基于提升學生數學素養的教師命題策略探析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“學業水平考試\"的命題原則中指出，“以核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查‘四基‘四能與核心素養”。基于訪談、口頭測驗、課堂觀察、書面測驗、方案設計、課內外作業、實驗報告等策略，設定一個真實情境的具體任務，通過這個任務的解決，對學生學業成就表現進行總體刻畫，來考查學生核心素養的達成情況。

一、命題策略以素養形成規律為導向，側重學習過程

在“數與代數\"內容的教學中，鑒于學生已有的知識經驗、認知水平、學習進階要求，結合具體教學內容特點，教師圍繞單元目標細化具體課時的教學自標，選取“冪的乘方運算”的單元教學命題設計策略主題，探討運算命題相關的核心素養的培養，教師采用測試、訪談和作業等命題策略，取得在探索中整體把握，在活動中層層遞進的效果。

1.測試：請回憶冪的相關知識并完成填空（如下表）。

錯因剖析：對于 的意義全班同學都填對了，但計算量大了一點，部分同學在計算 5 × 5 × 5 時出錯了，有兩位同學把一2和 弄混了，教師引導他們先讀一讀，再結合乘方的意義進一步明確底數的正確答案。

2.訪談：在學習全等三角形一章時，我們對全等三角形的判定方法是怎樣展開研究的，同學們是否還記得呢？

生1：我記得第一節課研究了判定的全部方法，后面又上了幾節習題課，先整體研究再進行練習，對于AAS和ASA易混淆的方法也進行了對比講解。

生2：我記得沒有對判定方法逐一進行講解，是在第一課時進行了整體研究。

生3：我記得是從一個條件、兩個條件、三個條件開始講解的，畫圖舉反例。

通過測試和訪談掌握了學生的基本學情：理解乘方的意義，對冪、指數、底數等概念已經很熟悉了。在全等三角形的判定方法的探究中，歷經對教材按照章、節進行整合的全過程，積累了一些活動經驗，但是章與節、節與節相關數學命題內容缺少系統思考的思維過程。

3.學生作業。

在對冪的乘方進行運算時，下列計算正確的是【 ）。

A. B C. （2號 D.

本題考查的知識有整式的加減法，同底數冪的乘除法、冪的乘方，屬于基礎知識和技能的考查。班級學生的正確率為 8 5 % ，選錯選項集中在選項B和選項C，選擇這兩個選項的學生沒有明確運算對象。對于學生而言，3課時整合的內容更具有挑戰性，同時，也增強了學習興趣，使其能夠獲得更多觀察、比較、判斷、選擇等思維參與的機會，更有利于他們對3個運算性質內在聯系和差異的理解。

本命題基于學生的認知經驗，數與式具有通性，特別是運算律的遷移性，為學習整式乘法打下方法和經驗基礎。冪的乘法運算是整式乘法的基礎，無論從學科價值還是從學生運算素養培養的角度來看都具有較大的價值，能夠從具體情境中抽象出數學符號，掌握必要的運算技能、探索具體情境問題中的數量關系和變化規律，建立符號意識，認識到通過合理推理探索數學結論是培養數學素養的關鍵。

二、命題策略以學科知識建構為依托，突出學科素養

建構主義認為世界是客觀存在的，但每個人的經驗世界是自己建構的，因此，學生學習是自己建構知識的過程，這種建構是他人無法替代的。教學“圖形與幾何\"情境單元中“勾股定理\"時，命題策略可以選擇課前調查、動手實踐、課堂觀察和書面檢測等方式，搭建幾何圖形和數量關系間的橋梁，讓學生自己體驗定理的發現、推演和應用過程，在此過程中培養他們的符號意識、幾何直觀、運算能力和推理能力，力求促進學生思考，培養創新意識。

1.課前調查

在進行“勾股定理\"這一章教學前，教師先做調查，見下表：

調查情況如下表（全班學生共38人）：

基于調查結果，教師開始設計拼圖與剪圖活動，學生親身經歷構造圖形的過程，加深對圖形的認識，在此過程中，讓學生做有關三邊長為勾股數的直角三角形的計算題，從而猜想三邊關系，經歷發現勾股定理的過程，隨后讓學生測量任意直角三角形三邊長度并完成相關計算，發現不同的結論，與學生已有認識產生沖突，認識到符號表達的重要性以及推演的必要性。

