基于單元整體觀視角的高中概率概念教學

摘要：高中概率內容幾經演變，已形成邏輯性強、體系化的框架內容.課程標準指出，要引導學生抓住章節的內容主線，從整體上把握課程，聚焦學生學習過程，實現學生數學核心素養的形成與發展.文章基于單元整體觀視角，剖析了“條件概率”的概念，梳理其在知識體系中的地位，并給出了相應的教學設計.

關鍵詞：單元整體觀；概念教學；條件概率

1 問題提出

課程標準實施的關鍵在教師，落地在課堂.教師要轉變觀念，基于整體觀視角對教學內容進行設計和結構化思考，明確各個知識點之間的邏輯聯系，統籌設計實施主題、單元教學、課堂活動；要重視數學概念的教學，概念是知識結構的支點，概念教學中要充分體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性[1].通過教師的導，促使學生的學真正發生，使數學學科核心素養真正落地于數學課堂.

條件概率是一個“承上啟下”型的關鍵概念，并與乘法公式、全概率公式構建起了初等概率的邏輯基礎，具有重要地位.在單元整體觀視角下剖析條件概率的概念，梳理其在知識體系中的地位，有助于對知識的整體理解和把握，是落實課程內容結構化理念的重要途徑.

2 整體觀視角下的概念教學

整體觀視角下的概念教學由概念定位、概念構建、概念內化、概念整合四個部分組成，如圖1所示.

3 概率的本質特點

3.1 概率的章節結構

高中概率知識由必修與選修性必修兩部分組成，其章節結構圖如圖2所示.對比以往版本教材，人教A版教材引入了樣本空間來解釋隨機事件，并就事件之間的關系與集合建立起關聯，形成了概率的基礎運算.條件概率的引入，完善了乘法公式，對必修部分的事件的相互獨立性提供了邏輯支撐，與全概率公式形成了初等概率的運算邏輯.第三部分是隨機變量分布模型與特征數的求解，其中離散型的超幾何分布與二項分布需依托于對條件概率的深度理解.

3.2 概率的單元理解與教學建議

在概率章節的學習活動中，要把握數學教學的整體性，用“問題情景—探究活動—抽象概括—計算應用”的發展過程進行教學設計，形成統一性的研究一個數學對象的基本框架和路徑.本單元中條件概率的概念建構，條件概率公式、全概率公式的推導，概率模型的建立都是從特殊到一般、從具體到抽象，通過歸納而得出.這是數學研究中經常使用的方法，也是數學教學應該遵循的原則[2].

4 “條件概率”的教學設計

4.1 概念定位

從知識結構上看，條件概率是基于事件的關系與運算、古典概型基礎生成的重要概率模型.與事件的獨立性形成邏輯互證關系，完善了乘法公式，為全概率公式、貝葉斯公式提供了邏輯基礎.從學情角度看，學生在必修概率部分的學習中，已經學會了用樣本點與樣本空間進行事件概率的運算，了解了事件的關系與運算，對事件的獨立性有一定認識，這些為建構條件概率的概念提供了基礎條件[3].從認知角度看，加深對初等概率邏輯基礎的理解，能用其解決較復雜事件的概率，也能提高學生對概率的理解水平.

基于以上分析，我們確定如下教學目標：（1）結合古典概型、事件的關系與運算，了解條件概率，能計算簡單的條件概率；（2）了解條件概率與獨立性的關系；（3）理解乘法公式并能用其計算概率.

4.2 概念構建

情景1：假設生男孩和女孩是等可能的，考慮某個家庭有兩個孩子.

思考1：這兩個孩子都是女孩的概率是多少？

思考2：如果有已知1個孩子是女孩，那么兩個孩子都是女孩的概率又是多少？

情景2：拋擲一顆骰子，樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}，事件A={1，2，4}，B={1，2，4，5，6}

思考1：事件A發生的概率是多少？

思考2：在B發生的條件下，事件A發生的概率又是多少？

師生活動：基于生活經驗，感知有無條件對概率計算的影響；基于概率運算基礎，準確求出問題的概率值，通過歸納共性，實現由具體到一般的抽象過程.

總結：在事件A發生的條件下，事件B發生的概率P（B|A）=n（AB）n（A）.

問題1情景2中，計算出P（A），P（B），P（AB），觀察它們與P（B|A）的關系.

問題2能否證明P（B|A）=P（AB）P（A）（P（A）gt;0）？

學生活動：P（B|A）=n（AB）n（A）=n（AB）n（Ω）n（A）n（Ω）=P（AB）P（A）.

抽象概念，概括與表達得到條件概率的定義：

一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P（A）gt;0，則稱P（B|A）=P（AB）P（A）為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率.

教學說明：通過典型實例，幫助學生理解概念，培養數學抽象素養.采用“問題情景—探究活動—抽象概括—邏輯驗證”的方式，用樣本空間與樣本點統計的手段，分別計算出情景1與情景2中的條件概率，在運算中讓學生體驗“條件影響—樣本空間的縮小”，采用直觀歸納的方式建立條件概率的定義與計算公式.

4.3 概念內化

（1）概念辨析

例1一個盒子中裝有5只產品，其中4只一等品、1只二等品.從中抽取產品兩次，每次任取一只，不放回抽樣.設“第一次取到一等品”為事件A，“第二次取到一等品”為事件B，求P（B|A）.

為了方便構建樣本空間，我們設a，b，c，d為一等品，1為二等品.

生1：通過統計Ω，n（A），n（AB），易求得

P（B|A）=n（AB）n（A）=34.

