培養學生數學建模能力：“曹沖稱象的故事”教學設計

新一輪的課程改革對數學教育提出了新的目標要求，其中對學生數學建模能力的系統培養成為關注的重點。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標\"）明確提出：“模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋。\"在當前的教學實踐中，數學建模與教學內容的有效整合是一個亟待探索的問題。特別對小學生而言，其建模思維的形成需要依托具體情境與具身體驗。本文以“曹沖稱象的故事”這一案例為載體，探討如何通過情境化教學設計，引導學生經歷“實際問題抽象一模型建構一應用拓展\"的全過程，借助實驗探究與反思總結，幫助學生理解數學建模的意義，實現從具體操作到抽象思維的躍遷。

一、基于數學建模的內容解讀與教學分析

（一）教學內容解讀

在2022年版課標中，第二學段綜合與實踐的主題活動新增了“曹沖稱象的故事”這一內容。“曹沖稱象\"所依據的數學原理是“等量的等量相等\"以及“總量等于各分量之和”。由于小學生抽象思維能力尚處于發展階段，讓他們脫離具體情境去抽象地理解這些原理頗具挑戰，教師需要依托真實的情境，使其通過具體的操作活動來獲得具身體驗，并構建知識結構。教師要引導學生經歷完整的探究過程：從生活情境中發現問題，通過數學建模建立計算公式，并運用計算結果解釋現實問題。這種“情境感知一數學建模一實踐驗證\"的學習路徑，既能幫助學生理解數學模型的實際應用價值，又能有效激發學生的數學學習興趣。

“曹沖稱象的故事”的教學價值在于啟發學生思考：在缺乏稱量設備的古代，如何運用智慧解決龐然天物的稱量難題？通過古今對比，引發學生對傳統計量方法的探究一一古代社會使用了哪些稱量工具？傳統衡器具有怎樣的構造特點？對于極重物品或極輕物品的稱量，古人分別采用了哪些特殊方法？通過這樣的問題鏈設計，既展現了數學知識的歷史演進脈絡，又培養了學生解決問題的思維能力。基于上述分析，教師圍繞學習自標和素養表現，將“曹沖稱象的故事\"的學習過程分為以下四個階段（如表1）。

（二）教學設計分析

【教學內容】

圍繞第二階段的學習活動，開展“一起來稱量的數學活動。

【教學目標】

（1）借助“曹沖稱象\"的故事情境，進行稱量物品質量的實驗，理解“等量的等量相等”以及“總量等于各分量之和”這兩個基本事實，構建數學模型。

（2）經歷模擬“稱大象\"和“稱羽毛\"的數學實驗，體驗稱量極重和極輕物品的過程；能夠針對具體的稱量問題與同伴合作制訂實踐方案，并在執行過程中不斷思考和調整，豐富度量的活動經驗，提升量感，培養推理意識。

（3）體會古人的智慧與現代科技的創新，培養家國情懷，發展量感、推理意識、合作能力和表達能力。

【教學流程】

基于數學建模的教學流程，主要體現在：引導學生在觀察實際情境的基礎上，借助實驗操作感知數學模型，通過模擬“稱大象\"的數學實驗，由原型結構抽象出數學結構，理解數學思想，建立數學模型，并學會將模型應用于解決“稱羽毛\"等同類問題；通過對比稱量極重物品和極輕物品的過程，發現“不同表現的實際問題具有內在聯系（原型結構），它們的數量關系（數學結構）都是總量 分量 + 分量\"]。基于此，“一起來稱量\"的教學流程如圖1所示。

二、基于數學建模的教學實施

（一）再現故事，提出問題

師：今天，我與大家分享一個耳熟能詳的故事。（教師播放“曹沖稱象”的動畫視頻）

師：這是什么故事？

生：曹沖稱象。

師：大家在語文課上已經結識了曹沖和他的大象朋友。今天，在數學課上再次提及這個故事，你們有什么新的見解呢？

生：“曹沖稱象”的故事中，是不是也蘊含著什么數學道理？

師：今天，我們將從數學的角度來探索“曹沖稱象”的故事。

設計意圖：通過播放視頻，重現“曹沖稱象”的經典故事，引導學生從數學的角度去思考故事背后的原理，并提出數學問題，激發學習興趣。

（二）實驗探究，建立模型

1.實驗一：一起來“稱大象”

