拔尖創新人才培養視域下高中數學項目化深度教學實踐

摘要：從高中育人方式改革實踐出發，闡述高中數學項目化深度教學對拔尖創新人才早期發現及培養的積極作用，結合多年高中數學深度學習模式探索與實踐，提出高中數學教學應“回歸數學本質，落實立德樹人的教育宗旨；優化教學模式，發展學生創新思維，培養學生自主學習、協作溝通能力”的深度教學理念.以此推動高中階段學生的批判性、創造性思維能力的培養，探索拔尖創新人才的自主培養之路.

關鍵詞：拔尖創新人才；高中數學；項目化深度教學

黨的二十大報告提出要“全面提高人才自主培養質量，著力造就拔尖創新人才”.高中階段是培養學生創新型思維和科學精神的最佳時期.項目化深度教學，對拔尖創新人才的早期發現和針對性培養具有積極推動作用.

項目化深度教學是指以項目為載體，以學生為中心，以培育數學高階思維和創新精神、培養拔尖創新人才為目標的綜合性體驗式教學活動.通過學生自主學習、合作探究，深度挖掘學科本質.通過確立項目化深度教學主題與目標、構建課程體系、實踐與反思評價，實施深度教學.滿足社會發展對數學拔尖創新人才的需求，落實普通高中育人方式改革.通過師生對話、合作、分享，促進教師的專業發展.

筆者通過高中數學項目化深度教學課程開發和成果優化解決了如下問題：（1）通過“自主學習—互動探究—知識建構—展示評價—創新拓展”的教學模式，解決如何培養學生自主學習、溝通及團隊協作能力；（2）搭建項目式探究學習支架，解決如何實現深度學習、培養學生高階思維的習慣；（3）形成探究過程與項目成果的學生評價體系，解決了如何早期發現拔尖創新人才的問題；（4）基于深度學習的高中數學教學體系，解決了通過深度學習探究知識本質，發展學科素養，助推拔尖創新人才的早期培養.

1 教學準備

1.1 項目主題的確定

本次項目化教學實踐以“嫦娥五號探月運行軌跡”為背景，以“橢圓定義”為學習主題，人教A版選擇性必修第一冊“橢圓及其標準方程”為課例.由于地球和月球引力不同，嫦娥五號在它們之間飛行同時受到兩個天體的引力影響，因此運動軌跡并不是一個閉合的橢圓軌道.當嫦娥五號到達地球附近時，其運行軌跡是相對地球的大橢圓軌道.正是有了空間的飛行軌道，嫦娥五號飛行器圓滿實現了在地球與月球之間的自由往返通行.嫦娥是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器，將創造多項世界首次記錄，其關鍵技術具世界先進水平.選擇該項目的目的是：借助真實情境，聚焦科技熱點，培養學生會用數學的眼光觀察世界；展示我國航天領域的豐功偉績，培養民族自豪感和愛國主義精神；利用“運行軌跡”讓學生領悟橢圓的幾何用途.

1.2 項目化教學目標

通過項目化學習，了解圓錐曲線在航空航天及實際生活中的應用，體驗橢圓定義的抽象過程，掌握橢圓標準方程的表達及特征量的幾何意義，提升學生的數學思維和解決問題的能力.通過發現問題、提出問題，培養數學抽象和直觀想象素養；通過分析問題、解決問題，培養邏輯推理和數學運算素養.同時，領會數形結合在研究橢圓中的重要作用，感悟數學在人類文明進步中的積極貢獻.目標如下：

基礎知識方面：能夠從具體事物中抽象出橢圓的概念，根據橢圓幾何特征，得出橢圓的標準方程.通過實際操作，總結數學建模的過程和方法，掌握如何將實際問題轉化為數學模型.通過自主學習和合作探究解決相關數學問題.

綜合能力方面：通過數學探究，了解知識在實際生活中的應用，掌握利用所學知識解決實際問題的思想方法，發展學生的學科核心素養.通過試驗、動手畫圖，體會橢圓的應用，學會使用有效工具，建立數形結合思想.感悟橢圓在現代科技中的應用價值.

情感價值方面：通過真實情境領悟科學家的奉獻精神、科研價值.在自主學習和合作探究中增強學生的溝通交流意識、團隊協作能力.在展示評價階段提升學生的表達和批判性思維能力.在總結反思過程中形成創造性思維.

1.3 學生分組及任務布置

將班級36名學生按照互補型分為6組，以小組為單位，各組根據項目提出的問題進行探究和討論.

課前教師安排學生進行自主學習：（1）什么是圓錐曲線？（2）圓錐曲線產生的背景.（3）查閱資料舉出圓錐曲線形成及發展過程中做出貢獻的科學家.（4）用橡皮泥做成圓錐形，用刀片從不同角度切割，觀察產生的截面形狀.（5）觀察橢圓在日常生活中的應用.（6）準備課堂畫圖工具.

本節重點是經歷深度探究的學習過程；難點是幾何問題代數化并證明的過程；解決的問題是歸納“橢圓的定義”.

