一道解析幾何高考題的解法賞析

1 高考真題

（2023年高考甲卷理科第20題）設拋物線C：y2=2px（pgt;0），直線x－2y+1=0與C交于A，B兩點，且|AB|=415.

（1）求p的值；

（2）設C的焦點為F，M，N為C上兩點，且MF5NF=0，求△MNF面積的最小值.

該題第（1）問弦長問題難度不大.第（2）問考查了三角形面積的最值問題，是圓錐曲線的常見題型，體現了高考命題的平穩性.考查了數學運算核心素養及解析幾何解題基本素養.

2 解法探究

第（2）問求三角形面積的最值，應先將△MFN的面積表示出來.具體的思路用思維導圖梳理成圖1.

解法1：顯然直線MN的斜率不為0，設直線MN的方程為x=my+n，與拋物線方程聯立消去x得y2－4my－4n=0.設M（x1，y1），N（x2，y2），則

y1+y2=4m，y1y2=－4n，Δ=16m2+16ngt;0，得m2+ngt;0.因為MF5NF=0，所以

（1－x1，－y1）（1－x2，－y2）=0，

即（m2+1）y1y2+m（n－1）（y1+y2）+（n－1）2=0.

化簡整理，得4m2=n2－6n+1≥0.

又4（m2+n）=（n－1）2＞0，所以解得n≥3+22或n≤3－22，且n≠1.

而|MN|=1+m2|y1－y2|=1+m2516m2+16n，點F（1，0）到直線MN的距離為d=|n－1|m2+1，所以

S△MNF=12|MN|5d=12|n-1|16m2+16n=|n－1|4（m2+n）=|n-1|（n－1）2=（n－1）2.

所以，當n=3－22時，△MNF的面積取到最小值12－82.

此題第（2）問的解題思路是通過向量的數量積得到m，n的關系，利用變量的相互制約性求出n的取值范圍.將S△MNF=12|MN|5d中的線段長度、距離用代數式表示出來，消元求出函數的最值.

解法2：設直線MN：x=my+n交x軸于點E，如圖2.設M（x1，y1），N（x2，y2），則

S△MNF=S△MFE-S△NFE=12|n－1||y1－y2|.

如圖3所示，S△MNF=S△MFE=S△MNF=S△MFE+S△NFE=12|n-1|5|y1－y2|.

整理，可得

S△MNF=|n-1|16m2+16n.

后面的解法與解法1相同.

解法3：當直線MN的斜率不存在時，可求得△MNF面積是12－82.當k存在時，設直線MN的方程為y=kx+m，代入y2=4x，得

k2x2－（4－2km）x+m2=0，

則Δ=（4－2km）2－4k2m2gt;0，所以kmlt;1.

設M（x1，y1），N（x2，y2），則

x1+x2=4－2kmk2，x1x2=m2k2.

由MF5NF=0，化簡整理得

（k2+1）x1x2+（km－1）（x1+x2）+m2+1=0.

化簡整理，得m2+k2+6km=4.

所以mkgt;－3+22，或mklt;－3－22.

由拋物線焦半徑公式，可得

S△MNF=12（x1+1）（x2+1）=m2+k2－2km+42k2.

因為m2+k2+6km=4，所以

S△MNF=m2+k2+2kmk2=mk+12.

所以，S△MNFgt;（－3+22+1）2=12－82.

綜上，△MNF面積的最小值為12－82.

解法3需要討論直線MN斜率不存在的情況，對學生運算與思維能力的要求更高，所以解答圓錐曲線題時直線設法的選擇很重要.

解法4：設直線MF與x軸非負半軸的夾角為θ，則直線NF與x軸正半軸的夾角為π2－θ或π2+θ.下面先求解π2－θ的情況.

若θ=π2，可求得S△MNF=12.

若θ≠π2，由對稱性，設θ∈0，π2.由幾何關系得，|MF|=21－cos θ，|NF|=21－sin θ，則

S△MNF=12|MF||NF|=1254（1－cos θ）（1－sin θ）≥22－（sin θ+cos θ）22≥22+222=12－82，

當且僅當sin θ=cos θ，即θ=π4時，等號成立.

綜上，△MNF面積的最小值是12－82.

直線NF與x軸正半軸的夾角為π2+θ時解法相同.

解法4將三角形面積公式中的兩條直角邊長用傾斜角θ的三角函數來表示.運用均值不等式與誘導公式求出最值.從解題過程可以發現這種解題思路比較自然，解題步驟及運算量較小.

解法5：以F為極點，Fx為極軸建立極坐標系，設M（ρ1，θ），Nρ2，θ－π2，則

|MF|=|ρ1|=21－cos θ，|NF|=|ρ2|=21－sin θ.

后面的解法同解法4.

解法6：設直線FM的傾斜角α0lt;αlt;π2，則直線FM的參數方程是x=1+t1cos α，

y=t1sin α（t1為參數），將參數方程代入y2=4x，得

t21sin 2α=4+4t1cos α.①

直線FN的傾斜角為α+π2，參數為t2，同理得

t22cos 2α=4－4t2sin α.②

由①②式，可得1=4+4t1cos αt21+4－4t2sin αt22=4（t21+t22）t21t22－4t21+t22sin（α－φ）t1t2（tan φ=t2t1）≥4（t21+t22）t21t22－4t21+t22|t1t2|.

令t21+t22|t1t2|=m，則4m2－4m－1≤0.因為mgt;0，所以0lt;m≤1+22，得t21+t22|t1t2|≤1+22.

由t21+t22|t1t2|≥2|t1t2||t1t2|，得|t1t2|≥8（3－22），當且僅當|t1|=|t2|時，等號成立，此時tan φ=±1.

所以S△MNF=12|MF|5|NF|=12|t1|5|t2|=12|t1t2|≥12－82.

綜上，△MNF面積的最小值是12－82.

解法6用直線參數t的幾何意義來表示△MNF的面積.這種解法需要設兩個參數，解題過程步驟繁瑣，運算量大，對學生能力的要求高.

3 總結

三角形面積的最值問題，通常先將面積表示為變量的函數，然后應用函數的性質或利用均值不等式求最值.用極坐標、直線參數方程的幾何意義解題，這種思路在近幾年的高考試題的解法中時有出現，常常可以達到讓學生思路清晰、簡化計算的作用.而前四種解法只需用圓錐曲線大題的通解通法即可.學生拿不了高分的主要問題是對通解通法的“步驟不熟悉”“思路不清晰”“運算能力欠佳”.教師應教會學生如何思考，如何算，注重學生運算能力的訓練，除了傳授數學知識、幫助學生訓練解題技能，還應加強學生數學思維的訓練和核心素養的培養.