條件概率與全概率公式整體教學(xué)案例

摘要：本文中重點(diǎn)給出了本節(jié)課七個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)過(guò)程，以抽簽的公平性作為情境，引出了條件概率的概念，然后再回歸問(wèn)題情境，教師通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，學(xué)生積極思考探索，親身經(jīng)歷從特殊到一般、從直觀到抽象獲得條件概率概念的形成過(guò)程．最后通過(guò)一道例題鞏固解決條件概率的兩種方法．

關(guān)鍵詞：抽簽公平；條件概率；全概率公式

“條件概率與全概率公式”是在學(xué)習(xí)了人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第十章“概率”的基礎(chǔ)上，于選擇性必修第三冊(cè)第七章“隨機(jī)變量及其分布”進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.作為第七章的開(kāi)章內(nèi)容，全概率公式是在高中數(shù)學(xué)課程中首次引入.引入了條件概率后就順其自然牽出了全概率公式和貝葉斯（Thomas Bayes）公式，形成了完整的初等概率論，豐富了概率的運(yùn)算公式.作為執(zhí)教者要認(rèn)真吃透教材，領(lǐng)悟編寫(xiě)意圖，規(guī)劃章節(jié)教學(xué)［1］.

1 教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一復(fù)習(xí)回顧，引發(fā)思考

回顧1：事件的概率及等可能事件的概率公式.

回顧2：同一試驗(yàn)中兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生的概率問(wèn)題及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式P（AB）=P（A）P（B）.

思考1抽簽是公平的，但為什么是公平的呢？第一個(gè)抽簽人提前公布結(jié)果，對(duì)第二個(gè)人有沒(méi)有影響呢［1］？

師：同學(xué)們，我們?cè)诒匦薜诙?cè)的概率學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道抽簽的先后順序不影響抽簽的公平性.5個(gè)簽中有1個(gè)中獎(jiǎng)簽，則每個(gè)人的中獎(jiǎng)率是15;5個(gè)簽中有2個(gè)中獎(jiǎng)簽，則每個(gè)人的中獎(jiǎng)率是25，第一個(gè)人抽簽中獎(jiǎng)概率為25=C12C15，大家知道第二個(gè)人抽簽的中獎(jiǎng)率25是如何求的嗎？大家思考一下.

生1：C12C15×C11C14+C13C15×C12C14=25×14+35×24=25.

師：能解釋一下每個(gè)運(yùn)算的意義嗎？

生1：第一個(gè)人中獎(jiǎng)，第二個(gè)人在第一個(gè)人已經(jīng)中獎(jiǎng)的條件下中獎(jiǎng)，或第一個(gè)人沒(méi)有中獎(jiǎng)，第二個(gè)人在第一個(gè)人沒(méi)有中獎(jiǎng)的條件下中獎(jiǎng).

師：你的解答過(guò)程對(duì)第一個(gè)抽簽人的中簽情況進(jìn)行了分類，也就是說(shuō)第二個(gè)抽簽人在抽簽時(shí)是不知道第一個(gè)抽簽人的結(jié)果的.如果第一個(gè)抽簽人提前公布了自己的抽簽結(jié)果，那第二個(gè)抽簽人的中簽概率還是25嗎？（教室里笑聲不斷）

師：從大家的笑聲里可以聽(tīng)出，不是25了，那會(huì)是多少呢？（學(xué)生搶著答道是14或24）

師：生2你來(lái)具體說(shuō)說(shuō).

生2：如果第一個(gè)人沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)簽，第二個(gè)人的中簽概率就是24;如果第一個(gè)抽到中獎(jiǎng)簽，第二個(gè)人的中簽概率就是14.

師：我把你的話換成“在知道第一個(gè)人沒(méi)有中獎(jiǎng)的條件下，第二個(gè)人的中獎(jiǎng)概率是24；在知道第一個(gè)人中獎(jiǎng)的條件下，第二個(gè)人中獎(jiǎng)的概率是14.大家說(shuō)可不可以？”（可以，意思是一樣的），很好，說(shuō)明抽簽的公平性是在第一個(gè)人抽簽結(jié)果未知的情況下的概率.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生能從生活中感知，第一個(gè)抽簽人提前公布結(jié)果，對(duì)第二個(gè)人有影響.教師引導(dǎo)學(xué)生研究第二個(gè)抽簽人的中簽概率時(shí)，需要考慮第一個(gè)抽簽人的兩種抽簽結(jié)果.

