具有裝車效率與負載均衡約束的分布式柔性流水車間調度問題研究

中圖分類號：TS7 文獻標識碼：A DOI：10.11981/j.issn.1000-6842.2025.01.169

在經濟全球化和市場競爭日益激烈的背景下，提高生產效率、降低成本、實時響應市場需求，是造紙企業在市場立足的關鍵。制造模式是影響造紙企業競爭力和生產效益的重要因素；因此，造紙企業需根據自身情況選擇合適的制造模式。與單一工廠制造模式相比，分布式工廠制造模式通過多區域建立工廠，減少規模效應，有效利用地域優勢，實現資源的合理配置，進而降低成本并提高生產效率，快速對實時變化與競爭激烈的市場作出反應[1-2]。通過合理的工件調度，可以降低生產過程中的空閑時間和等待時間，提高生產效率和產能利用率。在分布式車間中，每個工廠均配置柔性流水車間，即分布式柔性流水車間。柔性流水車間是分布式柔性流水車間的基礎[3-6]，在柔性流水車間中，每個工件包含多道工序，每道工序有一臺或多臺并行的可加工機器。具有柔性流水車間配置的分布式制造系統廣泛存在于實際生產中，但其調度問題較為復雜，引起了研究人員的廣泛關注[7-10]

根據應用場景及需求的不同，分布式柔性流水車間調度的優化目標也有所不同，主要有最大完工時間、能耗、總成本等。唐紅濤等[基于分布式柔性流水車間調度問題，考慮相鄰工序間的運輸時間，建立了以最小化最大完工時間為優化目標的數學模型，提出了一種求解該模型的改進布谷鳥算法。Jiang等[12]研究了考慮能耗的分布式混合流水車間調度問題，以最小化最大完工時間和總能耗為優化目標，通過改進基于分解的多目標進化算法，有效求解調度問題。Wu 等[3研究了多階段分布式可重入混合流水車間調度問題，通過局部搜索策略改進MOEA/D算法，建立了最小化最大完工時間和轉移成本的多目標優化模型。

在分布式柔性流水車間調度問題中，除考慮生產和存儲能力限制外，還需考慮實際生產中的特殊限制因素。在生產調度過程中，可通過調整生產順序，降低總成本并縮短最大完工時間。然而，生產調度方案可能出現裝車效率低下、工廠負載不均衡等現象。例如，同一客戶的訂單可能被分配到不同工廠進行生產，成品被運輸到不同倉庫進行存儲，導致發貨時需在多個倉庫間進行貨物分揀和裝車，降低發貨效率；此外，不同工廠的生產負載不均衡，導致各工廠完成加工的時間差值較大，延長了最大完工時間。目前，考慮裝車效率和負載均衡約束限制的分布式柔性流水車間調度問題的相關研究較少。張清勇等[4研究了分布式兩階段混合流水車間調度問題，提出一種教學優化算法，采用均衡工廠負載的方法進行初始化，引人淘汰機制以加強局部搜索效率，從而最小化最大完工時間。

分布式柔性流水車間調度問題已被證明是一個非確定性多項式困難（NP-hard）問題[15]，在考慮裝車效率和負載均衡的約束條件下，傳統優化算法在計算資源有限的情況下可能難以得到最優解。針對約束多目標優化問題在求解過程中存在的困難，本研究在非支配排序遺傳算法（NSGA-II）快速非支配排序、擁擠度計算及精英選擇策略的基本框架下，利用多交叉操作融合策略和約束處理技術進行算法改進，以期有效提高優化算法的計算性能。以配置典型分布式柔性流水車間的某生活用紙制造企業為研究對象，基于分布式柔性流水車間調度問題的特點，結合企業在實際生產中對裝車效率和負載均衡的約束限制，構建以總成本和最大完工時間為優化目標的分布式柔性流水車間調度模型。進一步利用企業真實數據進行仿真實驗，求解多組算例，驗證改進NSGA-II在求解分布式柔性流水車間調度問題的優越性和可行性。

