一道由三角函數翻折形成立體幾何試題的命制

摘要：本文中把三角函數的平面問題放在空間中研究，體現了從二維到三維的思維躍進，把立體幾何問題轉化為平面問題來解決，體現了三維到二維的解題過程，發展了邏輯推理和數學抽象素養.

關鍵詞：三角函數;立體幾何;三角立幾融合

1 展示命題

（改編題）已知函數f（x）=3sin（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π）的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過點A作x軸的垂線，交x軸于點A′，點C13，0為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成2π3的二面角，如圖2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）在圖2中求AB與平面OBC所成的角；

（3）求以AB的中點為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積.

附注：第（3）題要用到球缺（如圖3）的體積公式.球缺的定義：一個球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直徑被截下的線段長叫球缺的高.設球的半徑為R，球缺的高為h，則球缺的體積公式為V球缺=13πh2（3R-h）.

（原題）已知函數f（x）=λsinπ2x+φ（λgt;0，0lt;φlt;π）的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過點A作x軸的垂線，交x軸于點A′，點C為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時|AB|=10.

給出下列四個結論：

①φ=π3；

②圖2中，AB·AC=5；

③圖2中，過線段AB的中點且與AB垂直的平面與x軸交于點C；

④圖2中，S是△A′BC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S||AQ|≤2}，則T表示的區域的面積大于π4.

其中所有正確結論的序號是.

2 命題過程

本來想命制一個求三角函數的解析式或求y=Asin（ωx+φ）中ω的填空題，看到原題后就想改編成三角與立體幾何融合的綜合題.因為題設中有二面角，只是直二面角太特殊，于是作了調整，又想涉及求線面角和球相關的問題.為了保留原函數解析式，在函數圖象上取兩點0，32和13，0，但這樣求出的結果有兩解，需要根據函數單調性或周期性舍去一解，有一點小坎，正合本意，這樣第（1）小題就確定下來.把原題中直二面角改為2π3的二面角，第（2）小題想求線面角，結合圖2，確定求AB與平面OBC所成的角.第（3）小題還是看上了AB，就求以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積，遂成第一稿.

第一稿：（3）求以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積.

以OC的方向為y′軸的正方向，過點O且垂直y′軸的直線為x′軸，過點O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標系.設AB的中點為E，點A在平面OBC上的射影為H，則A′H=32，AH=32，所以H-32，-23，0，A-32，-23，32，B3，43，0，球的直徑|AB|=13，點E到平面OBC的距離為34，以AB為直徑的球被半平面OBC所截的圖形即為該球在平面OBC上的射影圓.

不妨設該球在平面OBC上的射影圓的半徑為r，則r2=1322-342=4316.

所以，以AB為直徑的球被平面OBC所截的圓的面積為4316π.

第一稿的條件以及第（1）（2）小題與原題相同，這里不重復，只給出第（3）小題“（3）以AB為直徑的球被平面OBC所截的面積”的解答.通過演算發現第（2）小題有多種解法，前兩個小題比較滿意，第（3）小題相對簡單，于是有了第二稿.

第二稿：（3）求以AB為直徑的球被半平面OBC所截的面積.

以AB為直徑的球被半平面OBC所截的圖形為一優弧弓，不妨設半徑為r，圓心為F，則在平面OBC內F34，13.而球的直徑|AB|=13，則r2=1322-342=4316.

于是，圓F的方程為x-342+y-132=4316.設圓與直線A′C交于M，N兩點，則M0，13-102，N0，13+102，可得MN=10，cos∠MFN=4316+4316-102×4316=-3743，故∠MFN=π-arccos3743，扇形的圓心角為α=π+arccos3743.所以，扇形的面積為S扇=12αr2=12×π+arccos3743×4316=4332π+arccos3743，S=S△MNF+S扇=12×10×34+4332π+arccos3743=308+4332π+arccos3743.所以以AB為直徑的球被半平面OBC所截的面積為308+4332×π+arccos3743.

這樣雖然計算量大一點，但還是覺得有點平淡，于是有了第三稿.

第三稿：（3）求以AB為直徑的球夾在兩個半平面之間的體積.

但這個體積學生現有知識不能求，于是只能再改！改為以AB中點為球心的球與OC相切，這時的體積就是球的體積減去兩個相同的球缺的體積，但球缺教材沒有，所以想到給出球缺的定義，最終通過計算確定AB的值后得到終稿.

