從大學數學體系理解中學課程內容的結構化

編者按：為了幫助廣大教師深入領會《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）精神，依據《標準》的要求開展教學活動，中國教育學會中學數學教學專業委員會于2022年下半年設立了“義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題”．為了及時反映研究成果，本刊設置“課題研究”專欄，不定期刊登課題研究中生成的論文．本期刊登3篇課題研究文章，希望對廣大教師在教學中更好地落實《標準》的要求會有所啟發.

關鍵詞：大學數學體系；中學課程內容；結構化；有理數；實數中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）05-0018-06引用格式：劉春艷．從大學數學體系理解中學課程內容的結構化：以有理數和實數為例[J]．中國數學教育（初中版），2025（5）：18-23.

優化課程內容結構是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）的主要變化之一.這一變化主要體現在課程內容的選擇、課程內容的組織和課程內容的呈現三個方面，旨在幫助學生構建系統的知識體系并提升思維能力．《標準》明確將義務教育階段的數學課程內容分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四大學習領域，這是課程內容結構化的具體體現.

在實際教學中，由于缺乏結構化的視角，部分教師在把握課程內容時容易片面理解甚至誤解．例如，有的教師認為，對于有理數，除了運算，其他內容太簡單，沒什么好講的，從有理數擴充到實數，只是為了滿足開方運算的封閉性，等等．這些觀點反映出教師對數學內容的深度和廣度的認識不足．數學學習是一個由淺人深、逐步抽象的過程．中學數學知識為大學數學知識的學習奠定了基礎，而大學數學則是對中學數學內容的深化與拓展，這不僅體現在知識內容的廣度和深度上，更在于數學觀點、思想方法和問題解決策略的提升．從中學數學到大學數學的學習，通常是一個從具體到抽象、從直觀到嚴謹的過程．反之，從大學數學的視角回望中學數學，不僅僅是從抽象概念回到具體實例的過程，更是一種從宏觀和深刻的視角來揭示數學內容內在聯系和本質規律的方式.因此，采用結構化的視角，結合更為深刻和廣泛的大學數學理論知識來審視和理解中學數學內容，是解決上述問題的有效路徑.

以有理數和實數內容為例，從大學數學的角度剖析中學數學的結構框架，探討中學數學教材的呈現方式，并思考在教學中如何更好地體現學科內容的整體性與學科本質的一致性.

一、大學知識體系中的有理數和實數

在大學數學知識體系中，《高等代數》和《數學分析》都深人探討了有理數和實數．在《高等代數》中，采用數環、數域等更抽象的概念和視角研究數集；而在《數學分析》中，則更詳細地呈現了數域擴充的過程及實數的公理系統，這是因為極限理論是建立在實數集的基礎之上，而微積分作為數學分析的核心內容是建立在極限理論的基礎之上.

1.關于有理數和實數的定義

對于有理數，韋伯·韋爾斯坦因主要強調形式觀點．利用這個觀點，分數 是一個記號，是一個可以根據某些法則進行運算的一個“數偶”伯克哈特把分數 看作整數域內的兩個運算的序列—乘 a 及除以b，運算的對象是任意選擇的整數．這種定義方式側重運算過程.

對于實數的研究，是從有理數的稠密性這一顯著特性開始的．在數軸上，所有具有有理數坐標的點稱為有理數點．這些有理數點具備稠密性和可數性．稠密性，意味著無論我們選取多么小的區間，這個區間內都會包含無限個有理數點，即任意兩個有理數之間總能找到另一個有理數．然而，盡管有理數點在數軸上如此密集，但它們是離散分布的，并不能填滿整條數軸．數軸上仍然存在許多“孔隙”，數量同樣是無限的，它們實際上對應著無理數．為了填補這些“孔隙”，并統一有理數與無理數的概念，戴德金通過在有理數集內引人“分割”的概念，給出了無理數的定義，從而將有理數和無理數統一稱為實數.

