順其自然，方顯智慧

【摘要】本文聚焦于中考高頻考點“兩線段之和最短問題”，深入剖析利用軸對稱性質、垂線段最短性質及勾股定理的解題策略與技巧，旨在顯著提升學生.

【關鍵詞】初中數學；線段之和；解題技巧

“兩線段之和最小化”為中考數學重要考點.此類題型考查幾何性質掌握及抽象問題圖形化能力.本文整理三種解題技巧：軸對稱性質、垂線段最短、勾股定理，幫助學生理解數學原理，提升邏輯思維與問題解決能力.

1"利用“軸對稱的性質”解題

在解決“兩線段之和最短問題”時，深入運用軸對稱的幾何特性，其核心理論依據為“兩點之間線段最短”的公理.此策略適用于“兩定一動”“兩動一定”乃至更為復雜的“兩動兩定”場景.

例1"如圖1，已知∠AOB=30°，點P是∠AOB內部任意一點，在OA、OB上分別確定點M、N，使得△PMN的周長最小，并求△PMN的周長最小時∠MPN的度數；當OP=5時，求△PMN的周長最小值.

解析"如圖2，作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連按CD分別交OA、OB于點M、N.

因為P和C關于OA對稱，

所以OA垂直平分線段PC，

所以MP= MC.

同理ND=NP，

△PMN的周長為：PM+MN+NP=CM+MN+ND=CD.

由兩點之間線段最短可得此時△APM的周長最小，如圖3，連接OP，則OP=5.

因為OA垂直平分線段PC，

所以OC=OP，且PC⊥OA，

所以∠COA=∠POA，∠OCP=OPC.

因為MC=MP，

所以∠MCP=∠MPC，

所以∠OCP-∠MCP=∠OPC-∠MPC，

所以∠3=∠1.

同理：OD=OP，∠DOB=∠POB，∠4=2，

所以∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB

=2（∠POA+∠POB）=2∠AOB=2×30°=60°.

又因為OC=OD=OP=5，

所以△OCD是等邊三角形，

所以CD=OC=5，∠3=∠4=60°，

所以∠MPN=∠1+∠2=∠3+∠4=60°+60°=120°.

即△PMN周長最小時，∠MPN=120°，當OP=5時，周長最小值為5.

2"利用“垂線段最短”解題

垂線段最短原理要求解題者敏銳地識別問題中的對稱結構與直線元素，通過構造對稱點并連接相關線段，來定位使線段和達到最小的關鍵點.

例2"如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3.點P是BC邊的中點，點E、F分別是線段AC、AB上的動點.連接EP、EF，求EP+EF的最小值.

解析"如圖5，將△ABC沿AC折疊，點B落在點N處，AN交CD于點G，

點P落在CN上的點Q處.連接EQ，則EP=EQ.

連接FQ，過點Q作QM⊥AB于點M.

則EP+EF=EQ+EF≥QF≥QM.

易證△ADG≌△CNG.

設DG=x，則AG=4-x.

在Rt△ADG中，根據勾股定理可得，AG2=DG2+AD2，

即（4-x）2=x2+32，

解得x=7/8，

即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8.

所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25.

所以QM=CQsin=∠GCN+CB=3/2×7/25+3=171/50.

所以EP+EF的最小值為171/50.

3"利用“勾股定理”解題

在涉及直角三角形或可通過構造直角三角形來簡化問題的場景中，勾股定理能夠提供直接的邊長關系信息，幫助判斷或證明線段之間的和差關系，進而求解最短路徑問題.

例3"如圖6所示，在平面直角坐標系中有兩點A（0，4），B（1，0），P為線段AB上一動點，作點B關于射線OP的對稱點C，連接AC，求線段AC的最小值.

解析"如圖7，連接OC，因為點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0），

所以OA=4，OB=1.

因為點B和點C關于OP對稱，

所以OP垂直平分線段BC，

所以OB=OC =1.

在△AOC中，

ACgt;OA-OC=OA-OB=4-1=3，

即ACgt;3.

如圖8，當點C落在OA上時，

AC=OA-OC=OA-OB=4-1=3，

所以AC≥3，

即AC的最小值為3.

4"結語

在實際解題過程中，應根據題目特點靈活選擇并綜合運用原理，以提高解題的準確性.