巧設(shè)問題，助推深度學(xué)習(xí)

摘要：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟，問題能引導(dǎo)學(xué)生思考，推動(dòng)其探究，促使其實(shí)踐，從而發(fā)展思維. 巧設(shè)問題驅(qū)動(dòng)，從而引發(fā)學(xué)生展開真思考、真探究、真表達(dá).本文中從一個(gè)核心問題出發(fā)，多維度深度探究，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，發(fā)展學(xué)生的高階思維，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)得以生成.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)；深度學(xué)習(xí)；高階思維

問題設(shè)計(jì)是思維觸發(fā)的基礎(chǔ)，問題探究是思維進(jìn)階的核心，問題遷移是思維升華的關(guān)鍵，課堂文化和思維評(píng)價(jià)是思維生長(zhǎng)的保障［1］.

1 問題呈現(xiàn)

問題1已知函數(shù)f（x）=x|x－a|.

（1）若a=1時(shí)，則函數(shù)f（x）在［0，2］上的最大值為.

（2）若f（x）在［0，2］上的最大值為1，則a=.

本題第（2）小問來(lái)自于浙江省學(xué)考，綜合考查含參、含絕對(duì)值二次函數(shù)的運(yùn)用，課堂上設(shè)置了低起點(diǎn)的第（1）小問作為過(guò)渡，用低階問題激發(fā)學(xué)生探究的興趣，也為解決第（2）問做好鋪墊.

2 問題破解

2.1 第（1）問的破解

由已知，可得

f（x）=x2－x，1≤x≤2，－x2+x，0≤x＜1.

函數(shù)f（x）的圖象如圖1所示，可知f（x）在0，12，（1，2）上單調(diào)遞增，在12，1上單調(diào)遞減，所以f（x）max=f（2）=2.

解后反思：通過(guò)第（1）問，復(fù)習(xí)鞏固絕對(duì)值的處理方法，啟發(fā)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，深入探究參數(shù)a和函數(shù)圖象之間的關(guān)系，以低階問題為起點(diǎn)，高階問題為導(dǎo)向，促進(jìn)學(xué)生深入思考，深度理解，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，助推高階思維的發(fā)展. 課堂上，教師與學(xué)生一起浸潤(rùn)式地探討，總結(jié)得到函數(shù)f（x）=x|x－a|圖象可能有如圖2所示的幾種情況.

2.2 第（2）問的破解

方法1：分類討論.

①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在［0，2］上單調(diào)遞增，則f（x）max=f（2）=4－2a=1，得a=32，不符舍去；

②當(dāng)a2≥2，即a≥4時(shí)，f（x）在［0，2］上單調(diào)遞增，則f（x）max=f（2）=2a－4=1，得a=52，不符舍去；

③當(dāng)a2＜2＜（1+2）a2，即4（2－1）＜a＜4時(shí)，f（x）max=fa2=a24=1，得a=2；

④當(dāng)0＜（1+2）a2≤2，即0＜a≤4（2－1）時(shí)，f（x）max=f（2）=4－2a=1，得a=32.

綜上所述，a=2或32.

解后反思：根據(jù)題設(shè)，學(xué)生最能直接想到的方法就是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)最值，難點(diǎn)在于分類討論時(shí)臨界點(diǎn)的找取. 對(duì)于小題，這樣的計(jì)算量，顯然不是最優(yōu)方法，這里可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入探究和思考.

方法2：必要性探路.

由已知可知f（x）的最大值可能在x=2，x=a2處取得.

若f（x）max=f（2）=2|2－a|=1，則a=32或a=52.

當(dāng)a=52時(shí)，f（x）=x[JB（|]x－52[JB）|]，此時(shí)f54=2516gt;1，不符合題意.

若f（x）max=fa2=a24=1，則a=2或a=－2.

當(dāng)a=－2時(shí)，f（x）=x|x+2|，此時(shí)f（2）=8gt;1，不符合題意.

經(jīng)檢驗(yàn)知，a=2或32符合題意.

綜上所述，a=2或32.

解后反思：通過(guò)必要性探路，縮小參數(shù)范圍，優(yōu)化運(yùn)算，學(xué)生馬上可以體驗(yàn)到此方法計(jì)算量相對(duì)于方法1急劇減少，但是需要較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合意識(shí)和分類討論能力.

方法3：轉(zhuǎn)換為最值問題，全分參.

將最值問題轉(zhuǎn)化為：

對(duì)于x∈［0，2］，f（x）≤1恒成立，且等號(hào)成立.

當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；

當(dāng)x∈（0，2］時(shí)，由x|x－a|≤1，得x－1x≤a≤x+1x，則只需x－1xmax≤a≤x+1xmin，且有一端等號(hào)成立即可，所以32≤a≤2且有一端等號(hào)成立，故a=32或a=2.

綜上，a=32或a=2.

解后反思：參變分離，把問題轉(zhuǎn)換為恒成立問題，要把握對(duì)最大值為1的理解——①x∈［0，2］，f（x）≤1恒成立；②x0∈［0，2］，使得f（x0）=1成立.

這里可以追問：若f（x）≤1在［0，2］上恒成立，則a的取值范圍為.

讓學(xué)生深入思考最值問題和恒成立問題的區(qū)別與聯(lián)系.

方法4：轉(zhuǎn)換為恒成立問題，半分參.

將最值問題轉(zhuǎn)化為：

對(duì)于x∈［0，2］，f（x）≤1恒成立，且等號(hào)成立.

當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；

當(dāng)x∈（0，2］時(shí)，不等式x|x－a|≤1恒成立，也即|x－a|≤1x恒成立，且等號(hào)成立.

函數(shù)y=|x-a|與y=1x的圖象如圖3所示.

由圖3可知，32≤a≤2且有一端等號(hào)成立，所以a=32或a=2.

綜上，a=32或a=2.

解后反思：轉(zhuǎn)化為V型函數(shù)y=|x－a|和反比例函數(shù)y=1x兩個(gè)基本函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，求出極限狀態(tài)時(shí)的情況，從而求出參數(shù)值.

3 深入探究

問題2若不等式2x2－（x－a）|x－a|－2≥0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.

方法1：必要性探路+分類討論.

令f（x）=2x2－（x－a）|x－a|－2.

由題意可知，只需f（x）min≥0即可.

必要性探路，得f（0）=a|a|≥2成立，則a≥2.

易得f（x）=x2+2ax－a2－2，x≥a，3x2－2ax+a2－2，x＜a.

若a≥2，由圖4知，f（x）min=fa3=23a2－2≥0.

解得a≥3，所以amin=3.

方法2：半分參.

由題意可知2x2－2≥（x－a）|x－a|對(duì)x∈R恒成立，由圖5可知y=2x2－2與y=－（x－a）2相切時(shí)，a取到最小值.

由2x2－2=－（x－a）2，得3x2-2ax+a2-2=0，則Δ=－8a2+24=0，解得a=3.

4 結(jié)論

合理設(shè)計(jì)問題，點(diǎn)亮學(xué)生的思維火花. 開展一題多解教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生多元化解題思維. 一題多解可以很好地幫助發(fā)散學(xué)生思維，引領(lǐng)學(xué)生從多個(gè)角度找到解題切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并從中選取最簡(jiǎn)便的計(jì)算方法［2］. 在融洽的探究氛圍中提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性，激發(fā)出他們的學(xué)習(xí)潛能. 教師要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的內(nèi)化吸收，構(gòu)建規(guī)范的知識(shí)架構(gòu)，提煉總結(jié)出適合自己的學(xué)習(xí)方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997：343，352.