2 教學過程（項目實施）

2.1 情境創設，引出課題

播放視頻：“嫦娥五號探月運行軌跡”.

通過真實的情境吸引學生，促使學生領悟學科的應用價值.激發學生的學習興趣，為提出項目化教學作鋪墊.教師通過重新整合教材，圍繞項目目標設計真實的問題背景，實現學習與生活的有效鏈接.

學生感興趣的時刻，教師提出問題：

（1）你能談談橢圓產生的背景嗎？

（2）舉例說明橢圓在人類文明進步中的貢獻.

（3）舉出幾個橢圓在日常生活應用的例子.

通過問題串，檢查學生自主學習的情況，問題設計由易到難，由淺入深.走進數學文化，讓學生喜歡數學，熱愛學習，養成深度學習的習慣.

從希臘神諭提出的問題到人類揭開太陽系的秘密，阿波羅尼斯依據同一個（正的或斜的）圓錐的截面來研究圓錐曲線，用純幾何的方法推導出橢圓的基本性質.開普勒發現火星（所有行星）的軌道是一個焦點在太陽上的橢圓，提出行星運動三大定律，打開了科學的曙光讓學生領悟到人類好奇心的價值所在.“愛好”竟然推動了人類科技的巨大進步，正是目前育人方式改革培養學生創造性思維的初衷.

各小組積極回答，說明他們課下查閱過相關資料.考查了學生查閱文獻和搜集信息的能力.

教師追問：

（1）既然橢圓在人類文明進步中發揮著重要作用，又廣泛應用于日常生活，那么橢圓具備怎樣的幾何特征呢？

（2）我們如何利用橢圓的幾何特征建立其數學模型？如何研究橢圓的幾何性質？

承上啟下，提出探究項目.

2.2 啟發引導，合作探究

探究1用一條（無彈性）的細繩作圖，能否畫出橢圓？如果可以，看看各小組成員畫出橢圓的形狀有無差異？

利用開放情境，借助自制工具，引導學生思考，讓學生經歷觀察、想象、操作、推理證明與獲得結論的過程.鍛煉學生的動手能力，培養學生的直觀想象、邏輯推理及解決實際問題的能力.

各小組把自己畫出的圖形舉起進行展示，他們有不同的發現.如：“為啥我們畫出的橢圓形狀不一樣，但又感覺相像.”“兩個固定點間距不同，畫出的圖形不同.”“畫圖時必須拉緊繩子，保證套在繩子上的鉛筆與兩個固定點的距離始終是繩子的長度.”“我們發現如果把繩子兩端固定在一個點上，畫出的是一個圓；如果把兩個固定點距離逐漸拉開，畫出的圖形越來越扁.”……

教師提出問題，引導學生完成知識建構.

（1）觀察作出的圖形，怎樣利用所學知識建立坐標系，把畫出的圖形呈現在坐標系內？

（2）如何將自己所畫的幾何形狀轉化為數學模型？

（3）你能根據點的運動軌跡歸納出橢圓的幾何定義嗎？

（4）你能根據數學模型推導出橢圓的標準方程嗎？

（5）你能利用直線、圓的方程類比列出橢圓的幾何性質嗎？

教師圍繞學習目標設置問題串，為學生提供或創設具有一定深度和難度的問題，層層推進，引導學生向深而行.學生通過相互交流，激活思維，協同合作，解決自主學習中的疑難問題，在完成知識建構的同時，感受數形結合的思想方法，感悟坐標法的應用價值，培養創造性思維和關鍵能力.

2.3 深度探究，創新拓展

探究2平面內到一個定點和到一條定直線（定點不在直線上）的距離之比為一個定值的點的軌跡是否為橢圓？

探究3平面內一動點P（x，y）與定點A1（-a，0），A2（a，0）連線的斜率乘積為-b2a2（agt;bgt;0）的軌跡是否為橢圓？

2.4 推理論證，展示評價

每組選派代表展示自己的研究成果，并接受其他小組和教師的提問，進行過程性評價和表現性評價.

以第1組和第6組為例，第1組展示橢圓定義圖片，如圖1：

第6組展示橢圓標準方程和幾何性質圖片，如圖2：

展示發現，6組學生都準確回答了橢圓定義、橢圓的標準方程和簡單幾何性質.

展示過程中第3組向第5組提問：你們畫的橢圓是由圓通過拉伸或壓縮得到的嗎？

第5組同學舉例說明：如圓x2+y2=4，如果取x=x0，y=12y0利用代數法就得到了橢圓x2+y24=1.

為了培養學生直觀想象素養，教師采用電子白板畫圖，從圓x2+y2=4上任一點P向x軸作垂線PD，垂足為D，當點P在圓上運動時，讓學生判斷線段PD的中點M產生的軌跡是否為橢圓.然后用代數方法轉化驗證軌跡為橢圓.

另一組同學補充到：PD上的動點離垂足越近作出的橢圓越扁平，即離心率e＝ca越小，且0＜e＜1.通過電子白板畫圖驗證，果然正確.

