新課標背景下化歸思想在初中數學中的應用

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，要求教學過程以學生為中心，注重培養學生數學思維邏輯等核心素養.圓周角的教學內容主要涉及定義與定理的理解與掌握，以及相關題型的求解.傳統教學活動利用“提供表象-下定義”的模式，學生只能夠了解定義、定理，對于其深層次的推導過程并不熟悉.而利用化歸思想，轉換教學思路，能夠幫助學生理解定義、定理的推導過程，加深印象，提高教學成效，實現核心素養培養目標.

關鍵詞：新課標；化歸思想；初中；數學

化歸思想簡單來說便是轉化與歸結的結合，其核心是將未知問題轉化為已知問題，將復雜問題轉化為簡單問題，實現化難為易、化繁為簡[1].在數學中，化歸思想被廣泛應用于各個領域，如代數、幾何、三角函數、微積分等.通過化歸思想，可以更快地找到解決問題的方法，提高解題效率.在初中數學教學活動中，同樣會遇到較為特殊的數學題目，使用常規解題方法，難以快速高效地完成問題解答.為此，教師需要引導學生轉換解題思路與方法，利用化歸思想，找尋解題新切入點，完成問題解答.

1 應用化歸思想，開展定義教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱為“新課標”）中要求培養學生的數學思維能力，但傳統教學方法通常只注重學生對相關知識的掌握情況，而忽略對學生思維能力的培養.在蘇科版九年級上冊“圓周角”教學活動中，教學內容主要涉及圓周角概念、定理等基礎知識.教材中，將圓周角定義為“頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角”[2].傳統教學中，通常是教師先畫出圖形，根據圖形解釋圓周角定義.相對來說，在圖形的直觀呈現下，學生對圓周角的定義能夠有直觀的了解，并能夠記住這一定義，但學生通常“知其然，而不知其所以然”.

為落實新課標數學思維能力的核心素養培養要求，教師需要轉變教學思路，為學生提供足夠的思考空間，以發揮其主觀能動性，自主探索圓周角定義.應用化歸思想的圓周角定義教學，傳統教學方法為“提供表象（畫圖）-下定義（解釋圓周角定義）”，而在新課標背景下，為培養學生數學思維邏輯，教師可以采用“探索-建立表象-下定義”的教學流程.首先，在教學開始階段，教師可以提出問題：“平面幾何中，簡單來說，便是研究點、線、面、角以及它們之間的相互關系，如果以一個圓為基礎，那么能夠構建出幾種與圓有關的角？”利用開放性問題，引導學生打開思路，自主動手繪制圖形.學生在繪制圖形時，通常腦海中并不具備清晰的表象，只能夠一邊探索，一邊構建表象.而與圓相關的角通常只有以下四種（如圖1）.

學生在探索過程中，可以發現具有一定特殊性的圓為圖1①②兩種（即圓周角與圓心角），此時學生腦海中已經有清晰的表象，教師可以順勢講解圓周角的定義，這樣學生能夠快速接受并深刻記憶圓周角定義.通過此方法，學生思維模式實現了轉化，為數學邏輯思維的培養打下基礎.

2 利用轉化思想，開展定理教學

教材中，圓周角定理可以理解為“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，且都等于該弧所對的圓心角的一半”.在圓周角定理教學中，同樣也可使用化歸思想.學生在探索圓周角與圓心角之間的關系時，通過直觀的目測，必然無法直接得到二者之間的數量關系.從本質上來看，兩角之間的關系，是利用“數”來描述“形”，這本身便是化歸思想的表現.另外，學生基于幾何直觀進行目測，是感性的產物，而圓心角與圓周角之間的關系，是邏輯的產物，其中涉及直覺轉換為邏輯、感官轉換為推理，本質上也契合化歸思想.為此，在教學實踐中，為促使學生對圓周角定理有更為深刻的了解與記憶，教師可以利用化歸思想，將未知的圓周角定理，轉化為已知的內容，進而求證定理.

