“構(gòu)造輔助圓”在初中平面幾何解題中的應(yīng)用

【摘要】“構(gòu)造輔助圓”是初中數(shù)學(xué)平面幾何解題的重要工具，可以將各種幾何難題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題，并利用圓的性質(zhì)求解，這種方法能夠簡化解題過程，提升解題效率.

【關(guān)鍵詞】輔助圓；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

平面幾何作為初中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵組成部分，既是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點也是難點.在解決平面幾何問題時，需要運用多種解題技巧和方法，其中，“構(gòu)造輔助圓”是一種非常有效的解題策略，它能夠?qū)?fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的問題，并利用圓的幾何特性進行求解.本文深入分析了“輔助圓”在線段長度求解和角度求解中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生更好地掌握解題技巧，降低解題難度.

1"“輔助圓”在線段長度求解中的應(yīng)用

在求解線段長度的問題時，可以通過利用具有相同端點的線段來構(gòu)造輔助圓，即以該端點所在位置為圓心，選取與該線段長度相等或為其一半的線段作為直徑或半徑，構(gòu)建輔助圓后，根據(jù)圓的基本性質(zhì)來求解線段的長度[1].

例1"如圖1，正方形ABCD的邊長為6，點E、F分別在線段BC、CD上，且CF=4，CE=2，若點M，N分別在線段AB和AD上運動，P為線段MF上的點，在運動過程中，始終保持∠PEB=∠PFC，則線段PN的最小值為_____．

解析"結(jié)合題干信息需要先證明C、E、P、F四點共圓，取EF的中點O為圓心，以EF為直徑作⊙O，如圖1所示，連接OP和ON，可知當(dāng)ON最小，且O、P、N三點共線時，PN最小.

因為∠PEB=∠PFC，∠PEC+∠PEB=180°，所以∠PEC+∠PFC=180°．

因為四邊形ABCD為正方形，所以∠BCD=90°，∠EPF=360°－180°－90°=90°，

因為△EFC和△EPF為直角三角形，取EF的中點為O，所以O(shè)P=OE=OF=OC，所以C、E、P、F四點共圓．

因為PN≥ON－OP，OP為定值，所以當(dāng)ON最小，且O、P、N三點共線時，PN最小．

過O作OH⊥BC于點H，延長HO交⊙O于P′，交AD于N′，而CE=2，所以EH=1/2CE=1．

因為∠ECF=90°，而CF=4，所以EF=√CE2+CF2=2√5，所以O(shè)E=√5．

因為∠OHE=90°，所以O(shè)H=√OE2－EH2=√5－1=2，所以O(shè)N′=HN′－OH=CD－OH=6－2=4，所以P′N′=ON′－OP′=4－√5．

2"“輔助圓”在角度求解中的應(yīng)用

在求解平面幾何中的角度問題時，可以將公共點作為頂點，構(gòu)造三角形的外接圓.在構(gòu)建輔助圓的過程中，需要清晰地明確三角形與輔助圓之間的幾何關(guān)系.

例2"已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，△DEB是等邊三角形．

如圖2，若∠ACB=60°，點D在△ABC內(nèi)部，且點E、D、C三點共線，連接DC，DA，當(dāng)DC/AD的值最大時，請直接寫出tan∠DAC的值．

解析"根據(jù)△DEB為等邊三角形，可以得出∠BDC=120°，推導(dǎo)出點D的軌跡是△BDC的外接圓，如圖3所示.

因為△BDE為等邊三角形，所以∠BDE=60°．因為點E、D、C三點共線，所以∠BDC=120°，所以點D的運動軌跡是圓弧，過B、D、C作圓，延長AD交圓于點P，連接CP、BP，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，證明△ACD∽△APC，得出比例式DC/AD=PC/AC，因為AB=AC，∠ACB=60°，所以△ABC為等邊三角形．因為∠DBC+∠DCB=60°，∠DCB+∠ACD=60°，所以∠DBC=∠ACD．因為∠A=∠A，所以△ACD∽△APC．當(dāng)DC/AD最大時，即PC/AC的值最大．因為AC為定值，所以當(dāng)PC為直徑時為最大值.所以∠PDC=∠PBC=90°，所以∠ADC=∠ACP=90°．因為∠BDC=120°，所以∠BPC=60°，所以tan∠DAC=PC/AC=PC/BC=2√3/3.

3"結(jié)語

通過對“構(gòu)造輔助圓”在平面結(jié)合解題中的應(yīng)用展開討論，發(fā)現(xiàn)其在解幾何問題中的優(yōu)勢，幫助學(xué)生更好地挖掘集合圖形中隱藏條件，將原本分散、復(fù)雜的幾何關(guān)系集中起來，簡化解題過程，提升解題效率.

參考文獻：

[1]許芝娟.“圓”來如此簡單——利用輔助圓求線段的最值[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（22）：7-9.