基于二項式定理，挖掘展開式類型

摘要：二項式定理在近年高考數學試卷中經常出現，創新性強，運算量大，考查方式變化多端，命題形式多樣.而全面理解并掌握二項式定理及其相應的技巧方法，是解決問題的關鍵與基石.本文中結合實例，就二項式定理展開式中常見的幾種類型加以剖析，合理構建知識網絡體系，歸納總結解題技巧與方法，指導數學學習與復習備考.

關鍵詞：二項式定理；展開式；常數項；系數；通項公式

二項式定理作為一個恒等式，是高中數學知識中比較獨特的一個基本知識點.在實際數學教學與學習的過程中，應認真挖掘二項式定理的來龍去脈及內涵本質，切實做好基礎知識與基本方法的梳理工作，借助精心配置的例題和習題，進行數學知識、思想方法和技巧、策略的訓練，促使真正理解并掌握二項式定理及其相關的基礎知識.本文中結合二項式定理中常見的展開式類型，借助典型實例加以合理剖析與應用，進而歸納總結解決二項式定理中不同展開式類型的基本思維方式與技巧、方法等，拋磚引玉.

1 （a+b）n（n∈N*）型

兩項型的二項式定理展開式類型，是二項式問題中最典型的一類基本題型，直接利用二項式定理展開式的通項公式來分析與應用即可達到目的.此類型的二項式定理展開式問題，往往是落實“四基”與“四能”的一個基本場景.

例1（1）二項式3x+12x8的展開式的常數項是（）.

A.4B.5C.6D.7

（2）（2023年高考數學天津卷）在2x3－1x6的展開式中，x2的系數是.

解析：（1）根據題意，變形得3x+12x8=x13+12x－18，則其通項公式為Tr+1=Cr8×（x13）8－r×12x－1r=12r×Cr8×x83－43r.

令83－43r=0，解得r=2.

所以展開式的常數項為

122×C28=14×8×72×1=7.

故選擇答案：D.

（2）由題意得，二項式的展開式的通項公式為Tk+1=Ck6（2x3）6－k－1xk=（－1）k×26－k×Ck6×x18－4k.

令18－4k=2，可得k=4.

所以x2的系數為（－1）4×26－4×C46=4×15=60.

故填答案：60.

點評：解決二項式定理場景下（a+b）n（n∈N*）型展開式中特定項問題時，解題的基本思維方式是寫出二項展開式的通項公式Tr+1=Crnan－rbr，根據所求特定項的性質特征，建立對應的方程（組）或不等式（組）等，利用方程（組）或不等式（組）的求解來確定對應的參數r或n的取值情況與限制條件等，進而利用這二者均為自然數的特征來分析與應用，實現特征項問題的突破與求解.

2 （a+b）m（c+d）n（m，n∈N*）型

兩個兩項型的二項式定理展開式的乘積類型，是基于兩項型的二項式定理展開式類型的深入與拓展，在兩項型的基礎上加以深入探究與綜合應用.此類型的二項式定理展開式問題，往往是分類討論的一個重要陣地.

例2（1）（2024年廣東省揭陽市高考數學模擬試卷）在（x－1）2（1+x）6的展開式中，x4的系數是（）.

A.20B.－20C.10D.－10

（2）若x+mxx－1x5的展開式的常數項是10，則m=.

解析：（1）依題意，（x－1）2（1+x）6=x2（1+x）6－2x（1+x）6+（1+x）6.

二項式的展開式中含x4的項是x2C26x2×14－2xC36x3×13+C46x4×12.

所以，二項式的展開式中x4的系數是C26－2C36+C46=15－2×20+15=－10.

故選擇答案：D.

（2）依題，可得二項式x+mxx－1x5=xx－1x5+mxx－1x5.

二項式x－1x5的展開式的通項公式為Tr+1=Cr5x5－r－1xr=Cr5（－1）rx5－2r.

令5－2r=－1，解得r=3.

所以二項式xx－1x5的展開式的常數項為－C35=－10.

令5－2r=1，解得r=2.

所以二項式mxx－1x5的展開式的常數項為mC25=10m.

因為二項式x+mxx－1x5的展開式的常數項是10，所以10m－10=10，解得m=2.

故填答案：2.

點評：解決二項式定理場景下（a+b）m（c+d）n（m，n∈N*）型展開式中特定項問題的基本思維方式為有三種.（1）若m，n中有一個比較小，可考慮把它展開，如（a+b）2（c+d）n=（a2+2ab+b2）（c+d）n，然后分別求解；（2）觀察（a+b）（c+d）是否可以合并，例如（1+x）5（1－x）7=［（1+x）（1－x）］5（1－x）2=（1－x2）5（1－x）2；（3）分別得到（a+b）m，（c+d）n的通項，綜合考慮.特別注意的是要適當地運用分類方法，以免重復或遺漏.

3 （a+b+c）n（n∈N*）型

多項型（以三項型為主）的二項式定理展開式類型，是二項式定理的一種“升維”類比及綜合應用，借助因式分解、逐層展開及組合概念知識等來化歸與轉化.此類型的二項式定理展開式問題，往往是數學建模的一個重要場所.

例3在x+1x－25的展開式中，x2的系數為（）.

A.－50B.－120C.120D.50

解法一：分類討論法.

基本思路是把二項式x+1x－25轉化為二項式（x－2）+1x5求解.

根據題意，二項式x+1x－25可以化為（x－2）+1x5.

其對應的通項公式為Tr+1=Cr5（x－2）5－r51xr，r=0，1，2，3，4，5.

當r=0時，x2的系數為C05C35（－2）3.

當r=1時，x2的系數為C15C14（－2）1.

當r=2，3，4，5時，不會出現含x2的項.

所以x2的系數為C05C35（－2）3+C15C14（－2）1=－80－40=－120.

故選擇答案：B.

解法二：化歸轉化法.

基本思路是利用因式分解把二項式x+1x－25轉化為二項式（x－1）10x5求解.

根據題意，二項式x+1x－25可轉化為x2+1－2xx5=（x－1）10x5.

所以x2的系數即為二項式（x－1）10的展開式中x7的系數，則x2的系數為C310（－1）3=－120.

故選擇答案：B.

點評：解決二項式定理場景下（a+b+c）n（n∈N*）型展開式中特定項問題時，比較常見的基本思維方式就是問題中的解析方法，即因式分解法與化歸轉化法，其目的就是將復雜的三項形式利用因式分解法或化歸轉化法的形式，轉化為熟知的二項形式來分析與處理，實現復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化.其實，在實際解題過程中，還可以回歸計數原理的根本，從組合知識法入手，利用三項展開式可以看成n個因式的乘積問題，進而利用組合知識來突破與應用.

在二項式定理的教學與學習中，應認真落實定理的推導、性質及應用等，看似簡單化的東西，蘊含著二項式定理及其應用的本質所在.在此基礎上，巧妙熟記公式、會用公式等，做好解決二項式定理的基本方法的梳理工作，精心配置例題和習題，進行二項式定理的相關知識、方法和技巧的訓練，才能真正理解、掌握與應用二項式定理.同時，對學生數學思維的發展、數學能力的提升和數學素養的培養等都是十分有益的.