1問題建模

1.1 問題描述

分布式柔性流水車間調度問題可以描述為： ① 一批數量為 的訂單包含 種待加工工件，將這些工件分配到工廠 中進行加工，該過程需考慮各工廠的生產能力限制和工廠負載均衡； ② 工件被分配到工廠加工時，根據工序的加工工藝，選擇可加工機器 ： ，該過程需考慮分布式柔性流水車間的調度規則； ③ 工件在機器中進行加工時，需安排工件的加工順序； ④ 加工完成后，將產品運輸到倉庫 中存儲，交貨期時將產品從倉庫中裝車發貨并交付客戶，該過程需考慮倉庫存儲容量限制和裝車效率。上述分布式柔性流水車間調度流程見圖1。

分布式柔性流水車間在裝車發貨時，有可能發生訂單異地裝貨現象，即同一客戶的訂單，需在多個倉庫中進行裝貨，導致發貨效率下降，額外的時間成本和運輸成本增加。為防止訂單異地裝貨現象，需在將分布式柔性流水車間的待加工工件分配到工廠階段，對訂單的發貨效率進行評估。本研究以裝車效率（LE）為評估訂單發貨效率的指標，其表達式如式（1）所示。

式中， 為訂單l的裝貨倉庫數。

以總成本最小化為導向得到的分布式柔性流水車間調度結果，可能會使工廠負載不均衡，導致各工廠間的完工時間差值較大，最大完工時間延長。因此，在將分布式柔性流水車間的待加工工件分配到工廠階段，需考慮各工廠間的負載均衡。利用工廠負載率可評估工廠的負載能力，即分配到工廠的工件總加工時間與該工廠的生產能力之比。工廠的負載均衡程度可用工廠負載率標準差進行描述，其表達式如式（2）及式（3）所示。

式中，LB為工廠負載率標準差， 為工廠 i 的負載率，LR為工廠平均負載率。

分布式柔性流水車間調度具有如下規則限制：①1 個工件只能在1個工廠中進行加工； ②1 道工序只能在1臺機器上進行加工，且僅被加工1次； ③ 同一時刻，1臺機器只能加工1道工序； ④1 個工件的工序只有在其上一道工序加工完成后才被允許加工；⑤1 臺機器只有在完成當前工序后，才被允許加工其他工序； ⑥ 在機器開始加工1道工序后，不允許停止或更換機器。此外，對工件和機器具有如下設定：不同工件間是平等的，不存在優先級；工件在不同工序間的轉移時間忽略不計；所有機器在零時刻均可進行加工；所有工件在零時刻均可被加工。

1.2模型構建

將工件分配到工廠與將成品運輸到倉庫是2個類型相近的部分調度問題，屬于工件分配問題；工廠中工件加工機器的選擇與工件加工順序聯系緊密，屬于車間調度問題。根據分布式柔性流水車間調度問題的特點，調度建模可分為分布式工廠工件分配模型和多工廠柔性流水車間調度模型2個部分。

分布式工廠工件分配模型的變量符號及定義如表1所示，分布式工廠工件分配模型可用式（4）～式（9）表示。

式（4）表示工件 只能選擇在1個工廠中生產，并且只能選擇在1個倉庫中存儲；式（5）表示工廠i加工所有工件的總耗時不能超過工廠i的生產能力 式（6）表示倉庫j存儲的所有工件總體積不能超過倉庫j 的存儲容量 ；式（7）表示裝車效率LE不小于設定的最小裝車效率 ，LE的計算見式（1）；式（8）表示負載率標準差LB不大于設定的最大負載率標準差 ，LB的計算見式（2）；式（9）表示以所有工件的總成本（Cost，由生產成本、運輸成本和存儲成本組成）為分布式柔性流水車間調度模型的優化目標之一。