除了戴德金的分割定義法之外，實數還有其他定義方式．例如，可以使用小數來定義實數，即一個實數可以表示為一個有限小數或無限小數；還可以使用基本序列來定義實數，即實數是有理數的基本序列的等價類；等等．這些不同的定義方式揭示了實數的豐富內涵.

從數系擴充的角度來看，從整數擴充到有理數，主要是為了確保除法運算（除數不為0）在新數系中的封閉性．進一步地，從有理數擴充到實數，是為了解決有理數中存在的極限問題，確保極限運算在新數系中的封閉性，即任何有理數列的極限（若存在）都是實數.

2.關于有理數和實數的性質

（1）有理數集和實數集都是全序域

按照“數域”的定義，有理數集和實數集中的加、減、乘、除四則運算都是封閉的．由此，有理數集和實數集都是數域，且任何數域都包含有理數域，也就是說，有理數集是最小的數域.

按照實數的公理系統，設R是一個集合，在集合R的元素之間規定一種順序關系“lt;”，并規定分別稱為加法“ 和乘法“·”的運算，使得對任意的x， y∈ R，都有 x+y∈R，x· y∈R ，且需要滿足域的公理、序公理和完備公理.

① 域的公理.

實數集中的加法和乘法運算都滿足交換律、結合律和分配律，并存在兩個不同的元素0和1，對于集合中任意的 x ，滿足 x+0=x，x·1=x ，存在負數和倒數，滿足 ．由此，實數集滿足域的公理.

② 序公理.

實數集中定義的“lt;”關系滿足三岐性、傳遞性，以及對于加法的保序性、對于乘以正數的保序性.由此，實數集滿足序公理.

③ 完備公理.

完備公理是指非空有上界的集合必有上確界.

滿足上述三組公理的集合稱為實數集，能滿足三 組公理的集合只有實數集，實數集也稱為完備的全序 域 （或連通的全序域）.有理數集只滿足前兩組公理， 不滿足完備公理．由此，有理數集只是全序域.

（2）有理數集和實數集的其他性質.

有理數集和實數集都滿足阿基米德原理．除此之外，實數集還有柯西收斂準則、確界定理、單調有界定理、區間套定理、有限覆蓋定理、致密性定理等，這些定理之間相互等價，以不同的方式反映了實數集的完備性和連續性．實數集的這些性質也是進一步研究函數及其性質的基礎．限于篇幅不再贅述.

二、從大學的視角理解中學課程內容的結構化

“數”是數學知識體系的基礎之一．按照《標準》，學生在不同階段會接觸到不同類型的數，并逐步掌握它們的運算規則．在小學階段，學生主要認識正有理數，掌握正有理數的四則運算；在初中階段，學生主要認識負數和無理數，學習這些新數的四則運算．經過這樣的學習過程，學生逐漸建立起對數的全面理解，并能夠運用它們解決各種數學問題，

1．關于有理數的內容安排

根據《標準》的內容要求，對于有理數的學習主要包括相關概念，比較大小和運算，以及數系擴充思想的滲透和運用．2024年人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）編寫中將有理數內容按照“負數一有理數一大小一運算”的順序展開，分為“有理數”和“有理數的運算”兩章．第一章“有理數”包括“正數和負數”“有理數及其大小比較”兩節內容，第二章“有理數的運算”包括“有理數的加法與減法”“有理數的乘法與除法”“有理數的乘方”三節內容．與以往教材相比，這一版教材突出了有理數的大小關系，即序關系.

對照大學數學的知識體系，雖然教材中有理數的內容未完全按照公理化結構展開，但是以具體、直觀的方式呈現了序公理和域公理的核心內容，具體如下.

（1）有理數的概念處理.

教材中對于有理數概念的呈現采用了循序漸進的處理方式．首先，在“有理數及其大小比較”一節圍繞數的形式展開，將小數化為分數的形式，整數也寫成分數的形式，進而從數的形式給出有理數的定義，即“可以寫成分數形式的數稱為有理數”

其次，在學習有理數除法之后，教材安排了化簡的例題，如圖1所示.