生2：易求得P（A）=45，P（AB）=A14A13A15A14=35，根據公式P（B|A）=P（AB）P（A），得P（B|A）=34.

生3：第一次抽取到一等品后，盒子中僅有4只產品，即3只一等品，1只二等品.此時把第二次抽取事件作為“單獨”事件，Ω={a，b，c，1}，第二次取到一等品的概率P（B|A）=34.

教學說明：在實際情境中解決條件概率問題，讓學生熟悉條件概率的一般求法，以便進一步理解概念.其中生1指向古典概率的基本求法，能進一步感受對縮小樣本空間的理解，缺點是樣本數據大的時候，比較繁瑣；生2指向公式法，在大樣本數據中，可利用計數原理實現便捷性；生3利用直接求解法，假設條件發生，根據生活經驗，形成新樣本空間（其本質也是縮小樣本空間），可直接利用古典概型計算，這也是全概率公式與超幾何分布中概率運算的基本求法.

（2）概念完善

變式把“每次任取一只，不放回抽樣”改為“每次任取一只，放回抽樣”，求P（B|A），并觀察它與P（A），P（B），P（AB）的關系.你能得到什么結論？

師生活動：從條件概率視角易求得P（A）=45，P（AB）=1625，所以P（B|A）=45，發現P（B|A）=P（B）；從獨立性角度來理解，B事件發生與A事件無關，A，B相互獨立，所以P（B|A）=P（B）=45；從邏輯層面分析，因為A，B相互獨立，所以P（AB）=P（A）P（B），故P（B|A）=P（AB）P（A）=P（A）P（B）P（A）=P（B）=45.

（3）概念打磨

思考我們知道在A，B相互獨立的條件下，有P（AB）=P（A）P（B），那去掉相互獨立的條件，如何計算P（AB）呢？你能理解這兩種情景下的關聯嗎？

生4：P（AB）=P（A）P（B|A），P（A）gt;0，因為A，B獨立時有P（B|A）=P（B），即P（AB）=P（A）5P（B）.

教學說明：（1）可以把隨機事件的獨立性看成條件概率中的極限形式，深度理解事件獨立性與條件概率的關系；（2）歸納—猜想—論證，完善積事件運算公式，完成概念打磨；（3）用“放回”與“不放回”這兩種常見模型作比對，增進對條件概率中條件的理解，更為后期離散型隨機變量中的二項分布與超幾何分布等內容做好預備.

4.4 概念整合

概念整合的關鍵是實現知識結構化及方法論上的統一性.

探究1條件概率P（A|B）是否具備概率的基本性質？（非負性、規范性、可加性）

探究2剛剛我們擴展了乘法公式，學習了今天的內容后，你認為P（B+A）應該等于什么？

教學說明：根據概念類比，進一步了解條件概率與概率之間的關系；由概念內化的乘法公式，外延至概率的加法公式，進一步完善概率的運算體系，生成結構化內容.

例2（1）設A是B的子集，且P（A）=0.2，P（B）=0.7，求P（B|A）和P（A|B）的值.

（2）已知隨機事件A，B，P（A）=12，P（B）=13，P（B|A）=12，求P（AB），P（A|B）.

教學說明：熟練掌握事件的關系與表達、條件概率的計算公式，為全概率公式與貝葉斯公式的推導做足基礎.

探究3有8張獎券，內含一張一等獎，甲乙依次去抽獎，他們抽中一等獎的概率相等嗎？

教學說明：在實際問題中，學生要能抽象出各個事件的概率表達，掌握事件之間的內在關系，并能根據乘法公式，找到事件在邏輯上的聯系，為下一課時全概率公式的學習做好鋪墊.

5 教后反思

通過“條件概率”的教學設計，我們可以發現：

（1）從知識結構的整體性上看條件概率的教學，概率的基礎運算與獨立性是支撐本節課的兩個要點.隨機變量的獨立性也是必修部分的教學重點與難點，所以，無論是從直觀上，還是從理論上，都應當引導學生清晰地把握隨機事件的獨立性.

（2）本課內容知識點多，邏輯關聯性強，所以教學過程中容易生“亂”.為減少知識點間的干擾，本課設計時形成了相對獨立的四個部分，解決對應問題.第一，引導學生通過對一般古典概型的把握，感受條件概型的意義；第二，關注條件概率的延伸意義，設計條件概率的三種基本算法；第三，通過邏輯推理，驗證條件概率與隨機事件獨立性的關系，為乘法公式形成理論閉環；第四，概念整合，形成多元聯系.

（3）條件概率—乘法公式—全概率公式，它們是求一類復雜事件概率的有力工具.從認知角度看，學會利用條件概率公式、概率乘法公式和全概率公式計算較復雜事件的概率，可以有效提高學生對概率的理解水平.

基于單元整體觀視角的概念教學，要點在于整合教材，系統把握單元知識間的關聯，強調知識、思想、方法論上的整體性，邏輯的連貫性，還在于加強一般觀念的指導，實現知識、方法、能力等多方面的遷移，使學生形成發現數學對象的本質、關系、規律的能力，激發學生的創造性思維，培育學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]趙優良.湘教版普通高中數學教材的優勢及其教學思考——以必修第一冊為例[J].新課程評論，2022（11）：6066.

[2]劉美良.基于數學核心素養的單元一課時教學設計——以“條件概率”為例[J].數學通訊，2023（2）：1620.

[3]程海奎，章建躍.通過隨機變量刻畫隨機現象加深理解隨機思想[J].數學通報，2022，61（1）：914，19.