多工廠柔性流水車間調度模型的變量符號及定義如表2所示，多工廠柔性流水車間調度模型可用式（10）＼～式（22）表示。

式（10）表示工廠 的完工時間大于分配到工廠f的所有工件的完工時間；式（11）表示工件 i 的完工時間在其最后一道工序 完成后；式（12）表示若選擇在機器 k 上加工工序 ，則需一直在機器 k 上進行工序 ，直至加工完成前，不允許更換機器；式（13）表示若未在機器 k 上加工工序 ，則開始時間和完成時間均設置為0；式（14）表示若在機器 k 上依次進行工序 、工序 ，則需在上一道工序 加工完成，且完成工序切換設置后，才能進行工序 ；式（15）表示若機器 k 上工序 未在工序 之前進行加工，則工序 需在工序 加工完成，且完成工序切換設置后，才可開始進行加工；式（16）表示工件i的工序 只有在上一道工序 完成后才開始加工；式（17）表示工序 只能在可加工機器 中進行加工，且僅可被加工1次；式（18）＼～式（21）是對決策變量取值范圍的限制；式（22）表示多工廠柔性流水車間的最大完工時間是各工廠完工時間的最大值，其為分布式柔性流水車間調度模型的另一個優化目標。

2 改進NSGA-II

非支配排序遺傳算法（NSGA-II）[6是一種高效的多目標優化算法，已被廣泛應用于求解具有多個優化目標的車間調度問題[17-18]。NSGA-II的基本流程為：

根據決策變量的取值范圍，均勻分布并隨機初始化變量，生成種群大小為 的初代種群；對初代種群進行快速非支配排序，得到非支配層級和擁擠距離；通過二元錦標賽從種群中選擇產生父代，以交叉概率 模擬二進制交叉，以變異概率 發生多項式變異，得到子代種群；新種群和上一代種群合并后，再進行快速非支配排序，通過精英選擇策略保留較好個體到下一代種群；進行種群循環迭代，直到滿足終止條件，將支配層級最小的解集，即Pareto前沿作為結果輸出。

在NSGA-II快速非支配排序、擁擠度計算及精英選擇策略的基本框架下，使用多交叉操作融合策略和基于兩排名融合的約束處理技術，對NSGA-II進行算法改進。圖2為改進NSGA-II流程圖。

2.1多交叉操作融合策略

交叉操作是決定算法性能的重要因素之一。相關研究表明，不同的變異操作在算法中承擔的作用不同[19-20]，有些交叉操作在勘探能力上表現較好，而有些在開采能力上表現較好。單一的交叉操作通常難以兼具良好的勘探能力和開采能力；因此，本研究基于NSGA-II，采用多交叉操作融合策略，綜合不同變異操作的優勢，提升算法的勘探能力與開采能力。

第1種交叉操作（Crossover1）為基于NSGA-II的交叉操作，可有效利用2個父代個體的信息，如式（23）所示；第2種交叉操作（Crossover2）和第3種交叉操作（Crossover3）是根據文獻［19］演變得到，如式（24）和式（25）所示。其中，Crossover2使用了種群中的隨機個體，能利用2個父代個體以外的信息，具有更強的勘探能力；Crossover3使用了當前種群Pareto解中的隨機個體，能利用種群中精英個體的信息，具有更強的收斂能力。為使種群在前期更充分地探索解空間，在后期更快速地收斂得到最優解，本研究使用概率控制的多交叉操作融合策略改進NSGA-II，表達式見式（26）和式（27）。

式中， 和 為父代種群中的2個個體； 為種群中與 和 不同的隨機個體； 為種群Pareto解中的隨機個體； F 為縮放因子。

式中， 和 為均勻分布在[0，1]上的隨機數；α 為概率控制參數，與算法迭代次數有關；Fes為當前評估次數， 為最大評估次數。

2.2 約束處理技術

約束違反程度與優化目標的平衡是處理約束多目標優化問題的關鍵之一[21-23]。NSGA-II利用基于懲罰函數的約束處理技術，將約束違反程度作為適應度值添加到每個優化目標中，如式（28）＼～式（29）所示。

式中， 為約束違反程度， X 為決策變量； 為第 i 個不等式約束條件， 為第 j 個等式約束條件； 和 分別為不等式約束條件和等式約束條件的個數； F（X） 為適應度函數， f（X） 為目標函數，λ 為懲罰系數。