師：你們想不想也當一回曹沖，模擬稱象的過程？我為每個小組都準備了一些稱量的工具，你們打算怎么“稱大象”呢？先小組內討論，再制訂實驗步驟，最后記錄在實驗報告單上（如表2）。

（學生小組合作，做數學實驗）

師：大家都成功地稱出了大象的質量，我們先來看看這個小組的實驗情況。

（展示小組的實驗報告單）

師：他們小組稱出石頭的質量是1千克，大象的質量也是1千克。大象和石頭的質量是一樣的。其他小組的實驗結果也是這樣的嗎？

生：我們的結果也差不多。

師：它們的質量為什么會相等呢？我們一起來回想一下剛才的實驗過程，當大象進入小船時，小船發生了什么變化？

生：小船下沉了，把水擠開了一些！

師：小船下沉時會排開一定量的水，到一定程度就不再下沉了，我們用刻度線標記了水位。當我們往小船里放石頭，也讓小船下沉到同一刻度線的位置時，會發生什么情況？

生：會排開一樣多的水。

師：從這里可以看出，真正讓大象的質量和石頭的質量有了關聯的關鍵因素是什么呢？

生：是排開的這些水。

師：那么，大象、石頭和排開的水，它們之間存在怎樣的關系呢？

生：因為大象的質量等于排開水的質量，石頭的質量等于排開水的質量，所以大象的質量就等于石頭的質量。

師：如果用字母a表示大象的質量，字母 b 表示排開水的質量，字母c表示石頭的質量，它們的關系可以怎么表示呢？

生：因為 a=b，c=b ，所以 a=c 。

師：這就是“曹沖稱象”背后的數學原理，叫作“等量的等量相等”。

師：我們再回到故事，想一想，曹沖為什么要用石頭來代替大象稱量呢？

生：因為大象不能分開稱，但石頭可以一塊一塊分開稱，把石頭質量加起來，就能得到大象的質量了。

師：曹沖的聰明之處就在于將“不能稱出”的大象質量轉化成了若干塊“可以稱出”的石頭質量。把每塊石頭的質量累加求和，就是這堆石頭的總質量，也就是大象的質量。可以用算式“總量=分量 分量”來表示，也就是“總量等于各分量之和”。

設計意圖：教師組織開展模擬實驗，讓學生直觀感受大象、石頭與排開水之間的關系，認識“等量的等量相等\"的數學模型。引導學生發現石頭質量的累加求和能得出大象的質量，理解“總量等于各分量之和\"的數學模型，從而培養學生的邏輯思維和數學建模能力。

2.實驗二：一起來“稱羽毛”

師：我們剛才通過模擬實驗，稱出了極重物品的質量。那么，對于極輕物品，比如一根羽毛，我們又該怎么稱量呢？托盤天平秤上最小的砝碼是1克，一根羽毛的質量顯然小于1克，怎么稱出質量小于1克的一根羽毛呢？請與同桌討論一下。

（學生同桌討論后，全班反饋）

生：我們可以準備一些相同的羽毛，稱出它們的總質量，然后除以羽毛的數量，這樣就能得到一根羽毛的質量了。

師：現在我們手頭只有一根羽毛，該怎么稱量呢？是不是很想把砝碼分得更小？砝碼無法細分，但我們能找到可以細分的物品，如A4紙。你們有想法了嗎？

生：首先，稱出一張或幾張A4紙的質量，將其均分成若干張（如8張、16張、32張）小紙片，計算出每張小紙片的質量。接著，將羽毛放在天平的一側，等量的小紙片放在另一側，然后比較羽毛與小紙片的數量。最后，用每張小紙片的質量乘數量即可得出羽毛的質量。

