基于結構化思維 凸顯軸對稱本質

圖形的運動，又稱圖形的變換，分為全等變換和相似變換，小學階段有關圖形的全等變換內容為平移、旋轉和軸對稱。在學習了相關內容后，當提及圖形的運動時，學生首先想到的是平移和旋轉，而沒有將與平移、旋轉一樣同是全等變換的軸對稱視作一種圖形，更沒有將其看作圖形運動的方式。盡管在教師的追問、強調和補充之下，學生最終好像也能接受將軸對稱納入圖形的運動范疇中，但對軸對稱的理解卻簡單而狹隘（見表1）

可見，學生雖然按教材編排進行系統的學習，但對軸對稱的理解卻長期處于狹隘層面。學生為什么會產生概念認識上的模糊現象？教師在教學中應該怎樣幫助學生實現對軸對稱概念的正確理解呢？

一、學生的理解與困難

學生不容易將軸對稱放到與平移、旋轉同等的地位，沒有將其看作圖形運動方式的原因是多方面的。其中，軸對稱運動的特殊性、教材編排以及按教材編排邏輯展開教學是重要的原因。

1.概念的名稱相對抽象

平移和旋轉的概念名稱自帶“運動基因”，除了能讓學生非常直觀地感受到“動”的底色，還能從概念名稱上快速聯想到“動”的方式，而軸對稱的概念名稱中的直觀成分無疑隱晦許多。在學生再次學習軸對稱（四年級下冊）后，詢問學生以下問題（見表2），學生的答題情況也說明了這一點。

上表說明，面對軸對稱這一概念名稱時，學生無法馬上從中抽取出圖形的運動方式，而是需要依靠已建立的圖形運動表象與概念名稱之間的聯結，通過回顧圖形具象的運動過程，思索這一圖形獨特的運動方式該用哪個合適的詞匯進行表達。顯然，相較于平移與旋轉，這一過程與軸對稱這個概念名稱所具有的抽象性不無關系。如果軸對稱的教學沒有體現其運動性，那么學生的理解更是難上加難。

2.運動的方式比較特殊

軸對稱運動相較于平移、旋轉運動有很大的不同，平移、旋轉運動都是一個圖形在圖形所在平面上的二維運動，而軸對稱是一個圖形上的任意一點都以這點在對稱軸上相應的垂足為圓心，向圖形所在平面外做了 的圓周運動，也就是沿軸進行了一次翻折的運動。但學生在學習旋轉后，在一定程度上將軸對稱這樣的翻折運動過程，理解為圖形沿對稱軸進行了 的旋轉運動。以三角形ABC的軸對稱與旋轉運動（見表3）為例，其實不管是軸對稱還是旋轉，就運動過程而言，它們都是以一條直線（對稱軸）為軸，向圖形所在平面外做了 的圓周運動。不同在于，軸對稱的重點在對稱上，意義在于運動前后兩個圖形要關于一條直線對稱；旋轉的重點在轉動上，強調的是圍繞中心進行了怎樣的旋轉。盡管軸對稱與旋轉是截然不同的兩種圖形運動方式，但就翻折的運動過程來看，軸對稱這一運動過程中也有旋轉的要素。翻折的過程是旋轉的，結果是對稱的，因此軸對稱運動具有復合性，這也給學生的理解造成了一定的影響。

3.相近的概念容易混淆

學生在應用軸對稱這一概念名稱時，常常會把“軸”這一關鍵字省略，說成“對稱”，而把軸對稱圖形也簡稱為“對稱”，這說明了學生在概念意義理解上的模糊與混淆。特別是對稱軸與軸對稱、軸對稱與軸對稱圖形的意義，如果學生不能準確區分，就會造成理解上的偏差與概念上的混淆。因此，學生在理解軸對稱概念意義時，必須同時理解與其相關的其他概念。也就是說，學生要理解的不是單一的概念，而是面對一個概念群。這是學生在學習平移、旋轉運動時不會遇到的情況，無疑也增加了學生理解上的困難。

二、教材的編排與教學

當前，教材將圖形的全等變換內容多分為兩個階段進行編排（見表4），年級上雖略有差異，但整體思路差不多。第一階段是感受全等變換現象，初步認識圖形的運動；第二階段由表及里，進一步深化認識。這樣編排既分散了難點，遵循了學生的認知規律，由感知現象到認識本質，也體現了知識螺旋上升的特點，無疑是科學的一種分段安排。但這樣的編排也存在以下一些問題，值得我們思考。