在調查中還發現，僅有兩位同學給出了趙爽弦圖，沒有同學能夠推演出勾股定理，為此，教師便在課程開始剪圖和拼圖的活動中設置了計算正方形的面積的任務，為后續推演作鋪墊，而學生拼出或剪出的圖形也為勾股定理的推演“搭橋鋪路”，同時學生在整式運算中較高的正確率為勾股定理的推演提供了支持。基于以上分析，本節課的教學難點為勾股定理的推演。教師的命題策略選擇了動手實踐與課堂觀察這兩種方式。

2.動手實踐與課堂觀察

根據本節課的教學內容安排和班級學生特點，主要采取學生動手實踐的方式，教師引導學生提問與觀察，設計“動手實踐，發現定理”活動，布置了三個任務。具體見下表。

三個任務層層遞進，每名學生親身實踐，在任務驅動下動手動腦，經歷發現勾股定理的過程，思考推演的線索。每個活動環環相扣，學生在個人建構活動的基礎上，參與學習共同體合作建構活動，通過師生交流、生生交流，能夠利用面積找到等量關系推演勾股定理，初步認識到面積在勾股定理推演中的重要性。

設計“拼圖與剪圖\"“計算與猜想”\"測量與驗證”等活動，并配有學生活動紙，每次由教師發布任務，學生自己獨立思考或合作探究，他們對自己構造的圖形印象深刻。拼圖是補的過程，剪圖是割的過程，在“剪拼\"中為“割補\"埋伏筆。在此過程中，特別關注學生自己動手、親身實踐，拼圖、剪圖的活動既是發現定理的過程，也為推演定理做了充分的準備，在“發現”中為“推演\"做鋪墊，學生通過小組合作，比較順利地推演出了勾股定理，建構相關知識，積累數學活動經驗。在本節課的小結階段，教師帶領學生回顧以前學過的知識，發現學過的一些乘法公式與幾何圖形有著密切的聯系，小學學過的一些基本圖形面積公式的推導就利用了圖形割補思法。這些看似簡單的回顧，能讓學生體會勾股定理推演方法的重要性，同時也培養學生聯系新舊知識、不斷總結與復習的好習慣。

三、命題策略以經歷數學生成為理念，發展數據觀念

在“統計與概率\"情境單元教學中，以“方差的誕生”為例，命題選擇航天員訓練問題這一具有人文教育意義的素材，滲透航天精神，設置開放性問題：如何評價兩位隊員的成績？調動舊知、引發學生認知沖突。從數據的偏差角度，體會產生新統計量的必要性，循序漸進，經歷方差的產生過程，逐步優化數據波動程度的刻畫方式，體會方差的概念，培養數據觀念。命題策略可以選擇課堂觀察、口頭檢測與書面檢測相結合等方式。