基于懲罰函數的約束處理技術在通常情況下效果顯著，然而，當目標函數與約束違反程度之間的數量級差距較大時，懲罰系數入如果設置不恰當，易導致非支配排序偏向目標函數或約束違反程度一方。若偏向目標函數，算法會更多保留目標函數結果較好的個體而忽略約束條件，可能導致找不到可行解；若偏向約束違反程度，算法會優先保留約束違反程度較低的個體，可能使種群陷入局部可行區域，無法得到全局最優解。

由于基于懲罰函數的約束處理技術存在局限性，本研究使用一種基于兩排名融合的約束處理技術。兩排名分別是：基于非支配層級和擁擠距離的排名 ，以及基于約束違反程度的排名 。基于兩排名融合的約束處理技術與算法迭代次數和種群中的可行解占比有關。一方面，兩排名融合的表達式與算法迭代次數有關。在迭代早期， 應占據較大權重，以保證種群多樣性，使種群不易陷入局部最優解；隨著迭代的進行， 應占據較大權重，因為在迭代后期需保證算法可行性，以找到更多可行解。另一方面，兩排名融合的表達式與可行解占比有關。可行解占比較小時，應提升 的權重，以保證解的可行性；反之，應提升 的權重，以保證解的多樣性。兩排名融合的約束處理技術表達式見式（30）＼～式（32）。

式中， R 為融合排名， β 為融合系數， 為可行解占比， 和 為可行解占比的下界和上界； 為可行解數量， N 為種群個體數量。

3仿真實驗

3.1實驗數據

本研究以配置典型分布式柔性流水車間的某生活用紙制造企業為研究對象。該企業具有3個分布在不同區域的工廠，每個工廠均配置柔性流水車間，且工廠內的加工機器數量不同。在該企業的柔性流水車間中，工件的加工可概括為前加工階段和后加工階段。其中，前加工階段包括碎漿、磨漿、壓榨、干燥、卷取等工序，后加工階段包括復卷、裁切、包裝等工序。為簡化分布式柔性流水車間調度模型，可將工件的加工簡化為前加工和后加工2道工序。對于該企業的工廠1，前加工和后加工工序可選擇的機器數量分別為3和8；對于工廠2，分別為2和6；對于工廠3，分別為2和5。此外，調度方案在滿足工廠生產能力和倉庫存儲能力的條件下，還需滿足裝車效率 0.6，工廠負載標準差 LBlt;0.2 的企業要求。

根據該企業提供的部分實驗數據，包括各工廠生產單位工件的生產成本、在工廠與倉庫之間運輸單位工件的運輸成本、各倉庫管理單位工件的存儲成本、各工廠機器加工單位工件的前加工時間和后加工時間，僅需生成一批訂單，就能模擬該企業在一個時間段內的生產調度過程。本研究選取該企業的20種產品，生成10組訂單數據作為仿真實驗的測試算例。其中，每組訂單數量為5～50個，每個訂單在20種產品中隨機選取3～6種，每種產品的待生產數量在200～4000范圍內隨機生成。仿真實驗的測試算例參數設置如表3所示。

3.2實驗說明

分布式柔性流水車間調度問題需確定加工工件的工廠編號、工廠中加工工件的機器編號、機器上工序的加工順序及存儲產品的倉庫編號。本研究設計了一種4層染色體形狀的編碼方案，分別為工廠分配層編碼（FL）、機器分配層編碼（ML）、工序排序層編碼（OL）和倉庫分配層編碼（SL）。其中，FL和SL使用實數編碼，長度與工件數量相同，取值范圍為（0，3]；ML使用實數編碼，長度與工序數量相同，即為工件數量的2倍，取值范圍為（0，1]；OL使用整數編碼，長度與工序數量相同，取值為工件編號。