第一階段：沒有彰顯軸對稱的運動屬性。

三個版本教材在第一階段，對軸對稱、平移和旋轉的編排體系及例題形式總體相似，但軸對稱在編排上較平移和旋轉有著不同的邏輯，容易讓學生產生錯覺。以人教版編排為例（見圖1），三者都是由生活中的運動現象引入，平移和旋轉由相應的平移、旋轉現象非常自然地引出了平移、旋轉運動。如平移的例題編排，學生能直觀感受到一個圖形經過運動后可以變換到另一個位置上。按照這樣的邏輯，編排軸對稱內容時應由軸對稱現象引出軸對稱運動，這是非常自然的過渡。但實際上，軸對稱的編排卻由軸對稱現象引入轉向了對軸對稱圖形的認識，即從一種運動現象轉到一種靜態圖形的認識，從認識軸對稱運動變成了認識軸對稱圖形。在軸對稱內容編排中，始終沒有說明軸對稱是一種圖形運動的方式，素材也沒采用和平移與旋轉一樣的動態圖，最后又轉向了靜態的軸對稱圖形特征的認識，這樣大大弱化了軸對稱“動”的底色。雖然教材中有編排\"對折\"這一動態過程，但學生更傾向于把它作為制作軸對稱圖形的一種方法。再者，剪紙時左右兩邊的圖形是同時存在的，學生把它看成一個整體圖形是非常自然的事情，而不會將它一分為二地理解成是左邊的圖形沿著折痕翻動到右邊的結果。因此，教學后，與學生自然地把平移、旋轉看作圖形運動方式形成鮮明對比的是：把同屬圖形運動內容的軸對稱不看作圖形運動進行了區別對待。教材編排與教學的差別，在一定程度上造成了學生理解的偏差。

第二階段：不夠凸顯軸對稱的性質特征。

此階段的軸對稱學習，重點在于對軸對稱特征的認識，即對稱點的連線與對稱軸垂直且到被對稱軸平分，也就是我們常說的“等距”與“垂直”。不同版本教材在例題編排上略有不同，如人教版和北師大版教材將發現軸對稱性質（垂直且等距）和運用軸對稱性質（補全圖形）分開兩個例題編排，而蘇教版教材則在補全圖形的例題中，讓學生在不自覺運用軸對稱性質中再識性質。為了幫助學生更好地理解軸對稱的性質特征，幾個版本教材都選用了比較簡潔的圖形和格子圖。

1.格子圖的使用比較單一

在格子圖的使用上，不同版本教材都是采用通鋪形式，即對稱軸左右兩邊都提供了格子圖。格子圖的使用降低了作圖的難度，學生只要通過數格子數就可輕易發現從對稱點到對稱軸距離相等的性質。但這樣也存在以下問題：

一是對“等距”體驗不深。學生在格子圖上找對稱點只需數格子的數量，并不需要經歷實際測量的過程，這極大弱化了學生對對稱點到對稱軸距離相等的體驗。如果對稱軸的右邊不提供格子圖，學生在找對稱點的過程中，就要通過測量才能確定對稱點的位置。這一測量定點的過程與數格定點相比，能明顯加強學生對等距的體驗，而這也正是學生多感官體驗等距性質的過程

二是對“垂直\"體驗缺失。通鋪格子圖上數格定點，在極大弱化學生對等距體驗的同時，也導致學生對垂直體驗的缺失。因為格子的橫、豎線是垂直的，學生在找對稱點的過程中只需關注格子數，也就是等距因素就可以了，從頭到尾不需要也沒機會關注垂直因素。盡管教師引導學生觀察補全后的圖形，學生似乎也順理成章地發現了等距與垂直的性質，但這種“看客式”的看圖發現，垂直只是一個被告訴的附屬品，顯然缺失內需式的真實體驗。

如在半鋪的格子圖上補全圖形，學生在找對稱點的過程中必然要考慮垂直因素。盡管有個別學生受之前學習的影響，會想到在右邊補格找點，但大部分學生都能想到將關鍵點所在的橫線反向延長后測距找點。此時，教師只要追問學生“為什么一定要反向延長橫線來找對稱點？隨意畫線可以嗎？”，就可以引導學生回顧點到直線的距離等知識，這樣垂直因素的需求就真正產生了，而學生對垂直性質的理解也更加深刻。

