函數方程轉化，合理變換主元

復雜的函數、方程或不等式等問題中一般含有常量、變量、參數等多個量.特別是基于函數或方程場景的代數式的最值（或取值范圍）求解與應用問題，在實際解題時，往往需要通過變換主元或指定主元等方式，突出某個變量或幾個變量的中心地位，給問題的解決提供更好的切入點與突破口，成為主元法解決問題的一種應用方式，也是解決代數式最值（或取值范圍）問題的一種基本應用技巧.

1 問題呈現

問題（2025屆浙江省9+1高中聯盟高三年級期中考試數學試卷·8）已知函數f（x）=（a－2）x2+bx－a+1（a，b∈R且a≠2）在區間[1，2]上有零點，則a2+b2的最小值為（）.

A.32

B.12

C.2

D.1

此題以含雙參數的二次函數為問題場景，借助該二次函數在給定區間上有零點來設置條件，問題看似簡捷易懂，結合多參數的創新與巧妙設計，進而求解雙參數的平方和的最值問題.

具體解決問題時，借助函數與方程之間的等價轉化，將問題轉化為對應的方程在給定區間上有解來處理，結合所求結果中涉及雙參數的關系式，合理變換主元，從平面解析幾何、平面向量及不等式等相關思維視角切入，合理加以放縮與轉化，實現雙參數的平方和的最值的確定.

2 問題破解

方法1：主元法+距離轉化法.

依題意函數f（x）=（a－2）x2+bx－a+1（a，b∈R且a≠2）在區間[1，2]上有零點，轉換主元整理可得方程（x2－1）a+xb+1－2x2=0在區間[1，2]上有解.

其中（a，b）表示坐標系aOb中直線（x2－1）a+xb+1－2x2=0（x看成參數）上的點，所以a2+b2表示坐標原點O到直線（x2－1）a+xb+1－2x2=0上的點的距離的平方.

坐標原點O到直線（x2－1）a+xb+1－2x2=0的距離d=|1-2x2|（x2－1）2+x2.

所以d2=4x4-4x2+1x4-x2+1=4－3x4-x2+1=4－3x2－122+34.

由于x∈[1，2]，則x2∈[1，4]，所以當x=1時，d2取得最小值4－31－122+34=4－3=1.

所以a2+b2≥d2≥1，即a2+b2的最小值為1.

點評：該解法中，在實現函數與方程的巧妙轉化后，依托主元法，利用平面解析幾何思維，將問題轉化為坐標系中涉及雙參數的直線上的動點到坐標原點的距離的平方問題，進而通過函數的恒等變換與取值限制來確定相應的最值.平面解析幾何思維中，巧妙利用不同距離之間的轉化來合理構建對應的不等關系，給問題的解決提供條件，實現雙參數的平方和的最值求解.

方法2：主元法+數量積轉化法.

依題意函數f（x）=（a－2）x2+bx－a+1（a，b∈R且a≠2）在區間[1，2]上有零點，則a（x2－1）+bx=2x2－1在區間[1，2]上有解.

設平面向量m=（a，b），n=（x2－1，x），利用平面向量的數量積及其基本性質，可得m·n=a（x2－1）+bx=2x2－1≤|m||n|=a2+b2·（x2－1）2+x2，整理為a2+b2≥（2x2－1）2（x2－1）2+x2=4x4-4x2+1x4-x2+1=4－3x4-x2+1=4－3x2－122+34.

由于x∈[1，2]，則x2∈[1，4]，所以當x=1時，a2+b2取得最小值4－31－122+34=4－3=1.

所以a2+b2≥1，即a2+b2的最小值為1.

點評：該解法中，在實現函數與方程的巧妙轉化后，依托主元法，利用平面向量思維，將問題轉化為平面向量中兩向量的數量積小于等于對應的模的乘積，利用數量積公式及其基本性質來合理切入，巧妙放縮與轉化，同樣利用函數的圖象與性質來分析與應用.平面向量思維中，巧妙利用數量積的運算與基本性質，可以合理構建對應的不等關系，實現雙參數的平方和的最值求解.

方法3：主元法+柯西不等式法.

依題意函數f（x）=（a－2）x2+bx－a+1（a，b∈R且a≠2）在區間[1，2]上有零點，則a（x2－1）+bx=2x2－1在區間[1，2]上有解.

結合柯西不等式，可得2x2－1=a（x2－1）+bx≤a2+b2·（x2－1）2+x2，所以有a2+b2≥（2x2－1）2（x2－1）2+x2=4x4-4x2+1x4-x2+1=4－3x4-x2+1=4－3x2－122+34.

由于x∈[1，2]，則x2∈[1，4]，所以當x=1時，a2+b2取得最小值4－31－122+34=4－3=1.

所以a2+b2≥1，即a2+b2的最小值為1.

點評：該解法中，在實現函數與方程的巧妙轉化后，依托主元法，利用不等式思維，將問題中相等關系借助柯西不等式的放縮，轉化為不等關系，實現不等式的構建與應用，并進一步利用函數的圖象與性質來分析與應用.不等式思維中，經常利用基本不等式、柯西不等式、權方和不等式等來合理放縮與轉化，進而實現雙參數的平方和的最值求解.

3 變式拓展

變式1已知二次函數f（x）=ax2+（2b+1）x－a（a，b∈R且a≠0），若f（x）－2在區間[1，2]上至少有一個零點，則a2+b2的最小值為.

答案：14.

變式2〔2024屆河南省鄭州外國語學校高三（上）第一次調研考試數學試卷〕設函數f（x）=ex+a（x－1）+b在區間[0，1]上存在零點，則a2+b2的最小值為（）.

A.e

B.12

C.7

D.3e

答案：B.

變式3（2025屆廣東省惠州市高三第二次調研考試數學試卷）若關于x的方程lnax+b2=x2+14有實數根，則a2+b2的最小值為.

解析：設關于x的方程ln ax+b2=x2+14有實數根t，則lnat+b2=t2+14，整理可得at+b2=et2+14.

在平面直角坐標系aOb中，設點P（a，b）是直線l：ta+12b－et2+14=0上的一個動點，根據平面解析幾何的幾何意義可知a2+b2=|OP|2.

坐標原點O到直線l的距離d=et2+14t2+14.

4 教學啟示

在相關數學問題中，常量與變量是相對的，二者在一定條件下可以互相轉換.特別是涉及多變量的函數、方程或不等式等相關的綜合應用問題中，要敢于打破常規，從多個變量中選擇合適的主元來特殊化處理，進而加以著重使力，便可以從模糊紛亂的思緒中找到堅定的方向，撥開云霧見青天.

變換主元法的技巧、方法，值得我們好好研究與認真品味.當然，任何方法都不是萬能的，使用變換主元法時需要考慮主元的取值范圍是否已知，以及各元之間是否存在牽制關系.