初始化時，實數編碼的FL、ML和SL可在取值范圍內通過均勻分布隨機生成，整數編碼的OL則根據工件編號隨機打亂順序。在算法迭代的交叉操作中，實數編碼的FL、ML和SL可適配多交叉操作融合策略；整數編碼的OL的值表示工件編號，位置表示工序加工順序，相同值的不同位置表示同一工件的不同工序，因此采用POX交叉操作[24]。解碼時，FL和SL只需向上取整便能得到工件對應的工廠編號和倉庫編號；ML需先乘以工件對應加工工廠的機器數量，然后向上取整得到機器編號；OL需根據機器上工件所在加工工序的相對位置得到工序排序。

以工件數量為4的訂單作示例，演示4層染色體形狀的編碼和解碼方案，結果見圖3。如圖3所示，根據FL解碼，工件 、 的工廠編號分別為2、1、2、3；根據ML解碼，工序 、 的機器編號分別為2、2、1、4、1、2、2、3，其中工序 和工序 均被安排在工廠2的后加工機器2中；根據OL編碼所得工序 和工序 的相對位置，機器2先加工工序 ，再加工工序 根據SL解碼，工件 、 、 的倉庫編號分別為1、1、2、3。

本研究以最大完工時間和總成本為優化目標，建立分布式柔性流水車間調度模型，但最大完工時間和總成本在優化過程中互相矛盾，而最優解是一個包含多個非支配解的Pareto解集。評價多目標優化算法的性能指標主要有超體積（HV）和反世代距離（IGD）[25-26]。HV指標是算法得到的Pareto前沿與參考點形成的封閉空間體積，用于評價算法的收斂性和多樣性。HV的值越大，說明算法得到的Pareto前沿與參考點圍成區域的體積越大，算法的性能越好。IGD指標是算法所得Pareto前沿與優化問題真實Pareto前沿的平均最小歐式距離，用于評價算法的收斂性和分布性。IGD的值越小，說明算法得到的Pareto前沿越接近優化問題的真實Pareto前沿，算法的性能越好。

由于本研究中的分布式柔性流水車間調度問題是一個實際工程問題，難以得到準確的真實Pareto前沿。因此，以總成本為橫坐標、完工時間為縱坐標，HV指標的參考點選擇優化目標取值足夠大的點，本研究選取的參考點坐標為（ ， ；IGD指標的參考點選擇優化目標取值足夠小的點，本研究選取的參考點坐標為（0，0）。下文將改進NSGA-II記作INSGA-II，將利用多交叉操作融合策略的NSGA-II記作NSGA-II-MC，將利用基于兩排名融合的約束處理技術的NSGA-II記作NSGA-II-2R。值得注意的是，由于啟發式算法求解優化問題存在隨機性，對于本研究中的10個測試算例，分別運用以上4種算法求解分布式柔性流水車間調度模型30次，以評價指標HV和IGD的均值和標準差作為測試結果，將30次計算結果的Pareto前沿合并后取平均值，得到平均總成本和平均最大完工時間。此外，為比較算法之間的差異性，采用顯著水平為0.05的Wilcoxon符號秩檢驗，如果檢驗結果 lt;0.05 ，則說明算法之間存在顯著差異。本研究從性能及差異顯著性2個方面對NSGA-II與其他3種優化NSGA-I進行算法比較，以‘ + ”表示優化NSGA-II顯著優于NSGA-II，“≈”表示兩者無顯著差異，“-”表示顯著劣于NSGA-II。

本研究中仿真實驗的軟件環境為Windows10操作系統和MATLABR2020b，硬件環境為AMDRyzen9、3.8GHz 、32GBRAM；求解調度問題的終止條件是目標函數的評估次數，最大評估次數為10000次；NSGA-II和優化NSGA-II的參數默認值相同，包括種群大小為100、交叉概率為0.8、變異概率為0.2。

3.3實驗結果分析

分別運用NSGA-II及其優化算法求解分布式柔性流水車間調度模型，得到的評價指標HV、IGD見表4和表5。如表4和表5所示，在多數情況下，NSGA-II及其優化算法均能在達到終止條件時，輸出滿足約束條件的可行解。然而，在運用NSGA-II和NSGA-II-MC求解部分測試算例時，出現了30次求解仍未得到可行解的情況，如運用NSGA-II求解算例P9和P10時、運用NSGA-II-MC求解算例P10時。

