中學數學中三角函數解題思路的突破

【摘要】本文重點圍繞三角函數的基本知識，總結了常見題型中有效的解題技巧，并對解題思路進行剖析，旨在培養學生的數學綜合思維，掌握三角函數的綜合解題技巧.

【關鍵詞】三角函數；初中數學；解題策略

1"引言

三角函數作為數學中的重要分支，廣泛應用于幾何、物理、工程及計算機科學等多個領域.其解題技巧的掌握，不僅能夠提升解題效率，還能增強對相關知識的理解與應用能力.深入研究和總結三角函數的常見解題方法，能夠幫助學生在面對復雜題目時更加得心應手.

2"巧用“托底”，妙解難題

在三角函數的化簡或證明過程中，常常需要通過引入分母來簡化或轉換表達式，尤其是當考生需要將含有正切（tan）或余切（cot）與正弦（sin）或余弦（cos）函數的式子互相轉換時.這種添加分母的技巧叫作“托底法”.具體做法如下.

例1"已知：tanα=3，求sinα－3cosα/2sinα+cosα的值.

分析"在求解過程中，表達式中包含了正切（tg）與余弦（cos）函數，通常可以通過將分子和分母同時除以余弦函數來“引入”正切，從而達到轉換的目的，這就相當于“托底”操作.

解"由于tanα=3α≠kπ+π/2cosα≠0，

故，原式=sinα/cosα－3·cosα/cosα/2·sinα/cosα+cosα/cosα=tanα－3/2tanα+1=3－3/2×3+1=0.

例2"設0lt;xlt;π/2，0lt;ylt;π/2，且sinxsiny=sin（π/3－x）sin（π/6－y），求（tanx－√3/3）（tany－√3）的值.

分析"這道題屬于典型的通過已知的正弦函數等式求含正切或余切的表達式的題型.因此，可以使用“托底法”來解答.

解"由已知等式兩邊同除以sinxsiny得：

sin（π/3－x）sin（π/6－y）/sinxsiny=1

sinπ/3cosx－cosπ/3sinx/sinx·

sinπ/6cosy－cosπ/6siny/siny=1

1/4·√3cosx－sinx/sinx·cosy－√3siny/siny=1

1/4（√3cotx－1）（coty－√3）=1

√3/4（cotx－√3/3）（coty－√3）=1

（cotx－√3/3）（coty－√3）=4/3√3.

解題思路總結

“托底”方法主要用于將含有正弦、余弦函數的表達式與含有正切、余切函數的表達式相互轉換.在正切和余切與正弦、余弦之間存在比值關系的情況下，可以通過“托底”來實現它們的互化.

3"形如“acosx±bsinx”通解法

acosx±bsinx的表達式中，因為正弦和余弦的取值范圍都是[-1，1]，所以在處理極值問題時可以考慮這種形式.然而需要注意的是，不能直接將a當作sin A，將 b 當作cos A，在某些表達式中，不能簡單地設定sin A = 3，cos A = 4.考慮到正弦和余弦的取值范圍是有限的[-1，1]，可以通過合理的方式處理這些表達式.

acosx±bsinx=√a2+b2

（a/√a2+b2cosx±b/√a2+b2sinx）

由于（a/√a2+b2）2+（b/√a2+b2）2=1，

故可設：sinA=a/√a2+b2，

則cosA=±√1－sin2A，

即：cosA=±b/√a2+b2，

所以acosx±bsinx=√a2+b2（sinAcosx±cosAsinx）=√a2+b2sin（A±x）.

無論A±x取何值，-1≤sin（A±x）≤1，

－√a2+b2≤√a2+b2sin（A±x）≤√a2+b2

即－√a2+b2≤acosx±bsinx≤√a2+b2.

下面觀察此式在解決實際極值問題時的應用.

例3"求：函數y=√3cos2x－sinxcosx的最大值為（""）

（A）1+√3/2."""（B）√3－1.

（C）1－√3/2."（D）√3+1.

分析"sinxcos=1/2·2sinxcosx=1/2sin2x，再想辦法把cos2x變成含cos2x的式子：cos2x=2cos2x－1cos2x=cos2x+1/2.

于是：y=√3·cos2x+1/2－1/2sin2x =（√3/2cos2x－1/2sin2x）+√3/2，

設：sinA=√3/2，cosA=1/2，

則y=sinAcos2x－cosAsin2x+√3/2

=sin（A－2x）+√3/2.

無論A-2x取何值，都有-1≤sin（A-2x）≤1，

故－1+√3/2≤y≤1+√3/2，

所以y的最大值為1+√3/2，即答案選（A）.

4"結語

通過將表達式中的某些變量轉化為含有正弦或余弦的形式，可以限制這些三角函數的取值范圍（即[-1，1]）來確定整個表達式的極值.關鍵在于，盡管我們可能將某個變量設為正弦或余弦的形式，但必須意識到正弦和余弦的值不能超出[-1，1]的范圍.具體而言，通過設定合理的替代變量，并將其轉化為含正弦或余弦的式子，就可以應用三角函數的性質來求解極值.通過觀察和分析，得出相關式子中的最大或最小值時，可以有效利用三角函數的極值特性來判斷最終的結果.本文總結了兩種三角函數常用的解題技巧，包括“托底”法的應用、形如“acosx±bsinx”題型的解決思路，所述不僅有助于簡化復雜問題，還能幫助學生在考試和實際應用中迅速找到解決方案.

參考文獻：

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