數形結合思想在初中數學三類題型中的應用特征及教學應對

摘要：數形結合思想是學生應當具備的重要思想之一.文章從幾何圖形、平面直角坐標系、函數圖象三個方面對初中數學數形結合思想的應用特征進行分析，并得出教學應對策略.

關鍵詞：初中數學；數形結合思想；教學應對

1 幾何圖形中的數形結合思想

如圖1，M為Rt△ABC斜邊AB的中點，等腰三角形MBD的底邊BD與AC交于點P，若∠A=30°，則PBPD的最小值為（）.

A.1 B.3 C.2 D.3

試題點評：這道題巧妙結合了幾何圖形與代數運算，通過數形結合思想的應用來求解PBPD的最小值，充分考查學生對圖形和數之間內在聯系的理解.首先，利用∠A=30°這一條件，可以推導出直角三角形的邊長關系，通過幾何構圖，將斜邊AB、底邊BD及角度關系直觀地呈現出來.在此基礎上，通過分析三角形中的相似性與對稱性，進一步利用代數手段將幾何關系轉化為數量關系，即將圖形中的長度比值問題轉化為代數式的求解問題.這一過程正是數形結合思想的體現，通過幾何圖形提供的直觀信息，構建代數表達式，從而求解數值結果.這種考查方式不僅讓學生在圖形中找到代數關系，也要求他們能夠通過代數手段驗證幾何結論，深刻理解數形結合思想的精髓.

2 平面直角坐標系中的數形結合思想

為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練，在某次試投中鉛球所經過的路線是如圖2所示的拋物線的一部分.已知鉛球出手處A距離地面的高度是1.68 m，當鉛球運行的水平距離為2 m時，達到最大高度2 m的B處，則小丁此次投擲的成績是m.

試題點評：試題通過鉛球的拋物線運動軌跡，巧妙地體現了平面直角坐標系中的數形結合思想.題目中給出了鉛球的出手高度和最大高度，以及相應的水平距離，要求求解投擲成績，即拋物線在水平軸上的截距.通過數形結合思想，學生需要將物理中的運動過程與數學中的拋物線方程聯系起來.題目提供了拋物線的兩個關鍵點，即鉛球出手處的高度（1.68 m）和最大高度（2 m），對應的水平距離分別為0 m和2 m.通過這些信息，學生可以設定拋物線的頂點形式，并將已知點代入，解出方程中的參數.這一過程中，平面直角坐標系幫助學生將實際的運動路徑形象化為拋物線的圖形，而數形結合思想則通過構建拋物線方程，將幾何圖形中的點與代數表達式相聯系，最終解出鉛球落地時的水平距離.該題考查學生在平面直角坐標系中將幾何形狀與代數方程相結合的能力.

3 函數圖象中的數形結合思想

如圖31，工人正在用撬棒撬石頭，撬棒是杠桿，O為杠桿的支點.當支點和石頭的大小不變時，工人師傅用的力F與其力臂l之間的關系式為F=kl，其圖象如圖32所示，點P為F=kl圖象上一點，過點P作PM⊥x軸于點M，S△OPM=20 000 cm2.若OA=40 cm，撬棒與水平地面的夾角為30°，則這塊石頭重力為N.

試題點評：這道題以杠桿原理為背景，通過函數圖象體現了數形結合思想的應用.題目給出了力F與力臂l之間的反比例函數關系式F=kl，并在圖象中表示出來，通過幾何構圖和函數關系的結合，考查學生對數形結合思想的理解和應用.在解題過程中，學生首先需要理解反比例函數F=kl的圖象特性，并結合幾何構圖進行分析.題目中要求求解的三角形OPM的面積涉及函數圖象中點P及其對應的幾何關系，學生需要將函數圖象中的點P的坐標與力F和力臂l的物理量相結合，通過圖象分析及代數計算得到相應的物理量1.

4 數形結合思想在試題中的應用特征

4.1 通過圖形直觀揭示代數關系

在幾何圖形、平面直角坐標系和函數圖象的例題中，數形結合思想的一個共同特征是通過圖形的直觀性揭示代數關系或方程的內在聯系.例如，撬棒問題中，力F與力臂l的關系F=kl被圖形清晰地表達為一條反比例函數曲線，這使得學生能夠通過觀察圖象，理解力與力臂之間的變化關系.在鉛球運動例題中，拋物線的軌跡不僅直觀展示了鉛球運動的路徑，還通過頂點形式的方程揭示了鉛球運動的最高點和出手點的代數關系.這種通過圖形揭示代數關系的過程，是數形結合思想在各類試題中的共同特征.

4.2 將代數問題轉化為幾何問題或通過幾何圖形進行代數運算數形結合思想的另一個相同特征在于，它能夠將代數問題轉化為幾何問題，或通過幾何圖形進行代數運算.在幾何圖形例題中，利用幾何圖形中的比例和相似性，將幾何關系轉化為代數表達式，從而求解PBPD的最小值.在平面直角坐標系有關例題中，學生通過拋物線方程的代數形式，結合幾何位置關系（如頂點、交點）計算鉛球的投擲距離，解決實際問題.而在函數圖象的例題中，圖象不僅用于展示函數關系，還通過幾何圖形中的面積計算，將代數關系與實際物理量（如石頭的重力）相結合，完成運算.

這兩個特征反映了數形結合思想在各類數學問題中的核心作用：它通過圖形直觀化復雜的代數關系，并通過圖形分析與代數運算相結合，幫助學生解決實際問題.

5 教學應對

5.1 強化數形結合思想的基礎訓練，注重幾何直觀與代數運算的雙向轉換在教學中，教師應注重通過基礎訓練來強化學生對數形結合思想的理解和應用能力，特別是在幾何直觀與代數運算之間的雙向轉換上.在幾何圖形中，通過對幾何圖形中比例、相似性等關系的反復練習，促使學生能夠從幾何直觀中迅速提取出相應的代數表達式，從而解決問題.類似地，在平面直角坐標系中，教師可以通過設置一系列拋物線、圓、直線等的應用題，指導學生從代數方程推導幾何位置關系，或通過幾何位置關系反推代數表達式的形成過程.在函數圖象的教學中，教師應設計多樣化的練習，如通過繪制函數圖象促使學生直觀感受函數性質，或通過圖象中的幾何特征（如面積、截距、斜率）進行代數推導.這種雙向轉換的訓練不僅能夠鞏固學生對數形結合思想的理解，還能使他們在遇到復雜問題時，能夠靈活運用幾何直觀和代數運算之間的聯系，提升解題效率.

5.2 創設真實問題情境，加強數形結合思想在實際應用中的綜合訓練教師在教學中應創設真實問題情境，使學生能夠將數形結合思想應用于實際問題的解決中.例如，在講解幾何圖形中的數形結合時，教師可以設置與日常生活密切相關的應用題，通過實際場景的模擬，引導學生體會幾何圖形與代數運算在解決實際問題中的重要性.在平面直角坐標系中，可以通過設定與運動軌跡相關的情境問題，幫助學生將代數方程與實際運動相結合.在函數圖象的教學中，教師可以將經濟學中的供需曲線、物理學中的力與力臂的關系等情境引入課堂，通過函數圖象分析現實中的問題.這種綜合訓練不僅能夠激發學生的學習興趣，還能夠提升他們將數形結合思想應用于復雜實際問題的能力，使他們在面對多元情境問題時，能夠迅速識別出問題的幾何和代數特征，并通過數形結合思想進行有效的分析與解決.

參考文獻：

[1]周嶺，許璐.例談“數形結合”思想在高考數學中的應用[J].中學數學，2024（5）：3940.