基于數(shù)學模型觀念培養(yǎng)的跨學科項目式學習

關鍵詞：跨學科；項目式學習；模型觀念；虹吸現(xiàn)象中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）05-0053-05引用格式：，．基于數(shù)學模型觀念培養(yǎng)的跨學科項目式學習：[J].中國數(shù)學教育（初中版），2025（5）：53-56，60.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）指出：“模型觀念主要是指對運用數(shù)學模型解決實際問題有清晰的認識．知道數(shù)學建模是數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義.”數(shù)學模型在生產(chǎn)生活實踐中應用非常廣泛．在跨學科的項目式學習中會綜合運用數(shù)學和其他學科的知識與方法，可以使學生體會到數(shù)學模型作為一種普適性語言在其他學科中的實際作用．在“揭秘虹吸現(xiàn)象”項目中，通過實施跨學科的建模活動，讓學生通過解決真實情境中的問題，經(jīng)歷探究的過程，體驗建立模型解決問題的過程，從而培養(yǎng)模型觀念，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

象蘊含什么數(shù)學原理？學生的提問引起了筆者的思考．為了解決學生的困惑，通過研讀科學教材和訪談科學教師，筆者發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象中確實蘊含一定的數(shù)學原理，簡單整理如圖1所示.

一、項目緣起

在一次與九年級學生的交流中，有學生提到科學中有一個虹吸現(xiàn)象．但是為什么虹吸流速到后面會越來越小？不同的虹吸管出水速度為什么不同？這一現(xiàn)

基于對以上內容的分析，確定“揭秘虹吸現(xiàn)象”

這一項目的可行性，整合數(shù)學與科學及其他學科知識，實施跨學科項目式學習.

二、教學目標、教學重點和教學難點

1.教學目標

（1）經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、收集資料與數(shù)據(jù)分析并解決問題的過程，感悟數(shù)學在科學研究中的意義與作用.

（2）經(jīng)歷根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分析擬合函數(shù)模型、優(yōu)化函數(shù)模型的過程，發(fā)展模型觀念、推理能力和運算能力.

（3）經(jīng)歷運用數(shù)學模型解決實際問題的過程，發(fā)展應用意識.

2.教學重點和難點

教學重點：從實際問題中抽象出數(shù)學問題，建立模型，應用模型.

教學難點：規(guī)劃項目思路，模型中的函數(shù)擬合.

三、教學過程

準備：學生自主組隊，分為4個小組，課前查閱虹吸現(xiàn)象的相關資料.

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，提出問題.

問題1：虹吸現(xiàn)象發(fā)生的條件和原理是什么？

教師在課堂上放映有關虹吸現(xiàn)象的視頻，提出該項目的驅動性問題：“如何選擇材料定制虹吸杯，使之用于暴雨后將積水排出？”學生根據(jù)課前查詢的資料進行小組匯報，歸納得出虹吸現(xiàn)象發(fā)生的條件：（1）一根充滿水的管子；（2）兩個有高度差的液面.

利用教師現(xiàn)場提供的材料和虹吸現(xiàn)象發(fā)生的條件，學生分組搭建簡易虹吸裝置．在裝置出水的條件下，觀察所做的虹吸裝置（如圖2），發(fā)現(xiàn)變動材料時會導致出水的快慢不同.

問題2：哪些因素會影響虹吸的流速？

學生討論并總結出：流速與液面高度差、管子長度、管子口徑大小有關.

問題3：如何研究兩個因素之間的關系？

學生討論得出：可以通過控制變量法研究兩個因素之間的關系，如控制時間和杯子形狀大小等因素.

【教學說明】基于現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象提出問題，利用實驗得出影響虹吸流速的因素，為后續(xù)進一步探究作鋪墊.

環(huán)節(jié)2：收集數(shù)據(jù)，分析問題.

活動1：指定變量，分組收集.

教師給出探究的方向，學生分組進行實驗，教師給予適當指導．4個小組得到的實驗數(shù)據(jù)如表1所示.

得出結論：液面高度差越大，虹吸流速越快．本環(huán)節(jié)活動后提供如表2所示的項目評價表（由學生根據(jù)每項內容的評價情況對“☆”進行填涂）.

【教學說明】學生從實驗中發(fā)現(xiàn)問題，優(yōu)化實驗思路，進行分工合作，教師的及時評價可以幫助學生更好地了解到自己在團隊中的價值，激發(fā)學生在后續(xù)學習中的探究熱情，提升團隊協(xié)作能力.

環(huán)節(jié)3：分析數(shù)據(jù)，建立模型.