思考2在五個(gè)簽中有兩個(gè)中獎(jiǎng)簽的的抽簽中，第一個(gè)人抽到中獎(jiǎng)簽，第二個(gè)人也抽到中獎(jiǎng)簽的概率是不是25×25=425？為什么？

生3：根據(jù)剛才的生1的計(jì)算，應(yīng)該是C12C15×C11C14=25×14=110，425肯定是錯(cuò)的，但我不知道錯(cuò)因.

生4：110是對(duì)的，是不是說(shuō)明兩個(gè)人中獎(jiǎng)不是相互獨(dú)立事件？

師：很好，大家的回答充分說(shuō)明了大家在積極思考，生4的回答是正確的.那么如何解決同一試驗(yàn)中兩個(gè)不相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率呢？接下來(lái)開(kāi)啟今天的學(xué)習(xí).在剛才的思考與研究基礎(chǔ)上，我們繼續(xù)看下面兩個(gè)問(wèn)題.

環(huán)節(jié)二直觀問(wèn)題，引出概念

問(wèn)題1某個(gè)班級(jí)有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如表1所示.

在班級(jí)里隨機(jī)選擇一人做代表.

（1）選到男生的概率是多少？

（2）如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多少？

問(wèn)題2假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭.隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，那么

（1）該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？

（2）如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率又是多大？

生5：?jiǎn)栴}1第一問(wèn)是2545=59，第二問(wèn)是1630=815.

師：大家說(shuō)他的答案對(duì)嗎？（對(duì)的！）我們知道概率是事件的概率，那該如何表示以上兩個(gè)事件呢？顯然第一問(wèn)很簡(jiǎn)單，我們直接用B=“選到男生”，則n（B）=25，n（Ω）=45，所以P（B）=n（B）n（Ω）=2545=59.第二問(wèn)需要先有事件A=“選到團(tuán)員”，“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率用P（B|A）表示，則16是既是團(tuán)員又是男生的數(shù)量，即事件A與事件B同時(shí)發(fā)生包含的樣本點(diǎn)數(shù)，而30是所有團(tuán)員的樣本點(diǎn)數(shù).所以P（B|A）=n（AB）n（A）=1630=815.

師：仔細(xì)觀察，第一問(wèn)選到男生的概率是在全體學(xué)生的樣本空間下的概率，第二問(wèn)選到男生的概率是在全體團(tuán)員的樣本空間下選到男生團(tuán)員的概率.那么請(qǐng)大家按照我們剛才的思維方式通過(guò)事件的形式解決問(wèn)題2.

生6：設(shè)事件A=“選擇的家庭有女孩”，事件B=“選擇的家庭中有兩個(gè)女孩”，則

（1）P（B）=n（B）n（Ω）=14；

（2）P（B|A）=n（AB）n（A）=13.

師：很好，表達(dá)得非常清楚.根據(jù)以上兩個(gè)問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)求解事件的概率首先需要認(rèn)清是在什么條件下的概率，就像我們平常說(shuō)的水沸騰的溫度是100℃一樣，默認(rèn)是在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下.所以，我們可以把P（B）寫(xiě)成P（B|Ω）的形式.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖表的直觀性積極思考并大膽說(shuō)出自己的見(jiàn)解，為引出條件概率的概念做準(zhǔn)備，從而發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)三抽象建構(gòu)，形成概念

思考3在必修第二冊(cè)概率部分，我們從集合論的角度用Venn圖（如圖1）的形式來(lái)表示事件的關(guān)系，那么可不可以Venn圖來(lái)理解P（B/A）呢？

生7：從Venn圖中可以看出，事件A，B是同一試驗(yàn)下的兩個(gè)事件，P（B）是在Ω條件下的概率，而P（B|A）是在事件A的條件下AB同時(shí)發(fā)生的概率.

師：很好，你表達(dá)得很準(zhǔn)確.那么我們是不是可以把P（B|A）用樣本空間來(lái)表示呢？

生7：可以，應(yīng)該是P（B|A）=n（AB）n（A）.

師：能繼續(xù)對(duì)上式進(jìn)行代數(shù)處理得到P（B）與P（AB）的運(yùn)算關(guān)系嗎？（學(xué)生思考討論中）

生7：這是一個(gè)分式，那是不是可以分子分母同時(shí)除以n（Ω），即

P（B|A）=n（AB）n（A）=n（AB）n（Ω）n（A）n（Ω）=P（AB）P（A）.

師：很好！從代數(shù)式的角度出發(fā)，這樣做是合理的，同時(shí)得到的分子和分母在概率中也是有意義的.

一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）gt;0，我們稱

P（B|A）=P（AB）P（A）

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.

