大概念視角下的初中數學教學策略探究

摘要：本文中以數學本質為導向提煉大概念，以情境探究為載體激活大概念，以關鍵問題為驅動生成大概念，以鏈接現實為錨點應用大概念，構建了“提煉、激活、生成、應用”的大概念教學路徑及實施策略，以“探索勾股定理”教學為例進行實踐與反思，為大概念在初中數學教學中的應用提供了思路.

關鍵詞：初中數學；勾股定理；大概念；教學策略

1 研究背景

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課程標準”）強調教學要注重內容結構化，要聯系生活實際，培養學生在真實情境中解決問題的素養[1].顯然，結構化內容是根，無結構的知識或解題訓練，難以讓學生領悟本質，提升數學思維.

大概念（或大觀念）是體現專家思維，具有生活價值的概念、觀念或論題[2].相比“一般觀念”的探討內容，大概念更重視“觀念”層面，即帶有一定的主觀感受.雖然數學是嚴謹、客觀的，但學習作為一個主觀能動的過程，讓學生形成對數學知識的主觀感受是必要的.以大概念為核心，讓學生理解數學本質，構建知識體系是一種值得嘗試的方法.

但在目前教學中，對于大概念的定義，沒有形成統一，這就導致關于大概念教學的討論大多停留在理論階段，此類研究多注重以大概念視角的單元整體教學設計，而尚未真正落實到課時教學[34].

針對上述問題，本文基于單元整體思想，嘗試將大概念聚焦到課時中，構建“提煉、激活、生成、應用”的大概念教學路徑及實施策略.為了更好地闡明實施路徑和策略，本文中以“探索勾股定理”的教學為例進行實踐和反思.

2 大概念視角下的教學策略分析

在課時教學中落實大概念，應做到視角廣、切口小.

視角廣，是指在挖掘課時教學中的大概念時，既要結合自然單元提煉章節大概念，也要統整學段主題，挖掘主題大概念.所提煉的大概念應滿足統整性、遷移性、延展性等特征，如圖1所示.

切口小，指的是大概念雖從整體提煉，但教學不是直接告訴學生大概念，而是聚焦情境探究過程，以關鍵問題為驅動，幫助學生形成大概念，并積累案例或練習不斷強化大概念.

綜上所述，在課時教學中，大概念視角下的教學路徑如圖2所示.

首先，挖掘數學本質，提煉大概念.提煉大概念的一般步驟可整合為分析課程標準、聯系單元主題、結合學生學情、組織概念結構等四個步驟.

其次，通過情境探究，激活大概念.設計類比激活、興趣激活、探究激活等環節調動學生的興趣.情境探究要注重數學化，以生成大概念為目標，為學生提供足夠多的案例情境，為抽象大概念鋪墊基礎.

然后，提出關鍵問題，生成大概念.在學生積累了一些案例后，教師提出關鍵問題引發學生對本質的思考，生成大概念.問題的設置適度開放，發散學生的思維.同時，教師要注重啟發，促使學生批判性地去理解，從而自主建構大概念.

最后，解決真實問題，應用大概念.大概念是具體與抽象思維協同的過程，需要在解決真實問題的過程中反復感悟，強化理解.

3 聚焦大概念的課時教學實踐研究

3.1 以數學本質為導向，提煉大概念

實施大概念教學的最終目的是使學生理解內容本質，形成結構化知識體系，發展學科核心素養.因此，要以數學本質為導向，提煉大概念.

首先，解讀標準，明確內容.勾股定理屬于“圖形的性質”主題，要求是“探索勾股定理并解決一些簡單的實際問題”.“探索”一詞表示勾股定理的學習要經歷實驗探究、推理論證的過程，形成理性認識，指向培養學生的幾何直觀、推理能力.

其次，梳理勾股定理與自然單元的聯系，挖掘數學本質.本單元的主題是“特殊三角形”，內容是從圖形基本要素“邊”和“角”的視角，分別探究等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的特殊性質，而勾股定理是直角三角形中三邊特殊關系的體現，知識價值在于其是建立數形結合的紐帶之一.

然后，分析學情，以學定教.對于一般三角形，學生知道兩邊之和大于第三邊.對于特殊三角形，學生研究了等腰三角形、等邊三角形的特殊性質.對于直角三角形，已經研究了角的關系，其邊之間的關系自然也值得探究，從而，引導學生探索勾股定理.

最后，組織大概念.如圖3所示，從聯系單元或主題來看，勾股定理反映了直角三角形邊的關系，在知識上，體現了顯性大概念1——特殊三角形有特殊的邊角關系，是建立數形結合的紐帶”.形成大概念1，有助于建立幾何直觀和應用意識.而勾股定理的探索與證明過程，體現了隱性大概念2——數形結合有助于形成直觀或精準的數學模型.理解大概念2，有助于學生領悟等面積法、勾股定理應用中的數形結合思想，發展幾何直觀和推理能力.

