抽象函數問題中的單調性應用

摘要：作為數學抽象與應用的一個基本類型，抽象函數及其綜合應用是其中最為典型的一類基本問題.而涉及抽象函數中的基本性質問題，更是應用的關鍵，基于抽象函數的單調性，從一些常見的基本應用類型入手，結合實例進行剖析，歸納總結解題技巧與規律，提升學生數學思維品質，培養學生數學核心素養.

關鍵詞：抽象函數；單調性；參數；最值；范圍

抽象函數是函數及其基本概念中比較特殊的一類形式，是高中數學與大學數學的一個銜接點，其看似無具體的解析式，但具有題目確定的相關基本性質.特別是，有關抽象函數問題中與函數單調性綜合的應用問題，巧妙借助知識點間的合理融合，在判斷或應用其單調性方面具有一定的難度，用途較大，具有挑戰性，備受關注［1］.

1 單調性的判定應用

涉及抽象函數單調性的判定，往往是基于函數單調性的定義與相關基本性質，借助代數式的恒等變形與轉化，綜合邏輯推理與數學運算等加以分析與應用，得以巧妙解決抽象函數單調性的判定或證明等相關問題.

例1（多選題）已知定義在R上的函數f（x），滿足對任意實數x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當xgt;0時，f（x）lt;1，則（）.

A.f（0）=1

B.f（1）+f（-1）=1

C.函數f（x）為減函數

D.函數y=f（x）的圖象關于點（0，1）對稱

分析：依托抽象函數的問題背景，結合恒成立的代數關系式的給出，以及對應不等式成立的條件，利用賦值法，通過變量取值的變化來確定選項A，B中代數式的值或關系；結合賦值法的應用，通過抽象函數的對稱性來確定選項D中的對稱性；利用函數單調性的定義，結合代數式的變形與應用，合理加以邏輯推理與轉化，進而來確定選項C中抽象函數的單調性問題.

解析：依題，函數f（x）對任意實數x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）-1.

令x=0，y=0，則有f（0）=f（0）+f（0）-1，解得f（0）=1，故選項A正確.

令x=1，y=-1，則有f（0）=f（1）+f（-1）-1=1，所以f（1）+f（-1）=2，故選項B錯誤.

令y=-x，則有f（x-x）=f（x）+f（-x）-1=f（0）=1，即f（x）+f（-x）=2，故函數y=f（x）的圖象關于點（0，1）對稱，故選項D正確.

設x1lt;x2，則x2-x1gt;0，可得f（x2-x1）lt;1，而f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-1-f（x1）=f（x2-x1）-1lt;0，則f（x2）lt;f（x1），則函數f（x）在R上是減函數，故選項C正確.

故選擇答案：ACD.

點評：對于抽象函數單調性的判定或證明，必須抓住函數單調性的定義或基本性質等，通過邏輯推理與數學運算等來分析與判定.特別要注意的是，在利用函數單調性的定義判斷抽象函數的單調性問題時，往往要借助自變量的變換，如把x1寫成（x1-x2）+x2或者把x1寫成x1x2×x2（對應字母的順序可以結合實際條件加以變換）.

2 參數值的確定應用

合理借助抽象函數在給定區間上的單調性，結合含參抽象不等式的題設背景，通過函數的定義域與單調性加以化歸與轉化，合理構建對應的不等式（組），得以確定滿足條件的參數值或取值范圍等.

例2已知定義在區間[1，4]上的函數f（x）是減函數，則滿足不等式f（1-2a）-f（3-a）gt;0的實數a的取值范圍為.

分析：根據題意，合理變形并轉化對應的不等式，結合“定義域優先”原則，并借助抽象函數在給定區間上的單調性，合理構建相應的不等式組，通過不等式組的求解來確定參數的取值范圍.

解析：依題意，可得f（1-2a）gt;f（3-a）.

而函數f（x）在定義域[1，4]上單調遞減，則有1≤1-2a≤4，

1≤3-a≤4，

1-2alt;3-a，解得-1≤a≤0.

所以實數a的取值范圍為[-1，0].

故填答案：[-1，0].

點評：依托抽象函數的單調性背景，結合函數的定義域及單調性的定義，構建涉及參數的不等式（組），同時注意“定義域優先”考慮原則，在此基礎上通過求解不等式（組）來確定參數值或取值范圍等.