問題4：如何更準確地量化液面高度差和流速的具體關系？

師生共同討論，認為兩者之間存在函數(shù)關系．教師介紹物理學科中利用伯努利方程計算得到的虹吸流速公式2=— 一（其中，l表示虹吸管的長度，d 表示虹吸管的直徑， ζ 表示虹吸管的局部損失系數(shù)，λ 表示沿程阻力系數(shù)）．其中，由于同一根管子中，1和 d 都是固定的，同材質中 λ 和 ζ 是固定的，因此將 記為 k ，則流速的平方與液面高度差存在正比例關系.

根據(jù)小組所得數(shù)據(jù)計算液面高度差和流速的函數(shù)解析式，學生組內討論計算分別得到解析式為

問題5：為什么每組得到的函數(shù)解析式是不同的？怎樣更合理？

學生討論得出是實驗數(shù)據(jù)誤差導致解析式不一樣．為了讓實驗數(shù)據(jù)和正確解析式的偏差盡量小，通過討論后得出：利用離差平方和（即計算函數(shù)值與觀察值之差的平方和，記為w）來進行刻畫， w 越小，函數(shù)解析式越接近實際結果，以此達到優(yōu)化函數(shù)模型的目的.

【教學說明】環(huán)節(jié)2的結論僅揭示了兩者的定性關系，但要進一步進行方案設計，需要量化關系，得到一般結論．環(huán)節(jié)3引導學生根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分析擬合函數(shù)模型，旨在發(fā)展學生的模型觀念，提升運算能力，讓學生感悟數(shù)學在科學研究中的應用.

活動2：優(yōu)化模型，解決問題.

小組1根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進行計算，得到如下結果，

設 ，得

根據(jù)二次函數(shù)的增減性，當 k≈88.1 時， w 最小，

問題6：由實驗數(shù)據(jù)，如何選擇制作虹吸杯的軟管型號和材質？

根據(jù)伯努利方程，需要計算實驗所用橡膠管的 λ 和，由于每組實驗軟管均一樣（內徑為 2mm ，長為 50cm 的軟管），可以通過兩組結果 和 構建方程，通過解方程估算參數(shù) λ 和的值，從而確定軟管的型號和材質.

問題7：利用求得的函數(shù)模型，如何求所需要控制的流速v？

學生討論后認為可以將屋檐近似看成一個底面積為 的長方體，再規(guī)定暴雨12小時內降水量大于等于 140mm ，得到單位面積的降雨量為 ，得到需要滿足的流速為 .

為了鞏固學生學習的積極性與檢測項目效果，設置如表3所示的過程評價表（由學生根據(jù)每項內容的評價情況對“☆”進行填涂）.

【教學說明】該環(huán)節(jié)旨在讓學生在發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型并運用模型解決實際問題的過程中，積累基本活動經(jīng)驗，形成數(shù)據(jù)觀念和模型觀念，發(fā)展應用意識．由于此環(huán)節(jié)對學生綜合素養(yǎng)要求高，因此在環(huán)節(jié)3后設計過程評價表，重在鼓勵能力不突出的學生，激發(fā)其學習和探究的熱情.

環(huán)節(jié)4：應用模型，創(chuàng)造生活.

根據(jù)虹吸公式和所得結論，讓學生在課后查閱資料，小組共同設計制作道具，并撰寫設計報告.

活動3：創(chuàng)新應用，匯報成果.

每組學生匯報本組制作成果（魚缸自助換水器、簡易自動澆花器和簡易飲水機等），其他組學生和教師給予建議，從而修改完善設計報告.

【教學說明】該環(huán)節(jié)旨在激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，養(yǎng)成合作交流的習慣，提升學生的表達與書寫能力．將所得數(shù)學模型應用于生活實踐中，發(fā)展學生的實踐能力和創(chuàng)新精神．

環(huán)節(jié)5：項目綜合評價.

整個項目完成后，給學生提供項目評價表（如表4），并通過學生的評價評選最優(yōu)方案小組，并給其頒獎.

【教學說明】該項目評價表重在過程性評價，采用數(shù)學思考、情感態(tài)度、問題解決三個維度的評價形式，根據(jù)項目學習過程中學生所做的任務，設計了10項評價內容，設置師評、自評和組評．通過最終評價量表，結合前三個過程性評價，提高學生的自我認識水平，促進學生相互學習，借此提升學生對實際問題的分析和解決能力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；將物理現(xiàn)象中的問題抽象成數(shù)學問題，分析實驗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)變量之間存在的映射關系，建立數(shù)學函數(shù)模型，體現(xiàn)用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界．學生通過運算得到不同函數(shù)，發(fā)現(xiàn)誤差來源，借助離差平方和優(yōu)化函數(shù)模型，以此模型解釋、檢驗實際問題的解，激發(fā)學生用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界．明確項目主題的可行性后，如何設計有研究意義的驅動性問題是跨學科項目式學習的關鍵.

