瓜豆原理——主從動點問題

【摘要】初中數學中有一類動態問題叫作主從聯動，有的教師稱其為瓜豆原理，這類問題往往考查形式多樣，題目綜合性強，尤其是從動點的位置不好判斷，解答的過程中讓人摸不著頭腦.在解答時需要具備軌跡思想，即先要明確主動點的軌跡，然后搞清楚主動點和從動點的關系，進而確定動點的軌跡以解決問題.本文以一道中考數學幾何綜合題的解題過程進行綜合分析，體會相關主從動點問題的解題思路以及其中蘊含的數學思想.

【關鍵詞】瓜豆原理；初中數學；最值問題

1"引言

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（按照某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌跡相同.這種主從聯動軌跡問題，被稱為瓜豆原理、瓜豆模型.定點定角定比例，是瓜豆模型的三要素.它一般滿足三類條件：1.兩動一定；2.動點與定點的夾角是定角；3.動點到定點的距離比值是定值.本文以一道中考數學幾何的相關問題為例進行探究.

2"中考數學圓形綜合題解析

例1"如圖1，在正方形ABCD中，AB=4，點M是BC邊上一動點，以CD為邊在正方形內部作等邊△PCD，以DM為邊在線段DM上方作等邊△DMN，連接AN，點Q在線段BC上，連接PQ，∠PQB=60°，求點M運動過程中AN長度的最小值.

解題指導

動點問題中求解最值問題，需要找到定點與固定夾角，結合“主動聯動”模型判斷點M運動過程中點N的運動軌跡.即當點M與點C重合時，點N與點P重合，當點M變化時，通過構造△PDN≌△CDM（如圖2）（根據做題經驗，若圖中給出兩個等邊三角形，一般會用到兩對應邊相等，共同角相加或相減的方法得到全等三角形）；得到一個直角，接著通過計算角度再得到一個90°，可以得到N，P，Q三點共線，求得動點與定點的夾角.

如圖3，連接NP，延長DA交NP于點E，過點A作AN1⊥NP于點N1.

因為△PCD，△DMN為等邊三角形，

所以DN=DM，DP=DC，

∠NDM=∠PDC=60°

所以∠NDP+∠PDM=∠PDM+∠CDM=60°，

所以∠NDP=∠CDM，

所以△PDN≌△CDM（SAS）.

所以∠DPN=∠DCM=90°.

因為∠PQB=60°，∠PCB=30°

所以∠CPQ=30°，

所以∠CPD+∠CPQ=60°+30°=90°.

所以N，P，Q三點共線，那么可以說主動點M所在直線與從動點N所在直線的銳角夾角為60°，

所以當點M在邊BC上運動時，點N在直線NP上運動，

所以當點N與點N1重合時，AN取得最小值.

因為四邊形ABCD是正方形，AB=4，

所以AD=PD=AB=4，

因為∠ADP=∠ADC－∠PDC=30°，

所以∠DEP=60°，

在Rt△DEP中，DE=PD/sin60°=8√3/3，

所以AE=DE－AD=8√3/3－4，

在Rt△AEN1中，AN1=AE·sin60°=4－2√3，

所以點M運動過程中線段AN長度的最小值為4－2√3.

分析"本題求解較為簡單，使用圓的相關性質就可直接求出，同時學生也需要注意解題中的輔助線思想，跳脫出圖像的固有模式，從問題出發思考解題方法.本題的關鍵在于①結合“主從聯動”模型判斷點M運動過程中點N的運動軌跡：當點M與點C重合時，點N與點P重合，當點M變化時，通過構造△PDN≌△CDM，并求證NP⊥DP；②根據“點到直線的最短距離”求解：已知點A為定點，點N的運動軌跡為直線，求AN的最小值，即求點A到直線NP的距離AN1，利用特殊角的三角函數數值和直角三角函數就可以得出AN1的值.

例2"如圖4，已知AC是菱形ABCD的對角線，∠BAD=120°，點E是BC邊上一動點，將EA繞點E順時針旋轉60°，交CD于點G，說明線段CE與DG之間的數量關系并證明.

解題指導

動點問題中求證線段數量關系，一般可能是兩線段的長度為一個固定比值，一般可以從相等的方向去思考，找全等或相似三角形求證對應邊相等.然而，在此題中，難以發現與目標線段聯系緊密的全等或相似三角形，因此，需要做輔助線構造全等.

如圖5，在線段CA上取點H，使CH=CE，連接EH，

因為四邊形ABCD是菱形，

所以∠BCD=∠BAD=120°，

所以∠ACB=∠ACD=∠DAC=60°，（菱形對角線性質）

所以△CEH是等邊三角形，

所以EH=EC，∠HEC=∠CHE=60°，

所以∠AHE=120°，所以∠AHE=∠GCE，

因為∠AEG=∠HEC=60°，

所以∠AEH=∠GEC，所以△AEH≌△GEC（ASA），

所以AH=CG

因為∠ACD=∠DAC=60°，

所以△ACD是等邊三角形，

所以AC=CD，所以AC－AH=CD－CG，即CH=DG，

又因為CH=CE，所以CE=DG.

分析"在此題的求解中，主動點為點E，從動點為點G，E，G兩點的運動軌跡都在菱形的邊上，因此較為簡單，只需要構造全等三角形即可得出長度相等.當然，此題除了在線段AC上取點構三角形外，還可以直接連接AG，求證△EAC≌△GAD，得出兩對應邊相等.

3"結語

瓜豆原理相關問題在求解過程中，可以采用以下步驟：第一步，找主動點的軌跡；第二步，找從動點與主動點的關系；第三步，找主動點的起點和終點；第四步，通過相似確定從動點的軌跡；第五步，根據軌跡確定點線最值.這類模型涉及的知識和方法有：①相似、全等三角形；②點到直線之間的距離垂線段最短等.其實細品瓜豆原理，便會發現“瓜豆原理”的實質就是構造旋轉、相似.因此，這一類動點問題只需要依照以上步驟方法就能解決.