例如，教師可以引導學生觀察所要證明的圓周角定理，并嘗試將其轉化為已知的等腰三角形和“三角形的外角等于不相鄰的兩個內角之和”等知識.以便能夠將未知問題轉化為已知問題，便于學生求證.隨后，教師可以利用等腰三角形的性質和外角的性質，引導學生逐步推導出定理的結論.此過程中，需要讓學生明確每一步推導的依據和意義，并鼓勵學生積極參與推導過程，加深對定理的理解.最后，當學生成功證明了定理，教師可以引導學生總結證明過程，并思考是否可以通過其他方式證明定理，以便能夠培養學生的數學思維與創造性，提高數學核心素養.

例1如圖2，OA，OB，OD為⊙O的半徑，AD為直徑，則∠AOB與∠ADB之間有何數量關系？

解析：根據已知條件可得△AOB與△BOD均為等腰三角形，其中∠ODB=∠OBD.∠AOB為△BOD外角，根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”，可知∠AOB=∠ODB+∠OBD，因此∠AOB=2∠ODB，其中∠AOB為圓心角.又AD為直徑，則∠ODB可表示為∠ADB.由此可驗證圓周角定理.

例2如圖3，∠BOC與∠BAC分別為弧BC所對應的圓心角與圓周角，求證∠BOC=2∠BAC.

解析：如圖4，連接AO并延長，交⊙O于點D，OA，OB，OC為半徑，則∠3=2∠1，∠4=2∠2，所以∠3+∠4=2（∠1+∠2），即∠BOC=2∠BAC.

3 從特殊到一般，拓展解題思路

在初中數學解題過程中，學生難免會遇到較為特殊的問題，如可能涉及到一些不常見的數學概念或者復雜的數學關系.而依靠傳統的教學模式，按照一定的步驟與方法去解決此類特殊問題，學生的解題思路將會受到極大制約.對于不熟悉的題型，學生可能會感到無從下手，不知道如何去分析和解決問題，或難以在短時間內理清解題思路，從而導致解題效率低下.長此以往，學生會感到數學很難，無法從中獲得成就感，進而影響到學習積極性.而利用化歸思想，引導學生找到問題中的已知知識點，并以此為出發點，將未知問題轉化為已知問題，能夠幫助學生拓寬解題思路，更為快速、準確地解決問題.縱觀以往較為困難的中考數學題，本質上都是考查相關概念與定理的綜合運用，學生在充分了解有關定理與定義后，通過分析問題中的已知條件，可以更好地理解題目的本質，找到解題的關鍵點，從而解決較為困難的問題.

例3如圖5，在△ABC中，OA=OB=OC，求∠ACB的度數.

解題思路：根據已知條件OA=OB=OC，可利用圓的特點，以O為圓心，OA為半徑畫圓，則A，B，C為圓上的三個點，AB為圓的直徑，則∠ACB為圓周角.根據圓周角定理“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等”，可得∠ACB=90°.

該題看似與圓周角無關，但實際上其本質是圓周角的變化.針對此類題型，如果學生僅憑三角形的相關知識來解答，可能會需要進行復雜的計算和推理.而利用化歸思想，將問題轉化為與圓周角相關的問題，則解答過程就會變得更加簡單和直觀.在例3中，如果只考慮三角形的性質，可能需要通過計算三角形其他兩個內角的度數來間接求出∠ACB的度數.而利用化歸思想，根據已知條件OA=OB=OC，可以推斷出點A，B，C都在以O為圓心，OA為半徑的圓上.因此，∠ACB就是相應圓心角的一半，根據圓周角定理可以快速得出∠ACB=90°的結論.

因此，在圓周角教學實踐中，教師需要引導學生善用化歸思想，將未知問題轉化為已知問題，從而拓寬解題思路.同時，在實踐應用過徑中，化歸思想的不斷運用，對于學生的數學思維能力以及創新能力都能起到提升作用，從而實現新課標對核心素養培養的要求.

綜上所述，在圓周角教學過程中，化歸思想的運用，能夠促使學生快速了解圓周角的定義與定理的推導過程，加深記憶，同時在相關問題的解答過程中，利用化歸思想，能夠快速解題，從而達到運用自如的目的.

參考文獻：

[1]崔偉.化歸思想方法在初中數學教學解題中的應用探索[J].數學之友，2023，37（2）：6061.

[2]袁婕妤.化歸思想在初中數學解題教學中的實踐應用[J].數理天地（初中版），2024（1）：9192.