依托多元技巧，突破初中數學幾何解題障礙

【摘要】幾何題目涉及的知識面廣、題型靈活多變，對學生的空間想象能力、邏輯思維能力要求相對較高，使得學生在解題時常常面臨諸多障礙，不僅影響學生的成績，也挫傷學生的學習積極性.在日常教學中向學生傳授一些解題技巧，不斷提升學生的幾何問題解決能力，已經成為一線教師關注的重點.本文結合解題實踐，從輔助線、構造法、平移法等角度展開探究，旨在幫助學生順利沖破解題障礙.

【關鍵詞】初中幾何；解題技巧；課堂教學

幾何作為初中數學教學體系的重要組成部分，主要圍繞圖形展開研究，對學生的空間想象素養、邏輯思維素養均提出了更高的要求.鑒于幾何知識的特點，其題目比較靈活，涉及的知識面較廣，且題目綜合性強、難度較高，歷來是一塊“難啃的骨頭”.在這一背景下，學生在解決幾何問題時，常常面臨著諸多困難.鑒于此，教師不僅要重視幾何解題教學，還應全面加強解題技巧指導，以便于學生在日常解題過程中，順利突破當前的解題障礙，全面提升自身的幾何解題能力.

1"基于輔助線突破解題障礙

在幾何解題中，輔助線扮演著十分重要的角色.尤其是當題目中所給出的條件無法滿足問題解答時，即可通過添加輔助線等方式，將題目中隱藏的定理、性質顯示出來，進而在已知條件和所求問題之間搭起橋梁，幫助學生形成明確的解題思路[1].

例1"如圖1所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D為BC上一動點，連接AD，如果AC=1，S△ABC=√3/2，求AD+1/2BD的最小值.

解析"這一幾何題目難度系數比較高，題目中所給出的條件遠遠無法滿足解題需求，以至于部分學生陷入解題困境.鑒于此，可通過添加輔助線的方式，增加新條件.就本題目而言，即可通過對稱點作輔助線的方式，對所求問題進行轉化，進而完成題目的解答.

作點A關于直線BC的對稱點A′，過點A′作A′E′⊥AB，過點D作DE⊥AB.

因此，AD+1/2BD的最小值即為A′E′的長度.

因為∠C=90°，AC=1，

S△ABC=√3/2=1/2AC·BC=1/2×1×BC，

所以BC=√3.

又因為∠D′AC=∠A′=30°，

所以D′C=ACtan30°=√3/3，

BD′=BC－D′C=√3-√3/3=2√3/3，

所以AD′=BD′=A′D′=2√3/3，

D′E′=1/2BD′=√3/3，

因此，A′E′=A′D′+D′E′=2√3/3+√3/3=√3，

即AD+1/2BD的最小值為√3.

2"利用構造法突破解題障礙

構造法屬于一種極具創新性的解題方法，蘊含著類比、化歸、轉化等數學思想，可使得學生從“山重水復疑無路”到“柳暗花明又一村”.因此，當學生遇到解題障礙時，可巧妙利用構造法解題，通過深入挖掘題目中的隱含條件，并推動未知條件向已知條件轉化，實現抽象問題具體化、復雜問題簡單化，最終幫助學生形成清晰的解題思路.

例2"求√x2+4+√（12－x）2+9的最小值.

解析"受到常規思維的影響，學生在解答該問題時，基本上都是從代數的角度進行思考.然而在實際解題中，學生僅利用代數知識很難完成題目的解答，甚至會陷入思維困境.針對這一現象，即可采用幾何構造法，將代數問題轉化為幾何問題，進而在直觀圖形的輔助下進行解答[2].

如圖2所示，作AB⊥BC，CD⊥BC，假設AB=2，CD=3，BC=12，點E在BC上.

設BE=x，則CE=12－x.

由勾股定理可知：AE=√x2+4，

DE=√（12－x）2+9.

如此，√x2+4+√（12－x）2+9的最小值即可轉化為AE+ED的最小值.

當A、D、E三點共線時，AE+ED存在最小值.

構建Rt△AFD，如圖3.

因為AF=5，DF=12，

所以AD=√AF2+FD2=√52+122=13，

即√x2+4+√（12－x）2+9的最小值為13.

3"利用平移法突破解題障礙

平移變換是解答幾何問題的最常用手段之一.平移法就是在保持圖形大小和形狀不變的情況下進行平移，其實質是全等變換[3].因此，在實際解題過程中，通過有效的平移運動，可幫助學生突破解題障礙，順利完成題目的解答.

例3"如圖4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=3，AC=√3，BD=√6，求梯形ABCD的面積.

解析"就本題目而言，已知條件和所求問題之間存在一定的分散性，部分學生無法將兩者結合到一起，進而導致學生無從下手.鑒于此，教師在開展解題教學時，即可引導學生通過平移法，將原本分散的已知條件集中起來，以便于學生更好地發現條件之間的內在聯系，并據此完成題目的解答.

將BD沿著BC方向平移至CE的位置，最終得到四邊形BCED.

因為AD∥BC，

所以四邊形BCED為平行四邊形，

即CE=BD=√6，BC=DE，

所以AE=AD+DE=AD+BC=3.

又因為AC=√3，AC2+CE2=AE2，

所以AC⊥CE.

假設點C到直線AD的距離為h，

則h=AC·CE/AE=√2，

因此，S梯形ABCD=1/2（AD+BC）h=1/2×3×√2=3√2/2.

4"結語

綜上所述，鑒于初中幾何題目的特點，教師在開展解題教學時，應基于當前學生的實際需求，根據其在解題中面臨的各種困難，引導學生通過創建輔助線、構造法、平移法等方式，尋找解題新思路，并促使他們在針對性的訓練中，逐漸掌握幾何解題技巧.

參考文獻：

[1]李軼男.活用輔助線，巧妙建立聯系——以初中幾何解題教學為例[J].中學數學，2024（04）：72-73.

[2]李琴霞.幾何構造法在初中數學解題過程中的妙用[J].中學數學，2023（20）：67-68.

[3]姚玲玲.逆向思維在初中幾何解題技巧中的應用分析[J].新課程導學，2020（26）：44+48.