學生能獨立舉出例子嗎？

一、問題提出

人教版教材五年級下冊《分數的基本性質》一課以圖1所示的教學內容引人。

拿出三張同樣大小的正方形紙，按照下圖把它們平均分，并涂上顏色。用分數表示涂色部分的大小。

你發現了什么？

討論一下：它們的分子、分母各是按照什么規律變化的？

你還能舉出幾個這樣的例子嗎？根據上面的例子，可以得出什么規律？

教材的這部分教學內容中設計了多個問題引導學生進行思考與操作，其中包括“你還能舉出幾個這樣的例子嗎？\"學生是否能夠舉出例子？如果可以，他們將會舉出哪些例子？若教師能夠明確這些問題，無疑有助于他們把握課堂教學，提高教學質量。基于此，筆者采用調查法探究學生的實際情況，并提出相應教學建議。

二、調查前準備

調查前，教師先依據教材的教學順序進行教學。基本的教學過程包括“疊一疊、折一折、涂一涂、寫一寫、說一說\"五個環節：“疊一疊\"環節要求學生將三張相同大小的正方形紙重疊在一起，以直觀感受其大小相同；“折一折\"環節則是讓學生將三張紙分別平均分成二份、四份、八份；“涂一涂\"環節涉及涂色，要求學生分別將三張紙涂成一份、二份、四份；“寫一寫\"環節要求學生寫出分數相等的式子；“說一說\"環節則是讓學生觀察圖形與對應的分數，討論這三個相等的分數中分子、分母的變化規律。在完成上述教學環節后，教師發放調查問卷，讓學生舉出例子。

三、問卷內容與調查對象

調查問卷旨在考查學生識別圖與圖之間、數與數之間、圖與數之間關系的能力，并要求他們仿照例題再舉幾個例子，畫一畫，寫一寫。調查問卷如圖2所示，要求學生獨立完成，時間為5分鐘。

本次調查在杭州市某區一所九年一貫制公辦學校五年級的一個基礎較好的班級（全校五年級共設有14個教學班）中進行，該班級共有學生45人。

四、調查結果與分析

經過調查，全班45名學生共提交了56個例子，平均每人貢獻約1.2個例子。其中，33名學生都只舉了1個例子，7名學生分別舉出了2個例子，3名學生分別舉出了3個例子，另有2名學生舉不出例子。以下是對具體結果的分析。

（一）能完全正確表示過程的例子

圖形直觀呈現能夠促進思維可視化。教材循序漸進地引導學生從具體形象思維過渡到抽象邏輯思維，用“形\"去解釋“數”，用“數\"去歸納“形”。為此，學生要從用圖、用數、數形結合三個角度進行舉例。

在學生舉的56個例子中，有14個例子完全按照例題的示范（如圖3），首先呈現圖形，然后用分數表示圖形的陰影部分。由于陰影部分相等，因此分數也相等，據此寫出等式并通過觀察，進一步表示出分子與分子、分母與分母之間的關系。這種用圖對應圖、數對應數、式子對應式子、關系對應關系的邏輯順序進行舉例的方式，占總例子數的 25% 。

然而，許多學生僅舉出了1個例子，未能意識到通過多個例子（至少2個以上）探尋規律的重要性，導致推理過程顯得不夠嚴謹。筆者期望學生能有意識地舉出盡可能多（至少2個以上）的例子，通過反復觀察、發現規律，從而得出有理有據的結論。

（二）無法表達完整過程的例子

只用數表示分數之間大小關系的例子有13個（如圖4），約占總例子數的 23.21% 。用數形結合的方式表示的例子有41個（如圖5），約占總例子數的73.21% 。可喜的是，沒有學生僅用圖形進行舉例。

這說明大多數學生會“模仿”教材中的例子進行舉例，使用圖形與數對應的方式尋找規律。但在數形結合的例子中，有相當一部分學生未能很好地歸納規律或未能做到圖形與數的準確對應。

1.只寫了兩個分數相等。

用兩個分數來說明分數之間變化規律的例子有10個（如圖6），約占總例子數的 17.86% 。這反映出學生對問卷題目要求的理解不夠清晰，或者誤以為僅通過兩個分數就能充分表達自己的想法。