3 大小關系的判定應用

合理借助抽象函數在給定區間上的單調性，結合自變量之間大小關系的分析與確定，往往可以為一些涉及抽象函數的關系式的大小關系的判斷創造條件，實現抽象函數代數值的大小比較與判斷.

例3若函數f（x）在實數集R上是減函數，則下列關系式一定成立的是（）.

A.f（a）gt;f（2a）

B.f（a2）lt;f（a）

C.f（a2+a）lt;f（a）

D.f（a2+1）lt;f（a2）

分析：根據題意，要判斷各選項中涉及抽象函數的代數值的大小比較與判斷，關鍵在抽象函數所具有的減函數性質的基礎上，通過自變量之間的大小關系，并結合減函數的性質來分析與判斷.

解析：依題，函數f（x）在實數集R上是減函數.

而對于a∈R，有a2+1gt;a2成立，結合減函數的基本性質，可得f（a2+1）lt;f（a2）.

故選擇答案：D.

點評：解決一些涉及抽象函數的關系式的大小關系的判斷與應用問題，抓住不等號方向的“同增異減”（不等號方向相同時為增函數，不等號方向不同時為減函數）規律，結合自變量的大小關系判定，合理化歸與轉化，巧妙處理應用.

4 最值（或取值范圍）的求解應用

合理借助抽象函數在給定區間上的單調性，由此來確定相應抽象函數在給定區間背景下的最大值與最小值問題.而在此場景下的最值（或取值范圍）的求解應用問題，往往離不開抽象函數單調性的判斷，并結合單調性的定義與性質來分析與處理.

例4已知函數f（x）對任意實數x，y，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當xlt;0時，f（x）lt;0，f（1）=3，則函數f（x）在區間[-4，2]上的最大值為，最小值為.

分析：根據題意，通過合理的賦值法應用，判斷抽象函數的奇偶性與單調性，為進一步求解抽象函數在給定區間上的最值創造條件.這里抽象函數的奇偶性與單調性的判斷，都要借助相應的定義與基本性質來分析與判斷.

解析：依題可知，函數f（x）的定義域為R，且恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立.

令x=y=0，可得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0.

令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，則有f（-x）=-f（x），所以函數f（x）為奇函數.

對任意實數x1，x2，若x1lt;x2，則有x1-x2lt;0，結合當xlt;0時，f（x）lt;0，可得f（x1-x2）lt;0，則f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）lt;0，則f（x1）lt;f（x2），所以函數f（x）在R上為增函數，則在區間[-4，2]上也必為增函數，即函數f（x）在區間[-4，2]上的最大值為f（2），最小值為f（-4）.

由f（1）=3，得f（2）=f（1）+f（1）=3+3=6，f（-4）=-f（4）=-[f（2）+f（2）]=-12，即函數f（x）在區間[-4，2]上的最大值為6，最小值為-12.

故填答案：6；-12.

點評：解決一些涉及抽象函數在給定區間上的最值或取值范圍的綜合應用問題時，關鍵是根據抽象函數的表達式，通過賦值法、定義法、性質法等方式，巧妙判斷對應抽象函數的基本性質，包括奇偶性與單調性，進而使得問題更加簡捷，別具一格，分析與處理起來更加有效、快捷.

基于抽象函數的應用場景，往往可以從中確定其對應的基本性質，特別是函數的單調性，這對解決抽象函數中的單調性判斷、參數值的確定、大小關系的應用以及最值（或取值范圍）的求解等方面都是非常有效的［2］.

涉及抽象函數問題中的單調性及其應用，是依托單調性這一函數的重要基本性質，巧妙融合進抽象函數這一重要函數模型，用于解決與函數單調性有關的抽象函數問題的判定與證明、參數的確定、大小比較、求解函數值與最值，以及綜合應用等問題，使得函數的綜合應用更加抽象、綜合問題更具挑戰性，在一些創新場景有較大的用途，對于數學思維品質的提升、數學核心素養的培養都是非常有幫助的.

參考文獻：

［1］彭志強．抽象函數中的單調性問題［J］．中學數學，2021（23）：4849．

［2］樂和順．問渠哪得清如許，為有源頭活水來——談抽象函數中的單調性應用技巧［J］．中學生數理化（高一數學），2023（10）：1011．