“做實驗”培養學生數學抽象素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.主要包括：從數量與數量的關系、圖形與圖形的關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征.在平時的數學教學中，不少學生對概念認知不清晰，理解不深刻，應用解決問題容易出現偏差.數學抽象作為數學學科核心素養之一，在課堂教學中應通過做實驗培養學生的主動性，探究數學概念形成過程的原理，加深對數學概念的理解[1].本文中結合具體教學案例進行探究.

1 案例背景

課下和學生交流討論問題時，問了學生這樣一個問題：“在學習過程中，你們的數學老師帶著你們做過哪些實驗來幫助你們認識數學概念？”

有幾位學生不假思索，脫口而出：

生甲：在八年級上冊學習三角形時，我們數學老師讓我們做了長方形、正方形、和三角形模型，然后讓我們拉動長方形、正方形、三角形，我們的直觀印象是長方形、正方形很容易被拉變形了，而三角形沒有變形，這加深了我對三角形穩定性的認識.

生乙：在高中學習幾何體的體積時，老師用一個圓柱形狀的瓶子裝了一瓶沙子，讓我們用紙做一個與圓柱同底等高的圓錐，然后用圓錐裝圓柱形狀瓶子里的沙子，大概裝了三次才裝完，讓我們加深了對圓錐體積公式V=13Sh的認識.

生丙：上勾股定理那一節時，老師讓我們用小木棍拼三角形，三邊長度分別為（3，4，5）或（6，8，10）或（5，12，13）.再用量角器去測量角度，得到直角三角形的三邊關系，即a2+b2=c2（勾股定理），加深了對勾股定理的認識.

筆者從交流同學的眼中看到了閃亮閃亮的快樂.

啟示：在數學教學中，教師要多鼓勵學生進行主動探索與創新.通過實驗，學生能夠親自體驗，去實踐，從而深入地理解數學原理和概念，相較于傳統的死記硬背，無疑更加有效[2].皮亞杰的認識與發展理論指出，實驗教學有助于學生通過自身經驗來探索和理解世界，從而促進他們的認識與發展.瑪麗·蒙臺梭利教學法通過實際操作和感官體驗來促進學生的自主學習，從而提升對原理概念的認識.

當然，也有不少學生說沒做過實驗，筆者對比了一下做過實驗和沒做過實驗的學生，發現做過實驗的學生的求知欲、主動性都比較強.杜威強調實驗教學的重要性，他提倡“從做中學”的理念，實驗教學能夠激發學生的學習興趣和積極性.

雙曲線定義的教學可用“做實驗”來探索雙曲線形成的原理，培養學生的動手能力和創新精神，促進數學抽象素養的培養.

2 案例呈現

活動1：動手實驗，主動探究.

問題我們知道，平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．設M是橢圓上的動點，則需滿足|MF1|＋|MF2|=2a（2agt;|F1F2|）.

差是和的逆運算，那么，平面內與兩個定點F1，F2距離的差等于常數的點的軌跡是什么呢？

為了研究方便，設動點為M，則問題即為研究滿足“|MF1|－|MF2|=常數C”的軌跡問題．

由于學生事先有預習，因此有的學生急著給出答案——雙曲線．果真是雙曲線嗎？一石激起千層浪！

學生當場利用GGB作圖.

生1：選擇C=0，|PA|=|PB|，軌跡是AB的中垂線.

師：很好，考慮特值是我們平時解決問題中必不可少的一個環節.

生2：我選擇Cgt;0，對于|MF1|－|MF2|=C（Cgt;0），我聯想到圓的性質，圓上任一點到圓心的距離相等，可構造兩相交圓．當點P在以A，B為端點的兩條射線上移動時形成雙曲線（如圖1）.圖1作圖過程其中F1，F2為平面內兩定點，|MF1|=|PA|，|MF2|=|PB|，|AB|＜|F1F2|.掃碼可看圖1的作圖過程.

師：很漂亮，美麗的雙曲線.

作圖過程生3：老師我作出的軌跡是分別以F1，F2為端點的兩條射線（如圖2），為什么呀？掃碼看圖2的作圖過程.

師：你看看|MF1|－|MF2|=C（Cgt;0）的C是否等于|F1F2|？即|F1F2|=|AB|.

作圖過程生3：的確是的，我明白了.

生4：老師我沒有作出軌跡（如圖3），為什么啊？掃碼看圖3的作圖過程.

師：哪位同學給我們解釋一下？

生5：我們所作的軌跡是兩圓的交點作為動點形成的，而|MF1|－|MF2|=C（Cgt;0）的C大于|F1F2|，即|AB|gt;|F1F2|，也就是兩圓半徑差的絕對值小于圓心距，兩圓是內含關系，所以沒有交點，因而不能形成軌跡.

師：太棒了！請同學們為他鼓掌.這就是數學實驗的魅力，探究原理，樂在其中，我們不僅知道了原理，還溫習了兩圓的位置關系. 還有其他解釋嗎？

生6：還可以用三角形兩邊之差小于第三邊來解釋.