例5 化簡：（1） 3； （2） 解： （1） 3；（2）

接下來，根據有理數的除法，指出形如 p.是整數， q≠0 ）的數都是有理數，并且有理數都可以寫成上述形式（整數可以看成分母為1的分數）.這樣，有理數就是形如 （p， 是整數， q≠0 ）的數.至此，從運算的角度給出了有理數的定義，更加具體和明確了有理數與整數、分數之間的關系.

由此可見，分數的化簡過程就是尋找此分數等價類代表元的過程，而這個過程需要借助運算完成．中學數學教材中雖未明確提到“數偶”等具體概念，但是有理數概念的形成過程體現了中學數學知識與大學數學知識之間的一致性和連貫性.

（2）比較大小的處理，

有理數比較大小與大學數學中的序公理緊密聯系.《標準》的要求和教材的呈現，采用了更為直觀和易于理解的幾何法，即利用數軸比較有理數的大小．有理數可以用數軸上的點表示，在水平的數軸上表示有理數時，規定它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數小于右邊的數.

此外，借助數軸突出了數域中零元“0”和單位元“1”的作用．“0”不僅僅表示“沒有”，“0”在數軸上對應著原點，是數軸的基準點，也是正數與負數的分界點，它是有理數加法中的單位元．在數軸上，“1”對應的點和原點之間的長度為單位長度，它是有理數乘法中的單位元.

在不等式的內容中，以基本事實和性質的形式給出序公理中的傳遞性，以及對于加法的保序性、對于乘以正數的保序性.

（3）有理數的運算處理.

對于有理數的運算，《標準》要求掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算（以三步以內為主），理解有理數的運算律，能運用運算律簡化運算.

在有理數的運算中，還蘊含著數系擴充的思想.數系的每一次擴展都遵循一定的原則，這些原則保證了數系的連貫性和一致性．具體來說，數系的擴展需要滿足以下原則.

設集合A擴展后得到集合 B

② 在新數上建立各種運算．A的元素間所定義的運算關系，在 B 的元素間也有相應的定義，且B的元素間的關系和運算對于 B 中的 A 的元素來說與原定義一致；

③B 的結構和A的結構可能有本質不同，某種運算在A中不是總能施行，在 B 中卻總能施行；

④ 在同構的意義下， B 是A的具有以上三個性質的一切擴展中唯一的最小的擴展.

遵循這些原則，數系得以從自然數擴展到整數，再到有理數，甚至到實數、復數等更廣泛的數系．教材在章引言、節引言、運算法則和運算律的形成過程及章小結等各環節中，全方位加強了數系擴充思想的滲透和運用.

例如，“有理數的加法與減法”的節引言：“數的范圍擴大到有理數后，就要研究有理數的運算．我們先把小學學習的加法與減法運算推廣到有理數范圍內.”同時，新教材中增加了“探究與發現從數系擴充看有理數乘法法則”等內容，幫助學生進一步理解數系擴充與運算之間的聯系.

對于有理數的運算，以加法和乘法的運算法則、運算律為主，減法轉化為加法，除法轉化為乘法，突出域的公理中加法和乘法的交換律、結合律和分配律，利用負數和倒數滿足 將減法、除法作為加法、乘法的逆運算.

對于有理數加法，基于現實情境，通過分類、歸納得到有理數加法法則，然后直接給出“顯然，兩個有理數相加，和是一個有理數”，即兩數之和的存在性和封閉性．再基于數學情境，通過具體計算，歸納概括得到有理數加法的運算律.

對于有理數乘法，理解法則中的“負負得正”是難點．教材以“使乘法運算具有一致性”為基礎，采用從“正數 × 正數”出發，如圖2所示，通過對一組具體算式的計算、觀察，發現規律，強調“要使這個規律在引入負數后仍然成立”“從中可以歸納出什么結論”，以歸納推理的方式得出結論，幫助學生接受符號法則的合理性，滲透數系擴充的原則．與有理數加法類似，通過分類、歸納得到有理數乘法法則，然后直接給出“顯然，兩個有理數相乘，積是一個有理數”，即兩數之積的存在性和封閉性．再基于數學情境，通過具體計算，歸納概括得到有理數乘法的運算律.

