回歸投影直觀，妙解向量問(wèn)題

摘要：投影作為平面向量數(shù)量積知識(shí)中的一個(gè)重要概念與創(chuàng)新應(yīng)用，具有明顯的幾何意義與性質(zhì)內(nèi)涵．回歸投影本質(zhì)，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形，為解決平面向量中的數(shù)量積、模、夾角以及創(chuàng)新定義等問(wèn)題開(kāi)拓一個(gè)全新的視角，指導(dǎo)師生的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)以及解題研究．

關(guān)鍵詞：投影；向量；數(shù)量積；模；夾角；創(chuàng)新

高中數(shù)學(xué)教材在平面向量的數(shù)量積部分，給出了投影與投影向量的概念，以及投影向量的計(jì)算公式等，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用．而在實(shí)際解決平面向量的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，正確回歸投影概念與相關(guān)公式的幾何意義本質(zhì)，直觀想象，成為利用數(shù)形結(jié)合思維解決平面向量相關(guān)問(wèn)題中的一種重要手段與技巧方法．

1 數(shù)量積的求值問(wèn)題

回歸投影本質(zhì)，將平面向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的投影問(wèn)題，構(gòu)建整體化思維，回避與數(shù)量積有關(guān)的向量夾角問(wèn)題，結(jié)合平面幾何圖形直觀來(lái)確定相應(yīng)數(shù)量積的值或?qū)?yīng)的最值問(wèn)題．

例1〔廣東省2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試卷〕已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若A=π4，則AB·OC的最大值為（）.

A．12B．22C．1D．2

分析：根據(jù)題設(shè)條件作出平面圖形，結(jié)合平面向量的數(shù)量積與投影實(shí)質(zhì)，將平面向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)投影狀態(tài)下線(xiàn)段長(zhǎng)度的乘積，進(jìn)而結(jié)合“動(dòng)”點(diǎn)A，帶動(dòng)垂足E的變化來(lái)確定數(shù)量積的最值問(wèn)題．

解析：如圖1所示，連接OB，延長(zhǎng)CO交單位圓O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E.

由A=π4，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可知∠BOC=π2.

回歸投影概念，AB在OC方向上的投影為EO，要使得AB·OC取得最大值，點(diǎn)E必須在線(xiàn)段OD上，此時(shí)AB·OC=|EO|×|OC|=|EO|.

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，即點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，EO的最大值為1.

所以AB·OC的最大值為1.故選擇答案：C．

點(diǎn)評(píng)：回歸投影本質(zhì)，通過(guò)平面向量的數(shù)量積與投影的幾何內(nèi)涵或相關(guān)的幾何意義，將對(duì)應(yīng)的數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為投影狀態(tài)下線(xiàn)段長(zhǎng)度的乘積問(wèn)題，為數(shù)量積的求解指明方向．本題將平面向量的數(shù)量積通過(guò)投影轉(zhuǎn)化為投影狀態(tài)下線(xiàn)段長(zhǎng)度的乘積，并利用“動(dòng)”點(diǎn)的變化情況來(lái)確定相關(guān)的最值．

2 向量模的確定問(wèn)題

回歸投影本質(zhì)，將平面向量問(wèn)題加以數(shù)形直觀，化向量為數(shù)量，轉(zhuǎn)化為平面幾何中的相關(guān)問(wèn)題，經(jīng)常用來(lái)解決平面向量的模、線(xiàn)段的長(zhǎng)度、比值以及相關(guān)的最值問(wèn)題，合理直觀操作，巧妙靈活求解．

例2〔福建省泉州市2023屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）數(shù)學(xué)試卷（2023年3月）〕已知平面向量a，b，c滿(mǎn)足|a|=1，b·c=0，a·b=1，a·c=－1，則|b+c|的最小值為（）.

A．1B．2C．2D．4

分析：根據(jù)題設(shè)條件中平面向量的數(shù)量積的值，回歸數(shù)量積與投影的幾何意義來(lái)合理構(gòu)建滿(mǎn)足條件的平面幾何圖形.從“形”的視角切入，結(jié)合平面幾何圖形的幾何特征，確定對(duì)應(yīng)的向量模的最值．

解析：如圖2，設(shè)向量a=OA，b=OB，c=OC，OD=-OA，

因?yàn)閍·b=1，a·c=－1，b·c=0，結(jié)合平面向量數(shù)量積與投影的幾何意義，可得AB⊥OA，DC⊥DO，OB⊥OC.

因?yàn)閨b+c|=|b－c|=|OB－OC|=|CB|，結(jié)合圖形直觀，可知|CB|為夾在兩平行直線(xiàn)AB與CD間的線(xiàn)段長(zhǎng).

所以當(dāng)BC⊥AB時(shí)，|CB|取到最小值2，即|b+c|的最小值為2.故選擇答案：C．

點(diǎn)評(píng)：回歸投影本質(zhì)，挖掘平面向量的數(shù)量積與投影的幾何內(nèi)涵或相關(guān)的幾何意義，由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”，合理構(gòu)建與題目條件相吻合的平面幾何圖形，通過(guò)數(shù)形直觀，結(jié)合平面幾何的特征性質(zhì)來(lái)直觀分析與解決問(wèn)題．本題中的向量模就是在平面幾何圖形的直觀圖形中，通過(guò)“動(dòng)”態(tài)變化規(guī)律來(lái)確定相應(yīng)“靜”態(tài)下的最值問(wèn)題．

3 向量夾角的求解問(wèn)題

回歸投影本質(zhì)，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形，合理引入邊參或角參，借助三角函數(shù)的定義，并結(jié)合勾股定理或解三角形中的正弦（余弦）定理等來(lái)構(gòu)建關(guān)系式，數(shù)形結(jié)合來(lái)處理與向量夾角有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題．

例3已知平面向量a，b滿(mǎn)足|a|=1，a·b=1，記b與a+b的夾角為θ，則cos θ的最小值為（）.