1.體會數據的波動程度是指：一組數據圍繞平均數上下“起伏”。

【問題情境】2018年啟動的第三批預備航天員選拔工作，其中有一項是身穿160千克的訓練服在水下訓練行走，并進行多組測試。

【教師提問】如果你是主考官，將如何評價A，B隊員這項訓練的表現？

【命題策略】就下表給出的數據進行評估。

【學生活動】預設1：平均數： ，從中可以看出兩人水平相當。

預設2：計算極差，A的極差大于B的極差，B更穩定。

預設3：觀察下圖所示的A，B兩隊員成績折線圖，A的起伏比B的大，A沒有B穩定。

2.認識到用統計量刻畫數據波動程度的重要性。

【教師追問】同學們，有借助圖形也有借助統計量的計算！咱們先從簡單直觀的圖形來看，對于結論，有不同意見嗎？

【學生回答】不一定，如果拿每組最小的數據作參照，A數據起伏確實比B的大，但是如果考慮整體數據，參照能代表整體數據的平均數7.25的話，B的起伏更大一些。

【教師引導】思維很敏銳，看來是真的思考了！不能只憑看，要準確還得算，那這組用了方差說明波動，合理嗎？為什么？

【學生回答】預設2不合理，極差只用到了兩個數，不能代表整體情況。

預設3不合理，整體波動情況要用能代表整體數據的量來反映。

【教師講解】通過以上討論，我們明確數據的波動是指一組數據圍繞平均數上下“起伏”，所以如何用一個合適的量來刻畫每組數據與平均數的這種

“起伏”呢？

【命題策略】獨立思考，并嘗試書面測試。

【學生回答】分別作差、整體求和正負相抵消。

3.經歷“合適的量\"的產生過程。

【教師追問】該如何優化改進呢？

【學生回答】取差值的絕對值或取差值的平方，再求和。

【教師提問】同學們很棒，找到了好方法！現在有一個新問題，如果C隊員和A、B隊員平均數相同，但C隊員只有9次測評成績，那么如何客觀地比較這三位隊員的成績穩定性？

追問：如果提供 次成績，嘗試表達。

【學生回答】預設1：計算所有數據差的絕對值的平均數，即

預設2：計算所有數據差的平方的平均數，即

【教師講解】以上兩種方法都可以描述數據的波動程度。差的絕對值的平均數叫作平均差，差的平方的平均數叫作方差。

【教師提問】描述甲、乙兩組的數據波動情況（見下表），你發現什么問題？思考這是為什么，你得出了什么結論。

【學生回答】平均差相同，但方差卻不同，因為差值的平方比起差值的絕對值更能把細小的差距“放大”。

結論：方差更適合描述這組數據的波動程度。由此可見，方差刻畫數據的波動程度基本可靠、可行，使用也更廣泛。

4.回顧小結，收獲新知。

【小結提問】本節課你找到哪個“合適的量”來描述數據的波動程度？簡要介紹一下它，并用它評價哪位預備隊員在水下負重行走項目中表現得更好。

布置一道思考題：方差真的“完美\"嗎？它可能有什么缺點？你想如何改正它的缺點？

本案例中教師提出開放性問題，充分調動學生舊知和數學學習經驗，不斷發現與已有認知產生沖突的新問題。在互動過程中，教師不能否定學生的答案，同時引導學生發現問題，鼓勵學生解決問題，進而完善解題方法，幫助學生在錯誤答案中“取其精華，去其糟粕”，協助從活動中一步步汲取所需要的經驗。在學生呈現各種不同的解答方法時，教師應引導學生逐步優化統計量的表達方式，體會知識概念的生成過程，淡化概念，強化對數據分析的認識，發展數據觀念。

四、命題策略以問題解決為旨歸，整合學科資源

“綜合與實踐\"板塊以其固有的綜合性和實踐性特點，決定了該情境單元命題策略的靈活性，以解決問題為旨歸，整合其他學科的知識和方法，引導學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋生活中遇到的現實問題，在此過程中積累數學活動經驗，理解數學的價值，提升發現與提出問題、分析與解決問題的能力，重在發展應用意識、創新意識和實踐能力。例如，“公園出口導引”情境單元活動，命題策略為以導引方案和實踐報告的形式呈現。

觀看2019年北京世園會官方宣傳片視頻片段，提出問題：世園會占地960公頃。游客參觀游覽，普遍能走到20000步以上，為方便游客游覽之后能從最近的出口離開，科技公司要設計一款智能機器人，使機器人能為游客隨時隨地提供最佳的導引方案，請問機器人工程師如何設計導引方案？

學生在教師的引導下分析問題，將生活問題轉化為數學問題，探究區域劃分問題應用到的數學知識有哪些。制訂導引方案，歷經初稿、二稿、三稿，產生新問題，在總結中提升，完成實驗報告，最后形成生活實際問題調查分析報告。

一言以蔽之，當學生遇到新問題時，教師要引領學生探究解決問題的一般方法，讓學生“在游泳池里學會游泳”，數學知識只是載體，通過對知識的學習，掌握數學的思想方法，重要的是選擇恰當的命題策略，提升學生的抽象思維、邏輯推理等。

參考文獻：

中華人民共和國教育部.義務教育語文課程標準（2022年版）[S」.北京：北京師范大學出版社，2022.4：80，81.

責任編輯：唐丹丹