綜上所述，教學過程中以大概念1為明線引出、推進和落實課程，并以大概念2為暗線激發學生探索精神和學習樂趣，感受數學之美.

3.2 以情境探究為載體，激活大概念

情境是初中數學學習的重要載體，是學生對知識的第一次直觀感知，合適的情境可以引發學生思考，從而激活大概念，主要方式有興趣激活、類比激活、矛盾激活、探究激活等.

教學片段1類比激活

師：特殊三角形是從哪些方面研究的？

生：從基本要素角、邊等方面.

師：我們是如何研究的，經歷了哪些過程？

生：實驗、猜想、論證，形成結論，并應用.

師：直角三角形我們已經研究了哪些基本要素之間的特殊關系？你覺得還有什么值得研究？類比上述過程，如何開展研究？

設計意圖：從回顧特殊三角形要素之間的關系，延伸到探索直角三角形邊之間的關系，激發學生對勾股定理的興趣，并理解其本質，激活大概念1.同時類比其他特殊三角形的研究過程，形成研究幾何圖形性質的一般路徑，提供方法支撐.

教學片段2興趣激活

師：公元前6世紀，畢達哥拉斯在派對上以一塊正方形地磚的對角線為邊作正方形A，觀察它與正方形地磚的面積關系，如圖4（1）所示，你有什么發現？

生：如圖4（2），通過割補可得正方形A的面積恰好是地磚面積的2倍.

師：如果以對角線所在直角三角形的兩條直角邊分別作正方形B和正方形C，那么這三個正方形的面積之間有什么關系？

生：易得SA=SB+SC.

師：如圖5（1），畢達哥拉斯繼續研究，那么這三個新的正方形面積是否有類似的關系？

生：同理，如圖5（2）割補可得SD=SE+SF.

師：由以上兩個案例，你有什么猜測？

生：以直角三角形的兩條直角邊所作的正方形面積之和等于以斜邊所作的正方形的面積.

師：如果轉化為三邊的數量關系呢？

生：猜測直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方……

設計意圖：結合數學史，以畢達哥拉斯的探索過程為線索，激發學生興趣，進一步體會生活中存在許多與數量和圖形有關的數學問題，通過實踐形成猜想，激活大概念1.

教學片段3探究激活

師：對于任意一個直角三角形，你能否利用四個相同的直角三角形來證明猜想的結論？請以四人小組為單位進行討論，并分享經驗.

生：參考圖5（2）的面積計算過程，反過來，可用四個相同的直角三角形拼成一個邊長為c的大正方形和一個邊長為（b-a）的小正方形，如圖6所示.由S大正方形=S小正方形+S四個直角三角形，得c2=（b-a）2+2ab，即a2+b2=c2得證.

生：可以拼成一個邊長為（a+b）的大正方形和一個邊長為c的小正方形，如圖7所示.由S大正方形=S小正方形+S四個直角三角形，得（b+a）2=c2+2ab，即a2+b2=c2得證.

教師示證：借助圖6介紹趙爽弦圖.圖7與畢達哥拉斯的方法類似.畢達哥拉斯的方法如圖8所示，由空白部分面積相等，得a2+b2=c2.

師：給出勾股定理定義，并準確應用.

設計意圖：以合作分享的探究形式展開，喚醒學生學習內驅力.基于圖5（2）的關鍵方法，自覺將數與形相結合，構建直觀的數學模型來解決.割補后采用等面積法，激活對大概念2中“數形結合有助于形成直觀數學模型”的認識.分享交流，在探索勾股定理的過程中體會解決問題的樂趣，增強數學信心，培養合作交流能力和勇于探索的精神.

3.3 以關鍵問題為驅動，生成大概念

反思過程，總結方法和本質，是生成和理解大概念的重要途徑.學生經過反思總結，提煉出案例共性，通過教師的關鍵問題或問題串，組織知識結構，進行批判理解，抽象出大概念.

教學片段4提出關鍵問題，領悟數學本質

師：你是怎么想到用是上述方法來證明勾股定理的？

生1：在猜想邊的關系時，我們由面積關系轉化得到了三邊關系.反之，要證明勾股定理，我就想到了和面積結合起來，利用等面積法，將三邊問題轉化為面積問題.

生2：利用等面積法，就要求出圖形面積，一般要構建規則的幾何圖形，所以我想到了割補法.然而，割補方式很多，可以形成很多規則圖形，所以想到證明方法1后，還可以聯想到證明方法2.

生3：等面積法不僅僅局限于一個圖形，例如畢達哥拉斯構建兩組面積相同但求法不同的圖形，這也是數形結合的一種思路.

師：數形結合解決問題，你感受到有何價值？

生4：數形結合能夠將抽象的問題轉化為直觀的模型，例如要證明邊長之間的關系，可以轉化為求面積之間的關系.