2.數與數之間的關系缺少等號。

在舉例過程的最后，并未給出等式，即分數與分數之間未用等號連接的例子有7個（如圖7），占總例子數的 12.5% 。這樣的舉例步驟顯得不夠完整，反映出學生的思維過程缺乏足夠的嚴密性。

3.分數之間的變化規律表示不清。

在圖8中，學生雖然畫了圖并標注了數值，但沒有添加表示分子與分子之間、分母與分母之間變化關系的箭頭，因此未能清晰地表達出分數之間的變化規律，這在一定程度上體現出他們思維過程的不嚴密。此類例子共有9個，約占總例子數的16.07% 。

上述數據表明，在回答“你還能舉出幾個這樣的例子嗎？\"這樣的問題時，學生雖能基本舉出相應例子，但在舉例過程中，其思維的嚴密性明顯不足。總體而言，學生的舉例能力尚需進一步提升。

（三）舉例的數據有一定的局限性

分析學生舉例時采用的分數，可以發現分母為2的倍數的例子有47個（如圖9），約占總例子數的83.93% 。

學生是否比較喜歡使用2的倍數作為分母？其原因何在？對此，筆者對其中一名學生進行了訪談。訪談內容如下。

師：同學，你好。題目要求你舉例說明，你在舉例時使用了哪些數據？

生：我使用了分母是4、分子是1的分數。

師（指向學生所寫的算式）：你為什么選擇使用分母為4的分數來舉例？

五、調查結論

1.學生從“看懂例子\"發展為“實際舉例子\"存在一定的難度。盡管學生能夠看懂例題，但在自行舉例時，往往僅限于寫出兩個分數相等的情況，未能充分理解題目要求。

2.學生有一定的舉例模仿能力，但在模仿例題并發現規律的過程中，部分學生未能完整地表達自己的想法和過程。他們要么忽略了分數之間相等關系的表述，要么未能清晰地展示變化規律，表明他們的推理意識不足。

3.學生對于“你還能舉出幾個這樣的例子嗎？”的要求不明確，只舉1個例子的居多。他們未能意識到，在發現規律和歸納結論時，需要大量的例子支持，以確保結果的準確性。

4.在選擇數據進行舉例時，學生表現出一定的局限性。學生傾向于使用2的倍數作為分母，可能是因為他們對此更為熟悉或更易于畫圖舉例，而對分母為非2的倍數的舉例感到困難。

六、啟示與建議

基于上述調查與分析，得出一些啟示與建議。

（一）引導學生得出三個分數相等的結論

教材中要求學生再舉出幾個這樣的例子，并給1 出了 的例子。為此，教師應引導學生不局限于兩個分數相等的情況，而是要進一步擴展到三個分數，并比較分子與分子、分母與分母之間的關系以及三個分數的大小關系等。同時，鼓勵學生從左往右、從右往左不同角度進行觀察，進而發現規律，得出結論。

（二）提高學生有理有據的說理能力

教材通過呈現例子進行示范。基于此，教師應引導學生仔細觀察例子中的步驟，并分析每一步的含義。然后讓學生說一說自己看到了什么，與同桌交流想法，通過思維碰撞建立直觀表象，感悟分數分子與分母的變化規律。教師應引導學生關注從“圖”到“數”，再到“關系”的一系列過程：因為圖中陰影部分相等，所以分數相等；因為分數相等，所以才有等式；因為有等式，才觀察分數各部分之間的關系。如此，一步步有理有據地說明分數之間的變化規律。

（三）學生的推理歸納意識還需要加強培養

一個結論的真實性、合理性不能僅憑一個例子來證明。從調查中可知，不少學生僅用一個例子就歸納出結論，這樣的數學推理過程不夠嚴謹。教師應鼓勵學生主動多舉例，通過反復觀察，探尋規律，進而總結歸納。要讓學生養成思維嚴謹的習慣，從

而培養學生的推理意識。

（四）教材例題的設計要留更多的思維空間

經過對北師大版、滬教版、蘇教版、浙教版、西師大版五種不同版本教材的教學內容的研讀，發現這些教材在設計此例題時不約而同地采用了數形結合的方式，通過面積模型（如長方形、正方形、圓平均分成幾份）來直觀呈現，旨在借助幾何直觀幫助學生理解，并引導學生從“形”進行觀察，用“數”進行歸納。

（浙江省杭州江南實驗學校）