第四稿：（3）求以AB的中點為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積.

3 解題分析與思維導圖

3.1 第（1）問解法分析及思維導圖

已知函數圖象上的點0，32，13，0，把兩個點的坐標分別代入函數f（x）=3sin（ωx+φ）中，得到ω，φ的兩組答案.

法1：通過分析函數f（x）=3sin5π2x+π6在-115，13上先增后減，與已知的函數圖象不符，故舍去.

法2：由圖象可知T4gt;13，從而推出Tgt;43，即2πωgt;43，得出0lt;ωlt;3π2，故舍去ω=5π2.

思維導圖如圖4所示.

3.2 第（2）問解法分析及思維導圖

分析一：直線AB與平面OBC所成的角就是直線AB與其在平面OBC上的射影所成的角，所以首先作出點A在平面OBC上的射影H，則∠ABH就是所求的角，而AH很容易算出，接下來難點是求BH.

法1：過點H作x軸的平行線l，過點B作BD⊥l交l于點D，求出BH.

法2：在平面OBC內，以OC的方向為y′軸的正方向，過O且垂直y′軸的直線為x′軸，建立平面直角坐標系，很容易求出點B，H的坐標，求出BH.

分析二：以OC的方向為y′軸的正方向，過O且垂直y′軸的直線為x′軸，過O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標系.分別寫出求出點B，H的坐標，求出平面OBC的法向量n，從而得sin θ=|BA5n||BA||n|

分析三：過點B作BD⊥OC交OC于點D，則BD⊥DA′，AA′⊥DA′，〈BD，A′A〉=π3.由BA=BD+DA′+A′A，得出|BA|.設平面OBC的一個單位法向量為e，〈e，A′A〉=π6，則e⊥BD，e⊥DA′，從而得出sin θ=|BA5e||BA||e|.

思維導圖如圖5所示.

3.3 第（3）問解法分析及思維導圖

以OC的方向為y′軸的正方向，過點O且垂直y′軸的直線為x′軸，過點O且垂直平面OBC的直線為z′軸，建立空間直角坐標系.AB的中點為E，設A在平面OBC上的射影為H，易得點H，A，B，E的坐標.以E為球心，半徑為32的球被半平面OBC所截的圖形為圓，通過計算所截的圓恰與y′軸相切，同理可得，球被平面OAC所截的圖形也恰與y′軸相切，所以球與二面角所圍成的幾何體體積為V=V球-2V球缺，其中V球缺=13πh2（3R-h），R為球的半徑，h為球缺的高.

4 試題解答

具體解析略，可掃碼閱讀具體解析.

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5 試題鏈接

已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π）的部分圖象如圖7所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過點A作x軸的垂線，交x軸于點A′，點C13，0為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成π3的二面角，如圖8所示.

（1）求f（x）的解析式；

（2）在圖8中求AB與平面OBC所成的角；

（3）求以AB為直徑的球夾在兩個半平面之間的體積.6 試題實測統計分析

為調查本題編制質量，難度設置是否適宜，是否具有的區分度，特讓高二實驗班學生進行了測試.測試結果如表1所示.

第（1）小題4分，平均分3.43分，主要失分原因是算出兩組答案未進行取舍，或有些學生意識到要舍去一組，但原因表述不明，甚至有些同學計算錯誤.第（2）小題滿分6分，平均分3.8分，有57.1%的同學滿分，主要解法是綜合法，建系法也有部分同學使用，但是坐標表述有錯誤，建系寫坐標有待加強.第（3）小題是一個新概念題，滿分8分，平均分2.74分，滿分率25.7%，主要失分原因是概念理解不清楚，由于計算要求比較高，學生計算出錯的太多.但還是有一部分學生得了滿分.

本題總分18分，滿分學生占25.7%，零分學生占6.5%，有一定的區分度，能夠反映學生對基礎知識的掌握和數學計算能力及新概念的理解能力.

學生是否覺得題目有趣？是否覺得題目有挑戰性？是否從題目中學到了新的東西？這些反饋都可以幫助改進命題的方法和策略.本題第（3）小題“求以AB的中點為球心，半徑為32的球與二面角所圍成的幾何體體積”，感覺改編得不是那么自然，隨后在試題鏈接中的第（3）問改為了“求以AB為直徑的球夾在兩個半平面之間的體積”，此球恰好與二面角的棱相切.