師：稱量像羽毛這樣的極輕物品時，我們無法直接稱出質量，但可以利用一個中間量來尋找它們之間的等量關系。先小組內討論，再制訂實驗步驟，最后記錄在實驗報告單上（如表3）。

（學生小組合作，做數學實驗）

師：許多小組已經成功地稱出了羽毛的質量，讓我們一起來看看這些小組的實驗記錄。

（展示不同小組的實驗報告單）

師：觀察不同小組的實驗記錄，你們發現了什么？

生：實驗結果并不一致。

師：同樣是稱量相同的物品，為什么會得到不同的結果呢？

生：稱量過程中存在誤差。

生：物品本身不標準也會導致誤差。

師：如何減少稱量的誤差呢？

生：我們小組是把A4紙均分成16等份，其他小組是把A4紙均分成32等份，這樣一對比，我們發現，等分的份數越多，稱量就越精準，也越能減小誤差。

師：克是一個很小的質量單位，但在測量極輕物品時，使用克作為單位的精確度可能還不夠。因此，數學家采用等分制思想，創造出了更小的質量單位：將1克分成1000等份，每份就是1毫克；將1毫克分成1000等份，每份就是1微克；比微克更小的質量單位還有納克、皮克…加上之前學過的噸、千克、克，你們發現有什么規律？

生：它們的進率都是1000。

師：沒錯，這就是數學中的等分制思想。

設計意圖：教師引導學生探究微小物品稱量過程，解決“如何稱量極輕物品的質量”的問題，讓學生學會運用中間量進行等量代換，深人理解數學建模的過程，并認識等分制思想在質量單位換算中的應用。

3.實驗對比發現聯系

師：對比兩個實驗，一個是稱量龐然大物，另一個是稱量微小物品。雖然稱量策略不同，但你們能否找出它們的共同點？

生：都借助了中間量。實驗一借助了石頭，實驗二借助的是小紙片。

生：實驗一是把難以稱量的大象轉換成方便稱量的石頭，實驗二是把1克的砝碼轉換成更小質量的小紙片。

師：大家通過轉化策略，掌握了龐然大物和微小物品的稱量方法，并探究了背后的數學原理。從古至今，稱量需求一直存在，先輩們不斷探索，使得現代的稱量工具多樣化、方法科學化，稱量變得既便捷又精確。現在，讓我們一起來看看現代是如何稱量的。

（播放微課視頻）

設計意圖：通過對比兩個實驗，進一步認識到轉化策略在數學建模中的重要性。

三、實驗拓展，模型應用

師：請大家在課后選擇自己感興趣的極小物品（如米粒、沙子等），使用電子天平或其他工具進行稱量，并記錄稱量過程和結果。同時，思考如何進一步提高稱量精確度，并嘗試實施你的想法。

設計意圖：課后拓展活動需將課堂所學應用于實際情境中，通過稱量極小物品，體驗數學建模在解決實際問題中的重要性。

本教學設計中，教師基于“曹沖稱象\"的故事，將現實問題引入課堂教學，為學生營造了一個自主學習、自主探索的教育實踐環境。學生自主提出問題，并通過數學實驗尋找解決方案，從關注物品的質量稱量，到分析其中蘊含的數學原理，充分運用幾何直觀，用圖形語言和符號語言，建構和表達數學模型[2]，從而完整經歷\"問題提出一公式計算一結果解釋\"的建模過程。該建模過程有效促進了學生對數學模型的深度理解，使其感受數學的實際應用價值，體驗數學與生活及其他學科的有機聯系，從而強化應用意識，培養創新思維與實踐能力，為未來運用數學解決現實問題奠定基礎。[3]

參考文獻：

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之八：模型思想（上）[J].小學數學教師，2014（12）：4-9.

[2]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準\"核心詞的實踐解讀之八：模型思想（下）[J].小學數學教師，2015（2）：4-11，65.

[3]王尚志，胡鳳娟，張丹.小學數學建模教學的探索[J].江蘇教育，2011（7）：7-9

（廣西壯族自治區柳州市景行小學教育集團）