師：老師認同你們的觀點，而割補和等面積法是常用的數形結合途徑.

設計意圖：問題是數學的心臟，而開放性、批判性的問題能促使學生發散思維.用問題“你是怎么想到的？”代替回顧“證明勾股定理有哪些方法？”更能提升學生解決問題的思維，厘清過程的內在邏輯.結合學生觀點，聯系大概念，提出關鍵問題“數形結合有什么價值？”使學生理解大概念2中“以形助數”的觀念.

教學片段5組織知識結構，充實概念生成

師：回顧一下我們認識了哪些特殊三角形？

生：等腰三角形、等邊三角形和直角三角形.

師：它們分別有怎么樣的邊角關系？是否所有三角形都可以用勾股定理？

生：我們探究的是直角三角形，其他三角形應該不滿足.

教師示證：如圖9所示（提供的數據為一定設置下的結果），利用幾何畫板分別展示銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形三邊平方的關系，發現勾股定理只適用于直角三角形.最后，梳理特殊三角形中的邊角關系，如表1所示.

AB=3.86 cmDE=2.31 cm GH=4.55" cm

AC=3.43" cmDF=3.29 cmHI=2.66" cm

BC=3.40 cmEF=4.88 cmGI=5.27 cm

BC2=11.56 cm2DE2=5.34 cm2GH2=20.71 cm2

AB2=14.88 cm2DF2=10.83 cmHI2=7.10 cm2

AC2=11.76 cm2EF2=23.82 cm2GI2=27.81 cm2

GH2+HI2=27.81 cm2

設計意圖：利用信息技術手段構建直觀模型，并對知識進行梳理，形成框架，促進學生對勾股定理的理解，明確其適用范圍和價值，進一步同化大概念1，并以大概念為核心有條理地組織知識結構，形成結構化的穩定知識體系.

3.4 以鏈接現實為錨點，應用大概念

教學片段6解決真實問題

一個劣構的真實情境：有沒有同學測過旗桿到底有多高？很明顯直接用尺測量是不現實的，請同學們以四人小組為單位設計一個測量旗桿高度的方案，并分享.

參考方案：如圖10，將旗桿頂端繩子豎直拉到地面，測得多出1 m，將繩子拉開，使其恰好接觸地面，測得拉開距離為5 m.設旗桿高度AB=x，則AC=x+1，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即x2+52=（x+1）2，解得x=12（m）.

設計意圖：真實生活中的問題往往是劣構的問題，涉及的情境比較復雜.通過解決真實性問題，學生能夠體驗利用勾股定理和方程解決實際問題的過程，形成“勾股定理是數形結合的紐帶”的大觀念，充實大概念1，并理解大概念2中“數形結合不僅能以形助數構建直觀模型，也能以數助形精準闡明幾何屬性”的內涵，從而發展幾何直觀與推理能力.

4 反思與啟示

4.1 部分聯系整體，形成大概念教學意識

經過教學實踐和反思可知，教師在課堂教學中一定要進行宏觀把握，通過提煉并圍繞學科大概念構建課堂，引導學生理解數學本質，杜絕知識的無序堆疊.如本節課以數學大概念為核心，將勾股定理與特殊三角形的特殊邊角關系聯系起來，促使知識結構化，探究過程又強化了數形結合思想.

然而，大概念的形成過程需要長期積累，僅在一節課中很難培養和體現，因此基于單元整體思想，串聯多個課時教學，是落實大概念教學的主要手段.當然，解讀學段、跨學段的教材，形成整體意識設計單元課程，對一線教師來說是一個較大的挑戰，但正是這樣的終身學習觀念，才能促使教師不斷進步，落實國家的教育方針.

4.2 學科鏈接現實，經歷真實性學習過程

懷特海在《教育的目的》中提到，“教育只有一個主題，那就是五彩繽紛的生活”.隨著新課程標準的發布，這一觀念越來越被認同.數學作為認識世界的重要工具，其教育更要緊密聯系實際生活，注重知識的高通路遷移，如本節課結合數學史進行探究、解決真實性問題等環節，搭建了知識與現實的橋梁，培養學生在復雜情境下解決問題的能力.

新課程標準背景下，大概念教學是落實學科核心素養的途徑之一.在傳統的課時教學中，教師也可以應用“提煉、激活、生成、應用”的大概念教學路徑，以理解大概念為抓手，實施結構化教學.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]劉徽.大概念教學：素養導向的單元整體設計[M].北京：教育科學出版社，2022：33.

[3]王惠.基于學科“大概念”的初中數學教學[J].教學與管理，2021（22）：6466.

[4]斯海霞，葉立軍.大概念視角下的初中數學單元整體教學設計——以函數為例[J].數學通報，2021，60（7）：2328.