由表4所示的HV指標差異性比較可得，根據 Wilcoxon符號秩檢驗，NSGA-II與NSGA-II-MC在3個 算例求解中無明顯差別，而NSGA-II-MC在7個算例 求解中顯著更優；NSGA-II與NSGA-II-2R在8個算例 求解中無明顯差別，而NSGA-II-2R在2個算例求解中 顯著更優；NSGA-II與INSGA-II在2個算例求解中無 明顯差別，而INSGA-II在8個算例求解中顯著更優。

由表5所示的IGD指標差異性比較可得，NSGA-II 與NSGA-II-MC在3個算例求解中無明顯差別，而 NSGA-II-MC在6個算例求解中顯著更優；NSGA-II與 NSGA-II-2R在8個算例求解中無明顯差別，而NSGAII-2R在2個算例求解中顯著更優；NSGA-II與INSGA-II 在3個算例求解中無明顯差別，而INSGA-ⅡI在7個算 例求解中顯著更優。

通過HV和IGD指標的分析結果可看出，多交叉操作融合策略在改進算法求最優解方面較優，兩排名的約束處理技術在改進算法求可行解方面較優。綜上，多交叉操作融合策略和兩排名的約束處理技術在改進NSGA-II上是有效的，二者提升了NSGA-II接近真實Pareto前沿的能力。

運用NSGA-II及其優化算法求解分布式柔性流水車間調度問題，得到的平均總成本和平均最大完工時間見圖4。如圖4所示，在仿真實驗測試的10個算例中，NSGA-II-MC和NSGA-II-2R求解得到的結果大部分小于NSGA-II，少部分與NSGA-II求解得到的結果為非支配關系，驗證了優化NSGA-II的有效性。INSGA-II求解所得Pareto前沿的平均值，在總成本和最大完工時間上均小于NSGA-II，驗證了優化NSGA-II的優越性。

相比NSGA-II，運用INSGA-II所得平均總成本和平均最大完工時間減少率見圖5。值得注意的是，由于NSGA-II未求得算例P10的可行解，本研究未對平均總成本和平均最大完工時間減少率進行計算。如圖5（a）所示，在INSGA-II求解的10個算例中，平均總成本減少率為 ，均值約為 1.91% ；如圖5（b）所示，各算例的平均最大完工時間減少率波動較大，最大可達 7.25% ，均值約為 4.47% 。綜上，INSGA-II在求解本研究的分布式柔性流水車間調度問題方面是有效可行的。

4結論

本研究針對分布式柔性流水車間調度問題的特點，考慮了裝車效率和負載均衡的約束限制，構建了以總成本和最大完工時間為優化目標的分布式柔性流水車間調度模型。此外，使用多交叉操作融合策略和約束處理技術對NSGA-II進行改進，并通過仿真實驗驗證了其有效性和優越性。仿真實驗的結果表明，改進NSGA-II生成的調度方案，平均總成本的減小率為1.91% ，平均最大完工時間的減小率為 4.47% 。通過本研究方法得到的調度方案能滿足企業約束要求，為企業的生產調度提供可行的參考方案。

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Abstract：WithotalosdakesatiabectissedeomnatedSrtigeeticlgitr work，thealgoritwasimprovedbyusingulti-crooveroperatiofusionstratgyandconstrainthandingtechques，nddistributed flexibleflowsosedulingodeltatcombesladingeiiencyandloadbaancingconsrantsacostructedinthisstudycoding totheactualdatasourcedfromaouseholdpaperanufacturingenterpriseichconfiguredatypicaldistributedfexiblefowsopseveral examplesofsimulationexperimentsregeneratedtoverifytefectivenssdsuperiorityofteiproedalgorithesultsoed thatcomparedwithGA-，eproductiosduligheebtaidfroimprodGA-Iadaveragetotalosteductioofbout 1，91% and an average makespan reduction of about 4. 47%

Keywords：production scheduling；distributed flexible flow shop；constrained optimization problem；NSGA-II