課堂氣氛熱鬧非凡，但雙曲線定義還沒有精準形成，教學中趁熱打鐵，完善條件，抽象概念.

教學說明：從“差是和的逆運算”，引導學生思考問題，過渡自然，引起學生對實數C的討論（C=0，Cgt;0，C＜0），滲透分類討論思想．學生在實驗探究中發現問題，逐步形成概念.而傳統的中學課堂教學往往以應試為主，缺乏對學生探究能力和創新思維的培養[3].

活動2：完善條件，抽象概念.

師：C小于零怎么考慮？

生7：老師，其實生2在演示已經展示了，當點P在以A為端點的射線上時，|PA|－|PB|就是小于零.我們可以用||PA|－|PB||=|AB|來統一，無論點P在以A為端點的射線上，還是在以B為端點的射線上.

師：很好！結合實驗的條件，那么雙曲線的定義如何表述？

生8：通過“做實驗”我們獲得雙曲線定義——把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線．其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．雙曲線上的動點M滿足||MF1|－|MF2||=2a（0＜2a＜|F1F2|）．

師：太棒了！為你們鼓掌.這節課同學們通過動手操作，探究雙曲線形成的原理，加深了對雙曲線概念的認識和理解，得到了自己的作品，體驗了主動學習的樂趣.在雙曲線的定義中要注意兩點，即“距離的差的絕對值”與“非零常數小于|F1F2|”．

教學說明：軟件作圖，可以讓學生直觀感受雙曲線定義的形成，深刻理解概念的形成過程，利用兩圓的位置關系構架距離差為定值，從而使學生在實驗的過程中感受雙曲線是由怎樣的點如何形成的，避免出現“知其然，不知其所以然”的局面．這種課堂，師生共情，學生積極參與，數學抽象素養在實驗探究過程中得以培養和提升.

3 案例反思

3.1 實驗操作探索，實現數學概念的可視化

對于數學概念的學習，一直以來很多學生都覺得乏味枯燥，學習積極主動性不強.在數學課堂實驗中，學生利用軟件工具，親自動手，不僅活躍了課堂氣氛，還增強了學習的主動性、趣味性和實演的直觀性，也使數學概念變得可視、清晰.在實驗的過程中，感受概念滿足的條件，衍生拓展概念生成的過程及形成的原理，不僅培養了學生學習的主動性，同時也提高了課堂的有效性，促進數學抽象的培養[4].

3.2 師生互動合作，實現學生自主探究學習

“天生我材必有用”，每個學生都有自己的閃光點，在數學課堂上師生合作，做實驗進行學習研究，教師既能及時發現并糾正學生在學習過程中出現的一些問題，同時也能使師生的思維不斷碰撞，促使學生在碰撞中感受概念的形成過程，為學生搭建了一個自主、積極、敢于實驗、大膽創新的學習平臺.師生合作是課堂教學實驗活動，不僅培養了學生主動合作的能力和意識，而且提升了學生的學習能力和數學素養，發展了學生主動合作、主動參與的能力，使每位學生都有事做，提升了學生的專注度，從而自主參與到做實驗的探究性學習中.

“做實驗”引導學生通過親身體驗，感悟數學概念形成、抽象的過程.通過“做實驗”，學生既加深了對研究對象的認知，同時也體會到概念、公式、法則、性質等的發現歸納過程，淬煉了不畏困難的意志品質，養成了發現問題、研究問題與解決問題的良好學習習慣.“做實驗”使學生成為學習的主體，數學知識成為學生的勞動作品，有力地促進學生整體素養的培養.

3.3" 教師引導解惑，實現學科素養培育

在“做實驗”的過程，即“問題—實驗探究—討論交流—整合提煉—總結”中，教師既要做好學生學習的陪跑者，又要做好學生學習的引路人.在實驗設計方面要做到實驗教學目的明確，實驗步驟清晰易懂，操作有利于學生的自主探究，多關注學生的參與度和積極性，及時解答學生的疑惑，引導他們深入思考，發揮學生在學習中的主體作用，培養他們的創新思維和實踐能力，從而在”做實驗“中實現學科素養的培育.為黨育人，為國育才，實現中華民族偉大復興不能靠口號喊出來，需要一線教師在課堂奮力實踐，培育忠于黨，熱愛祖國的新時代奮斗者.

參考文獻：

[1]勞小明.核心素養理念引領下的高中數學概念教學新探[J].數學學習與研究，2019（11）：67.

[2]馮偉貞.高中數學實驗活動選編[M].北京：科學出版社，2017.

[3]孫彥.讓“數學實驗”走進中學課堂——以對一道全國高中數學聯賽試題的再推廣為例[J].數學通報，2018（3）：4143，56.

[4]程花.通過數學實驗培養學生數學抽象素養——以蘇科版“數學實驗室”欄目素材為例[J].數學通報，2021（4）：3537，66.