2.關于實數的內容安排

根據《標準》要求，實數內容主要包括相關概念，比較大小和運算．實數的運算主要指二次根式（根號下僅限于數）的加、減、乘、除四則運算．教材中“實數”一章包括“平方根”“立方根”“實數及其簡單運算”三節內容，即先學習平方根和立方根，在此基礎上引人無理數，再把數的范圍從有理數擴充到實數．從結構上看，突出了存在一類新的數.

對照大學數學的實數公理系統，中學的實數內容并未按照公理化的結構展開，在實數概念的基礎上，只是簡單介紹了實數集是全序域，未提及完備性，具

體如下.

（1）實數的概念處理，

從有理數到實數的擴充，涉及極限、連續等知識，在中學階段難以深人講解．因此，無理數的概念既是實數內容的重點也是難點.

教材從這些“新的數”開始研究實數.

首先，通過具體實例說明“需要引入一種新的數”，即無理數的存在性和數系擴充的必要性．一是數學內部的需要．在有理數范圍內乘方運算總可以施行，但逆運算開方不能總可以施行．例如，對于第二宇宙速度， 的大小滿足 ，其中 g 是地球表面的重力加速度， g≈9.8 （單位： ， R 是地球半徑， （單位：m）.怎樣求 呢？二是客觀現實的需要．章引言提到“邊長為1的正方形的對角線的長度值不是有理數，這就需要引人一種新的數—無理數”，先從幾何圖形的直觀角度說明存在不是有理數的數．接下來，通過“探究”活動“怎樣用兩個面積為 的小正方形拼成一個面積為 的大正方形？這個大正方形的邊長是多少？”再次說明存在不是有理數的數.

其次，從代數運算的精確角度，通過估計 有多大，認識無理數的本質．在用有理數估計 大小的過程中，利用了教材中例3的結論“被開方數越大，對應的算術平方根就越大”，用小數形式的有理數作為它的不足近似值和過剩近似值進一步說明，能得到 越來越精確的近似值，并且 能用一對左、右夾逼的有理數列唯一確定，這個例子說明了有理數與無理數的關系，也說明了用有理數研究無理數的途徑和方法.

再次，借助平方根、立方根等概念，計算 ， （利用計算器）等，體會無限不循環小數的存在性，以及用近似的有限小數估計無理數的大致范圍的過程.

接下來，以小數的形式對有理數進行反思，任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式，還存在無限不循環的小數，我們稱之為無理數.有理數和無理數統稱為實數．對于實數的分類如圖3所示.

最后，教材在“閱讀與思考”欄目中安排了“為什么 不是有理數”，利用反證法歸結為解不定方程 ，證明了這個方程沒有整數解，從而證明了 不能寫成分數的形式，即 不是有理數.

（2）比較大小的處理，

實數的比較大小對應的是實數公理系統中的序公理．基于《標準》的要求和教材的呈現，采用了與有理數比較大小一樣的幾何法一借助數軸比較實數的大小．有理數可以用數軸上的點來表示，引入無理數之后，自然想到無理數是否也可以用數軸上的點表示．教材以 和 π 為例，說明每個無理數都可以用數軸上的一個點表示出來，如圖4所示．實數與數軸上的點是一一對應的，體現了實數的稠密性.

（3）實數的運算處理.

對于實數的運算，教材也沒有按照實數空間中的域公理體系展開，只是提到“在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用”，然后，通過具體例子，示范如何利用運算律進行運算.

