巧作輔助線，妙解幾何題

【摘要】幾何圖形是初中階段學生主要學習的數學知識之一，在中考數學中占據著重要的地位，這不僅在于幾何圖形的變幻性，還在于它的考查方式多樣，題目綜合性強.而動點問題又經常出現在這類題型中，動點問題的難點在于它的不確定性，如何將動點由動轉化為靜，成為化解難題的關鍵.在圖形條件有限的情況下，我們通常需要借助輔助線將題目化難為易.本文對兩道幾何大題的解題過程進行綜合分析，以體會幾何動點相關問題的解題思路及其蘊含的數學思想.

【關鍵詞】動點分析；最值問題；初中數學

1"引言

幾何圖形是中考數學的常考知識，以此為基礎的問題也屢見不鮮.面對復雜多樣的幾何圖形及其動點問題，如何巧妙添加輔助線，尋求最優(yōu)解題方案呢？在解答幾何動點問題時，又需要注意哪些知識點呢？下面以兩道中考數學幾何相關問題為例進行探究.

2"中考數學幾何綜合題解析

例1"如圖1，在ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，BC=2，CE是∠BCD的平分線，F為直線CE上的動點，連接DF，G為DF的中點，連接BG，求BG的最小值.

解題指導"本題要求BG的最小值，但通過對題目條件和圖形的分析，發(fā)現BG和其他線段或圖形的聯(lián)系較少，讓人無從下手.但因為點G是直線DF的中點，我們可以根據點F的運動軌跡來確定點G的運動軌跡，因此自然需要連接點D和線段EC的兩個端點，然后分別找到各自的中點并連接起來（如圖2），這樣一來，線段BG的最小值就是點B到直線G1G2的最短距離了，即當BG⊥G1G2時，BG最短.

如圖2，連接DE，因為點F在直線CE上運動，那么點G的運動軌跡是平行于CE的直線，當點F與點E重合時，點G在DE的中點G1處；當點F與點C重合時，點G在CD的中點G2處，連接G1G2，BG2，EG2，所以點G在直線G1G2上運動，因為點G為DF的中點，所以G1G2是△CDE的中位線，由中位線我們可以得出以下條件：G1G2∥CE，G1G2=1/2CE，CG2=DG2=1/2CD=1/2AB=2.

當BG⊥G1G2時，BG有最小值，在ABCD中，BC=2，∠ABC=60°，所以∠BCD=120°，又因為CE是∠BCD的平分線，所以∠BCE=∠DCE=60°，所以△BCE是等邊三角形，所以三角形三邊長相等，都等于2，因此CE=CG2=2， 一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形，即△CEG2為等邊三角形，那么可以發(fā)現BC=CG2=EG2=BE=2，所以四邊形BCG2E為菱形.由于菱形的兩條對角線互相垂直，所以CE⊥BG2，所以BG2⊥G1G2，也就是當G運動到G2位置時，BG最小.

因為∠CG2B=∠CBG2=30°，所以BG2=√3BC=2√3，即BG的最小值為2√3.

分析"解題的關鍵在于通過輔助線得到G點的運動軌跡，并能夠判斷出BG2垂直于G1G2，判斷這個垂直條件除了可以利用菱形對角線的性質，也可以利用平行四邊形的性質，計算各角的角度，得到∠BG2G1=90°來確定.之后，計算BG2就只需要將它放在△CBG2中，利用特殊角及已知邊長，BG2的長度，很容易求出.

例2"如圖3，在平面直角坐標系中，點A，B（10，0） 分別在y軸，x軸上，C為第一象限內一點，AC∥OB，D為OA上一點，連接BD，將BD繞點D逆時針旋轉90°，使點B的對應點恰好為點C，E是BC的中點，連接DE，若P，Q分別是DE，OB上的動點，連接PQ，BP，當BP+PQ的最小值為16時，求點C的坐標.

解題指導"本題同樣是涉及動點和最值的問題，但與上題不同的是，這里將最值作為已知條件，需要我們反過來求點的位置，但由題意知P點和Q點是動點，且條件中最值給的是BP+PQ的長度，C點與這些又有何關系呢？結合題目條件，我們可以知道線段CD是由線段BD旋轉而來，且E是BC的中點，利用等腰三角形三線合一的性質，我們可以得到線段DE是BC的中垂線，利用中垂線的性質，點P到B，C兩點的距離相等，而BP又是所給條件中的一段，我們很自然地想要將BP等價替換為線段PC上，故這里需要連接PC.之后，我們就能發(fā)現BP+PQ的最小值可以轉化為一條直線，即CQ，且CQ需要與x軸垂直，那么C點的位置就能夠很容易求出.

如圖4，連接CP，過點C作CF垂直于OB于點F，因為AC平行OB，∠AOB=90°，所以∠CAD=90°，因為∠CFO=90°，所以四邊形AOFC是矩形，所以AO=CF.由旋轉的性質得BD=CD，∠BDC=90°，所以△BDC是等腰直角三角形.因為E是BC的中點，所以DE⊥BC，所以CP=BP，所以BP+PQ=CP+PQ≥CF，當C，P，Q三點在同一條直線上，且CP⊥OB時，CP+PQ取得最小值，最小值為CF的長，即CF=AO=16.

因為∠BDC，所以∠ADC+∠ODB=90°，因為∠ADC+∠ACD=90°，所以∠ACD=∠ODB=90°，又因為∠CAD=∠DOB，CD=BD，所以△ACD≌△ODB，得出AC=OD，AD=OB，因為B點坐標為（10，0），所以OB=10，所以AD=OB=10，所以AC=OD=AO－AD=6，所以C（6，16）.

分析"解題的關鍵在于通過輔助線將線段BP轉化為線段CP，得到BP+PQ=CP+PQ，并能推斷出CP+PQ取得最小值需要C，P，Q三點同線且CP⊥OB，推斷出C點的位置后，再利用矩形的性質、全等三角形等基礎知識算出C點的坐標.

3"結語

在求解幾何圖形相關問題的過程中，如果題目涉及動點和最值等相關內容，在圖形所求條件存在局限的情況下，可以適當作輔助線，借助平行四邊形、菱形、矩形、等腰三角形、等邊三角形等圖形的性質，利用中位線、垂線、角平分線及特殊角度將復雜圖形、未知線段轉化成可利用的條件，建立條件與條件之間的邏輯聯(lián)系，將復雜問題化繁為簡.因此，輔助線在解決幾何題中的應用十分常見，它可以很大程度上簡化解題步驟，縮短解題時間提高解題效率，是一個很值得討論、研究的重要解題方法.