A．13B．24C．22D．223

分析：根據(jù)題設(shè)條件，通過(guò)平面向量的數(shù)量積與投影的幾何意義確定線(xiàn)段的垂直關(guān)系，并結(jié)合平行四邊形的結(jié)構(gòu)特征確定所求向量的夾角所在三角形中各邊的邊長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理構(gòu)建關(guān)系式，并引入?yún)?shù)，利用判別式法來(lái)求解不等式，進(jìn)而得以確定所求夾角余弦值的最值問(wèn)題．

解析：如圖3，設(shè)向量a=OA，b=OB，a+b=OC.

依題|a|=1，a·b=1，借助平面向量的數(shù)量積與向量投影的幾何意義，可知AB⊥OA.

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA，交OA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)知OD=2.

設(shè)AB=h，則有|b|=OB=h2+1，|a+b|=OC=h2+4，BC=OA=1.

結(jié)合余弦定理，可得cos θ=h2+1+h2+4－12h2+1×h2+4=h2+2h2+1×h2+4=h4+4h2+4h4+5h2+4.

令t=h4+4h2+4h4+5h2+4gt;0，整理可得

（t－1）h4+（5t－4）h2+4（t－1）=0.

由判別式Δ=（5t－4）2－16（t－1）2≥0，解得t≥89，所以cos θ=t≥89=223.故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)：回歸投影本質(zhì)，化“數(shù)”為“形”，充分挖掘向量的數(shù)量積與投影的幾何意義，合理構(gòu)建與之相應(yīng)的平面幾何圖形，并在平面圖形中直觀構(gòu)建相關(guān)的關(guān)系式，為進(jìn)一步的分析與求解打下基礎(chǔ)．本題中的夾角余弦值就是通過(guò)解三角形中的余弦定理來(lái)構(gòu)建的，而投影為確定三角形的各邊長(zhǎng)提供了條件．

4 創(chuàng)新定義的應(yīng)用問(wèn)題

回歸投影本質(zhì)，挖掘創(chuàng)新定義中平面向量的數(shù)量積與投影的幾何意義，將創(chuàng)新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的平面向量問(wèn)題，數(shù)形直觀處理，進(jìn)而利用平面向量以及其他相關(guān)知識(shí)來(lái)綜合與應(yīng)用．

例4〔2022屆浙江省杭州市高三年級(jí)下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（杭州二模）數(shù)學(xué)試卷〕對(duì)于二元函數(shù)f（x，y），minx{maxy{f（x，y）}}表示f（x，y）先關(guān)于y求最大值，再關(guān)于x求最小值．已知平面內(nèi)非零向量a，b，c，滿(mǎn)足a⊥b，a·c|a|=2b·c|b|，記f（m，n）=|mc－b||mc－na|（其中m，n∈R，且m≠0，n≠0），則minm{maxn{ f（m，n）}}=．

分析：根據(jù)題目條件，抓住平面向量關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，回歸投影的幾何意義，數(shù)形結(jié)合.借助創(chuàng)新定義的內(nèi)涵，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)的變化情況，將創(chuàng)新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定距離比的最值問(wèn)題，巧妙化歸與轉(zhuǎn)化，并通過(guò)平面幾何圖形的直觀想象，創(chuàng)新應(yīng)用．

解析：記a=OA，b=OB，c=OC，其中∠AOB=π2，如圖4所示.

結(jié)合a·c|a|=2b·c|b|，借助投影的幾何意義可知，OC在OA上的投影恰為OC在OB上的投影的兩倍，即|OD|=2|CD|.

所以f（m，n）=|mc－b||mc－na|=|BE||FE|.

先讓m不變，n變化，即點(diǎn)E固定，點(diǎn)F變化，那么f（m，n）=|mc－b||mc－na|=|BE||FE|≤|BE||GE|，其中EG⊥OA，垂足為G.

接著再讓m變化，即點(diǎn)E變化，求|BE||GE|的最小值，則有|BE||GE|min=|BC||CD|=|OD||CD|=2.

所以minm{maxn{f（m，n）}}=2.故填答案：2．

點(diǎn)評(píng)：回歸投影本質(zhì)，充分挖掘創(chuàng)新定義的結(jié)構(gòu)特征，綜合平面向量的數(shù)量積與投影的幾何內(nèi)涵或相關(guān)幾何意義，正確構(gòu)建與之相吻合的平面直觀圖形，可以使得問(wèn)題更加具體、直接，方便操作．本題中的向量關(guān)系式就是基于平面向量的數(shù)量積與投影的概念加以創(chuàng)設(shè)，正確識(shí)別與轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

借助并回歸平面向量的投影的基本概念與相應(yīng)的幾何意義，為相關(guān)平面向量問(wèn)題的破解提供一種直觀手段與策略技巧，也為破解平面幾何、解三角形、平面解析幾何以及立體幾何等相關(guān)問(wèn)題提供一個(gè)方便、快捷、實(shí)用的工具．回歸投影本質(zhì)，數(shù)形直觀應(yīng)用，新穎靈活多變，提升數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用層次，有效拓展解題技巧，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．