探析分段函數(shù)單調(diào)性

摘要：考查分段函數(shù)單調(diào)性的試題在高考中多次出現(xiàn)，但學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)，卻經(jīng)常失分.本文中基于函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，利用相關(guān)圖象，讓學(xué)生能夠深刻理解分段函數(shù)的單調(diào)性，提高解決該類問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；單調(diào)性；數(shù)形結(jié)合

1 呈現(xiàn)問(wèn)題

已知函數(shù)f（x）=3x-1，xlt;1，

ax，x≥1，其中a為實(shí)數(shù)，若f（x）在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2 思考問(wèn)題

常見(jiàn)解答：當(dāng)x≥1時(shí)，若f（x）=ax單調(diào)遞增，則agt;0；當(dāng)xlt;1時(shí)，f（x）=3x-1單調(diào)遞增，從而可得agt;0.

請(qǐng)同學(xué)們思考一下，這種解答對(duì)嗎？

這種解答是錯(cuò)誤的，以上解法只能說(shuō)明函數(shù)f（x）在（-∞，1），［1，+∞）上分別單調(diào)遞增，但并不能保證函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增.這種錯(cuò)誤也是同學(xué)們?nèi)菀追傅?那么怎么來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？下面我們一起來(lái)探究.

3 探究問(wèn)題

3.1 分段函數(shù)是增函數(shù)

（1）若函數(shù)f（x）=g（x），xlt;a，

m（x），x≥a，其中a為實(shí)數(shù)，f（x）在R上單調(diào)遞增，請(qǐng)問(wèn)下面哪個(gè)圖形符合？

根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增的定義：對(duì)于某個(gè)區(qū)間上自變量的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1lt;x2時(shí)，都有f（x1）lt;f（x2），則函數(shù)f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增.很顯然，對(duì)于圖2，有g(shù)（x1）gt;m（x2），不滿足定義；圖1符合.

結(jié)論1：對(duì)于分段函數(shù)f（x）=g（x），xlt;a，

m（x），x≥a，若其是定義域上的增函數(shù)，則需要滿足3個(gè)條件，即g（x）單調(diào)遞增，

m（x）單調(diào)遞增，

g（a）≤f（a）.

3.2 分段函數(shù)是減函數(shù)

（2）有函數(shù)f（x）=g（x），xlt;a

m（x），x≥a，其中a為實(shí)數(shù)，f（x）在R上單調(diào)遞減，請(qǐng)問(wèn)下面哪個(gè)圖形符合？

根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減的定義：對(duì)于某個(gè)區(qū)間上自變量的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1lt;x2時(shí)，都有f（x1）gt;f（x2），則函數(shù)f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.很顯然，對(duì)于圖4，有g(shù)（x1）lt;m（x2），不滿足定義；圖3符合.

結(jié)論2：對(duì)于分段函數(shù)f（x）=g（x），xlt;a，

m（x），x≥a，若其是定義域上的減函數(shù)，則需要滿足3個(gè)條件，即g（x）單調(diào)遞減，

m（x）單調(diào)遞減，

g（a）≥m（a）.

以上得到的兩個(gè)結(jié)論，不需要死記硬背，圖象簡(jiǎn)單一畫(huà)，即一目了然，便于理解.

4 解決問(wèn)題

我們現(xiàn)在回到文章開(kāi)始的問(wèn)題：已知函數(shù)f（x）=3x-1，xlt;1，

ax，x≥1，其中a為實(shí)數(shù)，f（x）在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：首先簡(jiǎn)單作出函數(shù)圖象，如圖5，然后看圖寫(xiě)話即可.

解：作出f（x）的大致圖象，如圖5.

①當(dāng)x≥1時(shí)，若m（x）=ax單調(diào)遞增，則agt;0.

②當(dāng)xlt;1時(shí)，g（x）=3x-1單調(diào)遞增.

③根據(jù)g（1）≤m（1），可得3-1≤a，即a≥2.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2，+∞）.

5 高考真題

題1（2024年全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅰ卷第6題）已知函數(shù)f（x）=-x2-2ax-a，xlt;0，

ex+ln（x+1），x≥0在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（-∞，0］B.［-1，0］

C.［-1，1］D.［0，+∞）

解：要滿足f（x）在R上單調(diào)遞增，需分段討論.

①當(dāng)x≥0時(shí)，y=ex和y=ln（x+1）均單調(diào)遞增，那么f（x）=ex+ln（x+1）單調(diào)遞增.

②當(dāng)xlt;0時(shí)，由y=-x2-2ax-a的圖象（如圖6）知，要使其在（-∞，0）上單調(diào)遞增，則其對(duì)稱軸x=--2a2×（-1）≥0，則a≤0.

③由-a≤e0+ln 1，解得a≥-1.

綜上所述，a的范圍是［-1，0］.故選：B.

題2（2006年北京卷理科第5題）已知函數(shù)f（x）=（3a-1）x+4a，xlt;1，

logax，x≥1是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）.

A.（0，1）B.0，13

C.17，13D.17，1

解：依題意，作出示意圖7.

①當(dāng)x≥1時(shí)，若g（x）=logax單調(diào)遞減，則易知0lt;alt;1.

②當(dāng)xlt;1時(shí)，若h（x）=（3a-1）x+4a單調(diào)遞減，則易知3a-1lt;0，解得alt;13.

③由h（1）≥g（1），得7a-1≥0，則a≥17.

綜上所述，a∈17，13.故選：C.

題3（2016年天津卷理科第8題）已知函數(shù)f（x）=x2+（4a-3）x+3a，xlt;0，

loga（x+1）+1，x≥0（agt;0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2-x恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.0，23B.23，34

C.13，23∪34D.13，23∪34

解：由f（x）在R上單調(diào)遞減，有

0lt;alt;1，

-4a-32≥0，

02+（4a-3）×0+3a≥loga（0+1）+1.

解得13≤a≤34.

易知，在［0，+∞）上，|f（x）|=2-x有且只有一個(gè)解，則在（-∞，0）上，|f（x）|=2-x同樣有且只有一個(gè)解.

當(dāng)3agt;2，即agt;23時(shí)，令x2+（4a-3）x+3a=2-x，即x2+（4a-2）x+3a-2=0，由Δ=（4a-2）2-4（3a-2）=0，解得a=1或a=34，其中a=1舍去.

當(dāng)1≤3a≤2，即13≤a≤23時(shí)，由圖象知符合題意.

故選：C.

6 變式提升

變式1若函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

變式2已知函數(shù)f（x）=（a-2）x，x≥2，

-18x-12，xlt;2，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2，都有f（x1）-f（x2）x1-x2lt;0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.

A.（-∞，2）B.-∞，138

C.（-∞，2］D.-∞，138

答案：變式1填［-2，2］；變式2選D.

7 問(wèn)題總結(jié)

在講解一個(gè)比較復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，讓學(xué)生清晰、直觀地去探索問(wèn)題是非常有必要的.本文中基于函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合相關(guān)函數(shù)的圖象，引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié)、自我體會(huì)，提高了他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，這樣他們?cè)谝院笥龅皆撝R(shí)點(diǎn)的考查時(shí)，也能從容不迫，提高勝算！