2=2px（pgt;0）上異于原點O的兩點，P（xP，yP）是AB的中點，當kAB存在時，則有kAB·yP=p；如圖112，若拋物線的方程為C：x2=2py（pgt;0），則有pkAB=xP.

3 整合提升

3.1 教材整合：一組同質練習群

練習1（人教A版選擇性必修第一冊第109頁練習第4題）已知A，B兩點的坐標分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點M的軌跡是什么？為什么？

練習2（人教A版選擇性必修第一冊第126頁練習第1題）已知A，B兩點的坐標分別為（-6，0），（6，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是29，求點M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀.

練習3（人教A版選擇性必修第一冊第139頁習題3.3第11題）已知A，B兩點的坐標分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點M的軌跡.

練習4（人教A版選擇性必修第一冊第145頁復習參考題3第9題）已知A，B兩點的坐標分別為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之和是2，求點M的軌跡方程.

練習5（人教A版選擇性必修第一冊第146頁復習參考題3第11題）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），且直線AC，BC的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡.

教材安排這一組練習，就是為了鞏固求曲線方程的方法和步驟，引導學生通過自主推演、類比探究提煉出三類基本結論：一是“平面內與兩定點連線的斜率之和、差、積、商為定值的動點的軌跡是二次曲線”；二是當給定的兩點是圓錐曲線上關于中心對稱的點時，曲線上異于這兩點的點與這兩點的連線的斜率之積是一個常數；三是圓錐曲線中均存在著垂徑定理.

3.2 定形判斷：圓錐曲線第三定義

平面內動點與兩定點A1（-a，0），A2（a，0）（或A1（0，-a），A2（0，a））的連線的斜率之積等于常數m=e2-1的點的軌跡為橢圓或雙曲線或圓（A，B兩點除外）.其中兩定點為橢圓或雙曲線的頂點，e是其離心率.當0lt;elt;1時，為橢圓；當egt;1時，為雙曲線；當e=1時，為拋物線.常見形式如圖12所示.

3.3 統一形式：橢圓或雙曲線的周角定理

A，B是曲線C：x2m+y2n=1（mn≠0）上關于中心對稱的任意兩點，P是曲線C上異于A，B的任一點，且kPA，kPB都存在，則有kPA·kPB=-nm.

4 教學反思

4.1 注重教材本源，落實“三會”“四基”“四能”

高考命題以教材及課標為依據，每道題在課標中都能找到對應的考點，從題目題意、描述、問題設置到解答過程，甚至包括字母順序、符號以及標點等細節，都要能夠在教材處找到援引.新教材中涉獵許多拓廣探索問題，能很好體現新課標理念的開放性和發展性，是具有一定的應用性、探索性的教學資源.新教材也提供了學習主題、基本線索和具體內容，教學時要引導學生感悟數學知識之間的關聯、思想方法的融合互通，加強對數學整體的理解.課標各層級內容都要覆蓋到高考試卷之中，因此，高考備考要圍繞課本主干知識主線，聚焦對重要概念、知識規律、思想方法的理解與應用.回歸教材、研讀課標、夯實基礎、強化三會是備考密鑰.

4.2 重視通性通法，強化“教考評”一體化

研究新課標，鉆研新教材，由課堂的一個亮點生發成一種課堂理念.本節課從教材例題、習題出發，深入探究圓錐曲線第三定義、中點弦問題等微專題知識，以及點差法、韋達定理等思想方法，總結解析幾何中常見的二級結論，靈活應用于高考選填題中，既能幫助學生完善知識結構，提高問題拓展、分析與解決能力，建構單元知識網絡，又能幫助學生積累和完善基本活動經驗，培養理性精神和創新品質.

4.3 融合課程思政，培育學科核心素養

從課本例題、習題出發，通過知識的學習、探究、拓展，培養學生完備、細致、全面的思維品質，彰顯數學育人的德育價值[1].數學教學中融入課程思政，能養正學生家國情懷，提升學生的科學素養、人文品質、藝術修養和實踐能力.數學是培養理性思維、科學精神和創新能力的重要學科，給學生的合作探究學習提供了更大思考維數和自由度，讓學生在正確思想觀念和科學知識方法的引領下，在開放的綜合情境中創造性地解決問題，再形成創造性的結果，體悟數學美的神韻、思的藝術和辨的能力[2].

4.4 發展理性思維，鍛造終身學習能力

學生可持續發展的核心就是具有好奇心、專注力、問題解決力、堅持力、合作力、溝通力等學習品質.通過揭示學習的本質、元認知和腦機制基礎，重視情境創設，激發學生主動學習興趣和內部學習動機；開展跨數學實驗實踐與項目化學習，增強學以致用的能力；優化課堂結構，開展自主學習和小組合作，重視課堂質疑與展示交流；強化技術融合，借助人工智能與大數據開展差異化教學，實現個性化發展；推進激勵評價，營造支持性、挑戰性學習環境，鼓勵從不同角度思考問題，從而引導學生學會思維、提升學習力，發展學科素養.

參考文獻：

[1]孔祥士.用數學思想方法支撐高中數學深度學習[J].數學教學通訊，2020（24）：3738.

[2]馮愛龍.探析高中數學教學中的德育融合[J].中學數學，2022（19）：35.