三、對于課程實施的建議

在教師培訓中，我們發現之所以出現前面提到的問題，一是部分教師對于課程內容的理解淺顯，誤判其難易程度；二是面對教學困境，部分教師僅歸咎于教學方法不得當，缺乏深層反思；三是許多教師希望提升數學素養，卻缺乏有效途徑，甚至僅依賴對考試題目的分析，忽視了對數學理論的深入學習．針對這些問題，提出以下建議，

1.借助大學數學內容，構建中學課程結構化體系

我們觀察到，部分教師對于數學內容的理解僅局限于中學數學范圍，未能有效建立大學數學與中學數學的聯系．對于“數”的內容，很多教師認為知識點零散，教學僅局限于會進行四則運算，認為實數只是中學數學的內容，甚至只是初中數學的內容；很多教師能從運算封閉性的角度理解數系擴充的思想，但是對于實數公理體系感覺陌生.

因此，在構建中學數學課程內容的結構化時，有必要借助大學數學的相關內容，并深人了解數學的發展歷史．以此了解實數的來龍去脈，了解實數的相關理論，了解實數與極限、函數等內容之間的聯系．教師可以借助大學知識體系理解“數”的重要性，借助實數公理系統理解其結構.

2.理解教材編寫意圖，體會結構化課程的組織與呈現

對于有理數的內容，教材按照“概念一比較大小一運算”的順序呈現了“有理數是全序域”.在概念的形成過程中，體現了分類思想．有理數的序關系是借助數軸展開的，利用數軸的對稱性又得到相反數的概念，其中蘊含數形結合的思想．對于有理數的運算，既有運算封閉性的視角，又有聚焦運算律的公理化視角，通過歸納概括得到運算法則和運算律．而對于有理數的稠密性，教材中并未明確提出，只在練習中提到整數的可數可列性，然后，借助數系擴充的思想，將有理數推廣至實數．關于實數的內容，教材充分發揮范例的作用，借助對 的多角度分析，體現實數中蘊含的數系擴充、對應、極限等思想方法.

因此，關于“數”的內容，教材編寫時注重學生已有的認知基礎，通過真實的現實情境和適當的數學情境，采用以從特殊到一般的歸納概括為主與從一般到特殊的演繹推理為輔的方式，幫助學生逐步理解有理數和實數的內容，體會數系擴充的基本原則

3.基于學生已有認知基礎，在教學中落實課程結構化

首先，在教學過程中，教師應充分考慮學生已有的認知結構，進行知識的深化與拓展．例如，教師要重視學生對運算律的理解，因為數系運算律是普遍成立而且又是極為簡樸易用的算式，所以它們是廣泛能用而且簡單有力的代數學基本工具．其實，運算律是整個代數學的基礎，是解代數方程的基本原理．這才是算術與代數真正的區別.

其次，要發揮“數”的基礎作用．我們類比“數”研究“式”，借助“式”研究方程、不等式、函數、導數等重要內容．其中，不等式的基本性質是對數的序關系的完善，函數的概念是建立在實數基礎上的，函數的單調性就是研究實數中序關系在對應下的不變性和規律性，函數的奇偶性研究的是實數中相反數對應的函數值的變化規律，在實數的稠密性、完備性和連續性基礎上有了二分法、函數零點、導數概念等.

最后，在構建知識結構化的過程中，教師要幫助學生理解分類、數形結合、歸納、轉化等基本思想方法，加強抽象能力、推理能力、運算能力和幾何直觀等數學核心素養的培養．正如《標準》提到的，數與代數是數學知識體系的基礎之一，是學生認知數量關系、探索數學規律、建立數學模型的基石.

通過上述分析，中學數學教學注重的是對基礎知識和基本技能的掌握．內容看似零散且淺顯，實則旨在為學生打下堅實的知識基礎．相比之下，大學數學則更加注重理論推導和抽象思維的培養，內容更為深入且抽象，且具有更強的結構性．因此，通過對大學數學相關知識的梳理，可以為中學數學教師提供更廣闊的視野和更深刻的理解，從而幫助他們更好地構建數學課程的結構化體系，深化對數學本質的認識.

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