第2組展示圖片（如圖3），得出結論：平面內到一個定點和到一條定直線（定點不在直線上）的距離之比為一個定值的點的軌跡是橢圓.

第1組提出了疑問：如果定直線在y軸左側是否成立？然后，組員通過假設，列方程化簡計算后仍能得到x2a2+y2b2=1，說明是成立的.

教師打開白板，進行演示補充、驗證（結論正確）、總結.平面內到一個定點F和到一條定直線l（點F不在l上）的距離之比為e（0＜e＜1）的點的軌跡是橢圓.我們把｜PF｜d=e叫做橢圓的第二定義.定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線，常數是橢圓的離心率，橢圓上的一點到其焦點的距離為焦半徑.經過計算可得焦半徑公式｜PF｜=a±ex，該公式不僅方便求離心率，更是高中數學中重要的二級結論.

第4組展示：平面內一動點P（x，y）與定點A1（-a，0），A2（a，0）連線的斜率乘積為-b2a2的軌跡是橢圓.

他們首先通過圓的直徑對應的兩弦夾角為90°，也就是說圓內兩弦所在直線斜率乘積為-1進行猜想：橢圓上一點與其左、右頂點連線的斜率乘積為定值.然后利用逆向思維，在橢圓上作任一點P（x，y）（P異于A，B），連接PA，PB，取PA中點M，連接OM，由三角形中位線平行于底邊，得到kOM=kPB，，經過代數運算，得到kPA5kPB=-b2a2=e2-1.

教師讓他們展示論證過程.結果如圖4所示.

由此得到橢圓的第三定義：平面上一動點P（x，y）與定點A1（-a，0），A2（a，0）連線的斜率乘積為-b2a2（agt;bgt;0）的軌跡為橢圓.請同學們課后采用信息技術繼續探究點的軌跡，完成課本第117頁思考提出的問題.

通過展示，發現學生的疑點，鼓勵學生積極參與討論、展示、評價，注重學生思維過程的引導，做好組織和調控.培養學生的批判性、創造性思維能力，落實邏輯推理、直觀想象、數學運算等學科核心素養，實現深度學習目標.

2.5 新知應用，鞏固訓練

例1如圖5，設A，B兩點的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-49，求點M的軌跡方程.

巡視發現學生求出的方程正確，即x225+9y2100=1，但有學生忽略了x≠±5.

例2已知橢圓x24+y29=1，一組平行直線的斜率是32.（1）這組直線何時與橢圓相交（有兩個公共點）？（2）當它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.

（1）解：設一組平行直線的方程為y=32x+m，代入橢圓方程，可得9x2+494x2+3mx+m2=36，即18x2+12mx+4m2-36=0.

由判別式大于0，可得144m2-72（4m2-36）gt;0，解得-32lt;mlt;32，即這組平行直線的縱截距在區間（-32，32）內時，直線與橢圓相交.

（2）證明：當直線與橢圓相交時，設交點坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-23m，故線段AB的中點橫坐標為-13m.

代入直線方程，得中點的縱坐標為12m.

由x=-13m，

y=12m，消去m，可得y=-32x.

所以這些直線被橢圓截得的線段的中點在直線y=-32x上.

由板書可發現，6個小組思路清晰，解答正確.

教學說明：促進學生深度學習，提高學生解決復雜問題的能力.有助于培養學生的創造性思維.

2.6 總結反思，深化認知

本節從發現、猜想、驗證到拓展，實現幾何與代數之間的互相轉換，不僅完成了項目目標，還培養了學生數形結合、類比、轉化化歸等數學思想，使其由學會數學向會學數學邁進.探究不僅在課堂發生，處處都可進行.體現了學科育人價值，為高中育人方式改革提供了參考，為拔尖創新人才的自主培養提供了方向.

各組成員結合自己的成果、教師和同學的評價進行總結反思，完善創造性性格，發展創新性思維.基于小組合作探究中小組成員的探究過程和狀態，以及課堂提問與展示、習題檢測，教師可從不同維度評價教學效果.學生講述、課后抽查，有利于進行課程設計的形成性評價和終結性評價[1].本項目的實施，激發了學生的學習興趣，堅定了學生向深而學的信心.我們會繼續努力，優化設計，更好地讓知識回歸本質，促進學生向著拔尖創新人才發展，使成果更具操作性和推廣價值.

2.7 課后練習反饋

本節課后作業是課本第115頁習題3.1.全班36人，100%完成，準確率達到94.4%，充分說明本節課的教學效果是很好的.

3 結語

習近平總書記指出，從教育大國到教育強國是一個系統性躍升和質變，必須以改革創新為動力[2].教學中教師營造良好氛圍，推進普通高中育人方式的改革.作為基層教師要統一思想，形成合力，充分發揮自己的能動性、創造性，實現學科育人與實踐育人，為拔尖創新人才培養做出貢獻.

參考文獻：

[1]田鮮麗.中學數學教師的專業發展現狀及提升策略——以指導青年教師的教學設計為例[J].中學數學教學參考，2022（22）：7074.

[2]懷進鵬.深化教育綜合改革[N].人民日報，20240821.