也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率與事件A發(fā)生的概率求在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生親身經(jīng)歷從特殊到一般、從直觀到抽象獲得條件概率概念的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

思考4當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，P（AB）=P（A）P（B），那一般情況呢？

生8：根據(jù)條件概率公式可以得到P（AB）=P（A）P（B|A），也就是說(shuō)，事件A，B同時(shí)發(fā)生即事件A發(fā)生，在A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生.

師：如何解釋當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，P（AB）=P（A）P（B）？

生9：當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，事件A發(fā)生與否不影響事件B的發(fā)生的概率，所以P（B|A）=P（B）.

師：對(duì)任意兩個(gè)事件A，B若P（A）gt;0，則

P（AB）=P（A）P（B|A），

我們稱上式為概率的乘法公式.

大家能用概率的乘法公式解釋思考2的問(wèn)題嗎？

生：P（AB）=P（A）P（B|A）=25×14=110.

師：很好！通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們從會(huì)計(jì)算概率到會(huì)從條件概率的角度計(jì)算概率.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)代數(shù)式的多角度處理與運(yùn)算，尋找代數(shù)式運(yùn)算背后的問(wèn)題本質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

環(huán)節(jié)四例題練習(xí)，加深理解

例題在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.求：

（1）第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；

（2）在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

師：我們可從兩個(gè)角度解決該問(wèn)題，一是從樣本空間角度來(lái)解決，二是從條件概率公式角度來(lái)解決.

解法1：設(shè)A=“第1次抽到代數(shù)題”，B=“第2次抽到幾何題”，則“第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.

（1）P（AB）=n（AB）n（Ω）=C13C12C15C14=310；

（2）P（B|A）=P（AB）P（A）=31035=12.

解法2：根據(jù)條件概率的直觀意義，顯然P（B|A）=12，所以P（AB）=P（A）P（B|A）=35×12=310.

師：在實(shí)際問(wèn)題中，我們可以根據(jù)具體問(wèn)題，選擇從直觀意義求條件概率還是選擇從公式角度求條件概率.

環(huán)節(jié)五針對(duì)練習(xí)，鞏固吸收

練習(xí)：教材第 48頁(yè)練習(xí)3.

環(huán)節(jié)六歸納小結(jié)，形成經(jīng)驗(yàn)

本節(jié)知識(shí)歸納小結(jié)如圖2所示.

條件概率條件概率的定義

條件概率公式與概率乘法公式

環(huán)節(jié)七布置作業(yè)，拓展延伸

教材第52頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第1，2題.

2 教學(xué)反思

本節(jié)內(nèi)容是人教A版（2019）數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第七章“隨機(jī)變量及其分布”第一節(jié)“條件概率與全概率公式”的起始課.這部分內(nèi)容是在必修第二冊(cè)“概率”基礎(chǔ)上的進(jìn)一步深入和擴(kuò)展，是在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上構(gòu)建新知.本節(jié)課重在理解條件概率的概念，會(huì)求解一些簡(jiǎn)單條件概率問(wèn)題，能區(qū)分積事件的概率與概率的乘法公式.為了能讓學(xué)生更好地理解概念，筆者首先以抽簽的公平性作為情境，帶領(lǐng)學(xué)生弄清楚事件A發(fā)生，事件B發(fā)生，事件A，B都發(fā)生和在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率的不同，引出了條件概率的概念和研究的必要性.然后再回歸問(wèn)題情境，帶領(lǐng)學(xué)生探求解決條件概率的方法，從而得到計(jì)算條件概率的公式.最后通過(guò)一道例題鞏固解決條件概率的兩種方法.這一過(guò)程體現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的思維過(guò)程.另外，在教學(xué)的進(jìn)程中，筆者通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性，促使他們主動(dòng)思考、探究問(wèn)題的解決方法.

合理利用教材，以教材為教學(xué)的主要依據(jù)，多深入研究教材，開(kāi)闊自己的視角和思路，多挖掘教材以外可以延伸的知識(shí)，這樣才能對(duì)教學(xué)有清晰的把控.多挖掘定義和概念的內(nèi)涵與本質(zhì)，更加注重內(nèi)容結(jié)構(gòu)的分析，關(guān)注條件概率思維形成過(guò)程的培養(yǎng)，多去調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，盡量使他們的思維處于活躍狀態(tài)，注重對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)思考和探究精神.

參考文獻(xiàn)：

[1]廖明艷，江中勤，李紅慶.吃透教材、領(lǐng)悟意圖、設(shè)計(jì)教學(xué)——條件概率與全概率公式小節(jié)教學(xué)案例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（13）：3133，39.