2.關鍵點的位置可以優化

不同版本教材都提供了較為簡潔的圖形作為素材，圖上關鍵點的個數也比較接近，這樣學生操作起來比較合適。如按照點到對稱軸的垂線是否與圖形的輪廓線重合，點可分為“內、外、平\"這三種情況。如小樹圖（見圖2），A點與對稱軸的垂線（或部分）會在圖形輪廓外部，劃分為“外”； C，D 兩點則劃分為\"內”； B，E 兩點與對稱軸的垂線（或部分）會和圖形輪廓重合，劃分為“平”。其中，“平\"這一種情況比較特殊，因為點與對稱軸的垂線剛好和圖形輪廓線完全重合。因此，教師將點與對稱軸的垂線進行“翻折\"演示時，學生不好區分是垂線還是輪廓線在“翻折”。即“平\"這一情況的點的個數過多或多點共線，會在一定程度上給學生理解造成干擾。此外，從距離維度考慮，也可以適當減少多點等距的情況。因此，圖形素材包含的點的位置情況還可以進一步優化。

三、教學的思考與改進

第一階段：彰顯軸對稱的運動屬性。

軸對稱與平移和旋轉一樣，歸根結底都是全等變換過程中點的運動方式。因此，體現軸對稱的運動屬性，應該成為不同階段軸對稱內容教學一以貫之的共同理念。那么，在第一階段教學軸對稱時，教師就應該強調軸對稱的運動屬性，幫助學生形成正確的軸對稱的第一印象。為體現軸對稱的運動屬性，不妨把教材內容作如下修改（見圖3）。

這樣編排，解決了上文所提及的本應認識軸對稱卻悄然轉向認識軸對稱圖形的尷尬境地，邏輯上更加通順。此外，在對折制作軸對稱圖形的教學中，除了說明為什么對折可以制作出軸對稱圖形的道理，教師還要引導學生將翻折展開的過程與軸對稱運動建立聯系。也就是說，教師要重組現有的教學資源，在教學上作恰當的處理，讓軸對稱的教學體現其運動屬性。

第二階段：凸顯軸對稱的性質特征。

在學生建立起軸對稱是一種圖形運動方式的感知后，第二階段的教學應該引導學生由定性描述的感性認知轉向定量刻畫的深刻理解，也就是要認識軸對稱運動的特點以及由此產生的軸對稱圖形的特征，理解軸對稱的等距、垂直性質。

1.位置情況從豐富到優化

軸對稱運動說到底是點的運動，教師一般會從圖形上關鍵位置的點展開教學。前文已分析，小樹圖點的位置情況（見圖4）雖比較豐富（包含了“內、外、平”三種情況），但進一步分析可以發現： C，D 兩點一樣存在重復； B，C 兩點共線會造成它們在翻動過程中，點到對稱軸的垂線以及圖形的輪廓線等部分重疊在一起，不利于學生清楚區分。因此，在實際教學中，可對圖上關鍵點的位置進行適當優化（見圖5）。優化后，小樹圖上4個點的位置依然包含了“內、外、平\"這三種情況，且各點與對稱軸的垂線沒有重疊，而 A，C 兩點雖同屬“內\"這一情況，但情況卻各不相同。如此，優化后圖形點的位置元素更加豐富，能減少無關因素的干擾，有助于學生聚焦等距、垂直這兩個核心要素，深化對軸對稱性質的理解。

2.格子使用從通鋪到不鋪

為了解決格子通鋪教學時學生對“等距”體驗不深、對“垂直”體驗缺失的問題，不妨改變格子圖的使用方法，凸顯軸對稱的性質。

（1）復習引入

師：（出示圖的一半，略）這個圖形沿著對稱軸翻折過去，會是什么樣的圖形？（學生回答后動畫演示翻折過程，補全圖形）

（2）新知學習

師：最后的圖形沿對稱軸翻折過去，將會是一棵怎樣的小樹呢？圖上的 A，B，C，D 這四個點（動畫閃爍）隨著圖形的翻折，又會運動到哪個位置呢？

師：（出示學習單）請先在學習單上標出A、B、C、D這四個點運動后的確切位置，再把運動后的整個圖形畫出來。如果有困難，可以揭掉學習助手上的便利貼，利用里面的格子圖幫助完成。（學習助手里提供的是通鋪的格子圖，為學習有困難的學生提供學習支架）