確定驅動性問題后，自主解決問題是跨學科項目式學習的重點．學生從虹吸現(xiàn)象的原理中抽象出數(shù)學問題，通過實驗收集數(shù)據(jù)、聚焦數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)需要借助函數(shù)模型建立變量之間的數(shù)量關系，再通過計算離差平方和優(yōu)化函數(shù)模型，最后以構建后的函數(shù)模型解決驅動性問題．其中，分析實驗數(shù)據(jù)是難點，需要教師在此過程中引導學生關注數(shù)據(jù)，量化關系，建立函數(shù)模型，發(fā)展學生的抽象能力.

“揭秘虹吸現(xiàn)象”項目的課后探究活動設計是創(chuàng)新之處．學生不局限于只解決驅動性問題，而是將所得函數(shù)模型進行創(chuàng)新應用，設計了魚缸自助換水器、簡易自助澆花器、簡易飲水器等發(fā)明，并能將所得結果進行匯報，集思廣益后進行改進分析，促進了創(chuàng)新意識、應用意識的發(fā)展.

2.關注學生發(fā)展，多元分層評價

項目式學習是由學生主導完成的學習，在學習過程中需要經(jīng)歷“批判一分析一生成一反思”的審辯思維過程．既然提升學生的認知發(fā)展水平是目的，審辯思維培養(yǎng)是素養(yǎng)自標，那么在項自式學習中對學生的實際發(fā)展結果進行評價就不可或缺.

四、教學反思

1.立足核心素養(yǎng)，聚焦模型觀念

模型觀念是初中階段數(shù)學核心素養(yǎng)行為表現(xiàn)之一，其培養(yǎng)理念與項目式學習具有一致性．模型觀念是將數(shù)學模型作為表達現(xiàn)實世界的一種方式，在初中生現(xiàn)有認知能力的基礎上，挖掘數(shù)學建模中最本質的教育價值，建立數(shù)學與現(xiàn)實世界聯(lián)系的橋梁．通過模型觀念的培養(yǎng)，既能夠幫助學生理解數(shù)學知識，把握問題本質，又有利于學生提高數(shù)學思維水平.

該項目立足于學生在科學課后的困惑，借助生活中常見的無機械動力的屋檐排水案例，確定驅動性問題，以此構建小組互助學習的項目式學習形式，體現(xiàn)

《標準》中提出評價維度多元化和評價主體多樣化．在評價過程中，教師不僅要關注學生知識技能的掌握，還要關注學生對基本思想的把握、基本活動經(jīng)驗的積累；不僅要關注學生分析問題、解決問題的能力，還要關注學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力．《標準》提出要綜合運用教師評價、學生自我評價、學生相互評價、家長評價等方式，對學生的學習情況進行全方位的考查.

該項目中共發(fā)放了3個評價表，其中包括2個過程中的評價表和1個項目結果評價表．過程性評價用于激發(fā)學生的探究欲望和學習熱情，在實踐中也確實達到了此目標.課后調查顯示，80%的學生在評價過程中都能找到自己的立足點和閃光點.項目式學習并非以生成項目結果為最終旨趣.項目式學習中的“項目”是一種學習的方式和途徑，“學習”才是項目的落腳點和真正目的.實現(xiàn)“做中學”的達成效果，才是項目式學習的真正追求.該項目評價表的運用，關注了評價的結果和評價過程中的行為表現(xiàn)，幫助教師發(fā)現(xiàn)學生的優(yōu)點和不足，立足于不同情形給予不同指導，提升了每名學生的參與感和自我成就感.這一評價設計是該項目的另一創(chuàng)新，能正向激勵學生多思考、多學習、多發(fā)言，全方位培養(yǎng)學生的各項能力.

該項目學習聚焦模型觀念培養(yǎng)，融合跨學科內容，立足數(shù)學學科，重視數(shù)學模型建構的發(fā)生發(fā)展過程.構建項目式學習流程，為學生提供一條體會、理解數(shù)學與現(xiàn)實世界聯(lián)系的有效途徑，在解決問題中綜合應用多學科知識進行思考，能有效幫助學生理解學科間的橫向聯(lián)系和知識間的縱向聯(lián)系，從而促進學生素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻：

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