一道立體幾何與解析幾何綜合題目的命制

摘要：立體幾何和解析幾何是高考中的必考內容，考查學生的數學抽象、數學建模、數學運算及數據分析等核心素養.本命題小組立足幾何問題設計了新定義探究，對接平面解析幾何和空間立體幾何兩大模塊，命制了一道圓錐曲線綜合題目.

關鍵詞：折疊空間距離;軌跡;橢圓

1 展示命題

原創題在平面直角坐標系xOy中，有兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）.若以x軸為折痕，將直角坐標平面折疊成互相垂直的兩個半平面（如圖1所示），則稱此時點P，Q在空間中的距離為“點P，Q關于x軸的折疊空間距離”，記為Z（PQ）.

（1）若點A，B，C在平面直角坐標系xOy中的坐標分別為（1，2），（-2，3），（3，-4），求證：Z（AB）=10，Z（BC）=52；

（2）若點D，P在平面直角坐標系xOy中的坐標分別為D（0，-1），P（x，y），試用文字描述滿足Z（DP）=2的點P在平面直角坐標系xOy中的軌跡是什么，并求該軌跡與x軸圍成的圖形的面積；

（3）若在平面直角坐標系xOy中，E（-1，3）是橢圓y212+x24=1上一點，過點E的兩條直線EM，EN分別交橢圓于M，N兩點，且其斜率滿足kEM+kEN=0，求Z（MN）的最大值.

2 命題過程

設計第（1）問主要是為了幫助學生建立“折疊空間距離”的概念，了解該距離與兩點在x軸上下兩半平面中的相對位置有關.第（2）問想考查解析幾何的基本問題，于是設計了求動點的軌跡.直線與圓錐曲線的位置關系是高考命題的基礎要求，是經久不衰的內容，因此經過多次修改我們將其引入至第（3）問.

第（3）問第一稿的設計為：“若在平面直角坐標系xOy中，直線y=k（x-1）與橢圓y212+x24=1相交于E，F兩點，求Z（EF）的最大值.”本意是想以直線與橢圓相交這一典型問題為載體，關聯“折疊空間距離”這一幾何元素，通過不同變量的引入將問題化歸為求函數的最值問題，考查學生的邏輯推理及數學運算能力，但在解題時發現僅利用常規曲直聯立、韋達定理就可以化歸出形式較為簡單的代數式，計算量小，難度偏低.因此，為加大難度，設計第二稿：“E，F為橢圓y212+x24=1上任意兩點，求Z（EF）的最大值.”該問題可沿用前述思路求解，但涉及參數有四個，僅利用題設無法充分消參，即使利用橢圓的參數方程，也依舊會涉及到四次方根，不易求解.因此，改為第三稿：“若在平面直角坐標系xOy中，點E（-1，3）是橢圓y212+x24=1上一點，過點E的兩條直線EM，EN分別交橢圓于M，N兩點，且其斜率滿足kEM+kEN=0，求Z（MN）的最大值.”第三稿的設計意圖與第一稿類似，但分類討論時涉及到直線斜率范圍的討論，最值的計算中也要求利用對勾函數的性質，因此對學生的邏輯推理及運算能力要求更高，于是得到了終稿.

3 思維導圖及試題分析

3.1 第（1）問思維導圖及試題分析

第（1）問思維導圖如圖2所示.圖2分析一：已知A，B，C三點在平面直角坐標系中的位置，將其相對位置標注在折疊后的兩個半平面中，通過兩點折疊距離的定義，構造直角三角形，列出表達式，加以求證.

分析二：建立空間直角坐標系，根據A，B，C三點在平面直角坐標系中的坐標，寫出相應的三維坐標，兩點折疊空間距離等價于此時的空間兩點距離，建立等式，得以論證.

3.2 第（2）問思維導圖及試題分析

第（2）問思維導圖如圖3所示.

分析一：已知點D在折疊后的兩個半平面中的具體位置，借由第（1）問思路重點討論點P的位置，過點P向坐標軸作垂線，垂足記為P0，在Rt△PP0D中通過勾股定理建立等量關系，確定軌跡方程，結合曲線方程的結構，判斷點P的軌跡，完成求解.

分析二：與第（1）問類似，寫出點D，P的空間坐標，利用空間兩點間的距離公式建立等式，此時點P的空間坐標需要對其原來是在x軸上半平面或是下半平面進行討論.剩下的思考路徑與分析一中的一致.

3.3 第（3）問思維導圖及試題分析

第（3）問思維導圖如圖4所示.

分析一：設直線EM，EN的點斜式方程，討論點M，N與點E在平面直角坐標系中相對位置的可能性，求解直線EM，EN的斜率范圍.沿用第（2）問的思路，對點M，N在半平面中的相對位置加以討論.在不同的位置關系下，通過向坐標軸作垂線的方式，確立對應的平面或空間直角三角形，從而寫出Z（MN）的表達式.聯立直線和圓錐曲線的方程，整理消元，結合韋達定理，用單變量k表示Z（MN），繼而求解最值.

分析二：與分析一類似，先用點斜式寫出直線EM，EN的方程，再根據點M，N的相對位置求相應直線斜率的范圍.沿用第（2）問思路，在不同情況下，寫出M，N兩點的空間坐標，并寫出Z（MN）的代數式，剩余過程與分析一類似.

掃碼看解析過程4 試題解析

試題解析略，掃碼看解析過程.

5 試題鏈接

改編題在平面直角坐標系xOy中，有兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）.若以x軸為折痕，將直角坐標平面折疊成互相垂直的兩個半平面（如圖5所示），則稱此時點P，Q在空間中的距離為“點P，Q關于x軸的折疊空間距離”，記為Z（PQ）.

（1）若點A，B，C在平面直角坐標系xOy中的坐標分別為A（3，4），B（-1，5），C（-3，-2），求Z（AB），Z（BC）的值；

（2）若在平面直角坐標系xOy中，點D，E的坐標分別為D（-1，0），E（1，0），試用文字描述滿足Z（DP）+Z（EP）=4的點P在平面直角坐標系xOy中的軌跡，并求以P，D，E為頂點的三角形面積的最大值；

（3）在平面直角坐標系xOy中，直線l恒過定點M（0，1），與雙曲線x2-y2=1交于兩點P，Q，是否存在直線l使得折疊后直線OP與直線OQ垂直？請說明理由.

掃前文二維碼看參考答案.

6 試題實測分析

第（1）問4分，幾乎全員拿滿分，說明學生對該距離定義的建構沒有問題.第（2）問滿分6分，平均得分為3.51分.由于題目中的示意圖給了作垂線的提示，學生的解法集中在分析一，反映出學生在空間中利用坐標系解決問題的能力有待加強，但大部分學生都能根據軌跡方程得到該軌跡的示意圖，說明數形結合的意識已扎根在腦海中.第（3）問是圓錐曲線的綜合問題，學生自然能想到曲直聯立、韋達定理，但目標不明確，不知道該將題目中的什么幾何條件轉化為代數式，因此得分率較低.本題前兩問基礎題得分情況較好，第（3）問則有較強的區分度，能夠反映學生對解析幾何本質的把握、新概念的建構能力以及數學運算能力.總體來說，本題適用于學生的日常測驗.