反饋交流：收集學生作品，按“格子圖全鋪 arrow 半鋪作品”的順序展開，重點聚焦格子圖半鋪時如何確定翻折后點的位置問題。

理解性質：如果左邊的格子圖也沒有了，你還能找到 A，B，C，D 這四個點翻折運動后的確切位置嗎？（引導學生理解畫對稱點連線與對稱軸垂直的道理，發現軸對稱等距、垂直的性質）

深化理解：通過有層次的點的位置的變化，引導學生進一步感受無論點的位置如何變化，都可以根據軸對稱的性質，運用畫垂線的經驗在另一側很快找到它的對稱點。

上述教學，一改整課格子圖通鋪的教學，從半鋪開始，退則通鋪（學習助手），最后到不鋪。半鋪或不鋪格子，增加的是情境識別的困難，而不是技能操作的困難。因為學生一旦識別情境后，調用測量長度、過點作垂線和點到直線的距離等知識經驗，問題便迎刃而解。正因結構化材料的應用，促使學生必須著眼于等距、垂直這兩個核心要素，深化了對軸對稱性質的理解，也讓學生對軸對稱圖形從對折能完全重合的表象認知上升到對折為什么能完全重合的深刻理解。

3.對稱判斷從重合到性質

學習軸對稱后，判斷一個圖形是不是軸對稱圖形是常見的教學環節，但由于一些教師沒有很好地把握軸對稱不同階段的教學要求，沒有運用軸對稱的性質進行說明，導致此環節的教學仍然停留在“兩邊一不一樣”“對折后能不能完全重合”的層面上。這樣于無形中弱化了軸對稱性質的應用，在第一階段的定性描述上，學生就會出現“擁有兩部分完全相同的圖形（中心對稱）怎么還不是軸對稱圖形”的疑惑。因此，為深化學生對軸對稱的認識，不妨直面學生的認識誤區，開展應用軸對稱性質判斷說理的教學。如教師設置“請你來找碴\"教學環節：“課前，老師了解到有些同學學習軸對稱時，認為平行四邊形是軸對稱圖形，并畫出了它的對稱軸，還找到了對稱點（課件出示圖，略）。他們畫的對嗎？你能不能利用軸對稱的性質，說明平行四邊形為什么不是軸對稱圖形嗎？請在圖上表示出你的想法。\"在學生判斷后，課件同步演示原因，引領學生理解翻折過去不能完全重合的根本原因是“垂直但不等距\"或是“等距但不垂直”。這樣從軸對稱性質層面分析中心對稱圖形不是軸對稱圖形的原因，在于它沒有同時符合軸對稱垂直和等距的兩個性質，從而糾正學生簡單地把圖形分為兩個相同的部分，就認為它是軸對稱圖形的判斷方法。

4.運動認識從孤立到聯系

要想學生將軸對稱、平移和旋轉同等對待，除了按教材編排進行課時的拆分教學，還應關注軸對稱、平移和旋轉之間的聯合教學。如在旋轉教學后，將軸對稱、平移和旋轉進行橫向的聯系與對比（見圖6）。

師：學習新知識，常常會把它和舊知識作比較。旋轉、平移和軸對稱，它們都能讓圖形“動\"起來，但“動”的一樣嗎？

生：不一樣。軸對稱是把圖形翻折過去，平移 是移動過去，旋轉是轉動過去…

師：平移是圖形在移動，旋轉是圖形在轉動，而軸對稱是圖形在翻動；平移是移動相同的距離，旋轉是轉動相同的角度，軸對稱是翻折到相反的位置。那么，它們又有什么一樣的地方呢？

生2：運動前后，圖形的大小、形狀都不會發生改變，改變的是它們的位置·

這樣，通過聯系與對比，將軸對稱、平移和旋轉放在同等地位，使不同的圖形運動間既有區別，又彼此聯系；通過比較同與不同，讓學生對圖形運動有了更全面的認識

總之，教師要準確把握軸對稱的本質，站在整體教學視角，基于教材創新教學思路，使軸對稱在不同階段的教學中，既有知識理解層面的區別，又有數學本質上的聯系，實現學生概念學習本質化、系統化、結構化的理解。

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（責編杜華）