由一道七年級上學(xué)期期中考試壓軸題引發(fā)的教學(xué)思考

壓軸題往往閱讀量大，覆蓋的知識面廣，綜合運用知識的能力要求比較高，解題難度大，易使學(xué)生對問題的解決產(chǎn)生恐懼心理。因此，對于壓軸題的分析講解，要有別于其它習(xí)題的講解，盡量避免就題論題的講授方式，在講解過程中要注重對通性、通法的總結(jié)，使學(xué)生再做題時能夠做到心中有想法；要注重數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)模型的歸納與分析，使學(xué)生夠順利突破思維瓶頸，再做題時能做到心中有方向；要注重對解題后的反思，使學(xué)生做到知一題而會一片，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)命題規(guī)律。以下是筆者對由一道七年級上學(xué)期期中考試壓軸題引發(fā)的教學(xué)思考。

一、題目呈現(xiàn)

該題是陽山縣2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢查七年級數(shù)學(xué)試題第23題，原題如下：

如圖，點A，B，C是數(shù)軸上三點，點C表示的數(shù)為9，BC＝6，AB＝18.

（1）寫出數(shù)軸上點A，B 表示的數(shù)：_________，_________；

（2）動點 P，Q 同時從 A，C 出發(fā)，點 P 以每秒 3 個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點 Q 以每秒 2 個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為 t （t＞0）秒．①當(dāng) t＝2 時，求出此時PQ的距離；② t 為何值時，點P，Q相距6個單位長度，并寫出此時點P，Q在數(shù)軸上表示的數(shù).

二、解題分析

（一）題目考查內(nèi)容與解題分析

本題主要考查的知識點是：實數(shù)與數(shù)軸、幾何動點問題、幾何直觀、應(yīng)用意識、分類討論思想的應(yīng)用。（1）根據(jù)點C所表示的數(shù)，以及BC、AB的長度，即可寫出點A、B表示的數(shù)。

（2）①根據(jù)題意得：AP＝3t，CQ＝2t，從而得到在數(shù)軸上點P表示的數(shù)是：－15+3t，在數(shù)軸上點Q表示的數(shù)是：9－2t，把t＝2代入可求得在數(shù)軸上點P、Q表示的數(shù)，最后根據(jù)數(shù)軸上的兩數(shù)可求得PQ的距離；②此題三種解法，解法一可根據(jù)題意分別表示P、Q兩數(shù)，再利用絕對值的性質(zhì)進(jìn)行求解；解法二可根據(jù)題意分別表示P、Q兩數(shù)，再利用數(shù)軸上兩數(shù)的距離等于右邊的數(shù)減左邊的數(shù)分兩種情況進(jìn)行解答；解法三則求出P、Q兩點的速度和，然后再分P、Q兩點相遇前、相遇后兩種情況分別計算出運動時間即可求得P、Q兩點表示的數(shù)。

（二）解答

（1）設(shè)點A表示的數(shù)為m，點B表示的數(shù)為n，∵點C表示的數(shù)為9，BC＝6，∴9－n＝6，解之得：n＝3，∴點B表示的數(shù)為：3，∵AB＝18，∴3－m＝18，解之得：m＝－15，∴A表示的數(shù)為：－15，故答案依次填：－15；3；

（2）①∵動點 P，Q 同時從 A，C 出發(fā)，點 P 以每秒 3 個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點 Q 以每秒 2 個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為 t （t＞0）秒，且t＝2，∴AP＝3t＝6，CQ＝2t＝4，在數(shù)軸上點P表示的數(shù)是：－15+3t＝－9；在數(shù)軸上點Q表示的數(shù)是9－2t＝5；∴PQ的距離為：5－（－9）＝14；答：當(dāng) t＝2 時，PQ的距離為14。

②解法一：依題意得：AP＝3t，CQ＝2t，∴在數(shù)軸上點P表示的數(shù)是：－15+3t，在數(shù)軸上點Q表示的數(shù)是：9－2t；當(dāng)點P、Q相距6個單位長度時，則有： ，解得：t＝6或t＝3.6，當(dāng)t＝6時，－15+3t＝3，9－2t＝－3；當(dāng)t＝3.6時，－15+3t＝－4.2，9－2t＝1.8；綜上所述，當(dāng)t=6或t=3.6時，點P、Q相距6個單位長度，點P、Q對應(yīng)的數(shù)分別為：3，－3或－4.2，1.8

解法二：依題意得：AP＝3t，CQ＝2t，∴在數(shù)軸上點P表示的數(shù)是：－15+3t，在數(shù)軸上點Q表示的數(shù)是：9－2t；Ⅰ當(dāng)點P在點Q的左側(cè)時，則有： ，解之得：t＝3.6，Ⅱ當(dāng)點P在點Q的右側(cè)時，則有： ，解之得：t＝6，綜上所述，當(dāng)t＝6或t＝3.6時，點P、Q相距6個單位長度，點P、Q對應(yīng)的數(shù)分別為：3，－3或－4.2，1.8

解法三：∵BC＝6，AB＝18，∴AC＝AB+BC＝18+6＝24，∵點P以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴點P、點Q的速度和為：3+2＝5單位長度/秒，∵點P，Q相距6個單位長度，∴Ⅰ當(dāng)點P與點Q相遇前，則有：t＝（24－6）÷5＝3.6（秒），即：t＝3.6秒；Ⅱ當(dāng)點P與點Q相遇后，則有：t＝（24+6）÷5＝6（秒），即：t＝6秒。綜上所述，當(dāng)t=6或t=3.6時，點P、Q相距6個單位長度，點P、Q對應(yīng)的數(shù)分別為：3，－3或－4.2，1.8

三、教學(xué)思考

（1）注重培養(yǎng)核心素養(yǎng)。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，將數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)表述為“三會”，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)為“三能力、三觀念、兩意識、一直觀”，即“抽象能力、運算能力、推理能力、空間觀念、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、幾何直觀”。

就這一題而言，綜合考查了學(xué)生的運算能力、模型觀念等核心素養(yǎng)。事實上，在初中階段，無論是哪一個年級的壓軸題，都注重考查學(xué)生綜合運用知識的能力與注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，因此，在平時的教學(xué)中，必須注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，讓學(xué)生獲得適應(yīng)未來發(fā)展必需的“四基”，提升學(xué)生的“四能”，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神。

（2）注重滲透數(shù)學(xué)思想。在初中段主是以下幾種數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化（或化歸）思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模思想、整體思想。就這一題而言，第（1）小題主要運用數(shù)形結(jié)合思想與數(shù)學(xué)建模思想（方程模型）；第（2）小題的第①問主要是運用轉(zhuǎn)化（或化歸）思想、數(shù)形結(jié)合思想；第（2）小題的第②問主要是轉(zhuǎn)化（或化歸）思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模思想等。因此，在平時的教學(xué)中，必需注重數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)會運用。如在化簡求值的題目講解時，可適當(dāng)滲透整體思想；在有理數(shù)的混合運算中，利用有理數(shù)的減法運算法則把減法轉(zhuǎn)化成加法，利用有理數(shù)的除法運算法則把除法轉(zhuǎn)化成乘法等，滲透轉(zhuǎn)化（或化歸）思想；用數(shù)軸描述有理數(shù)的有關(guān)概念和運算（相反數(shù)、絕對值等概念，比較有理數(shù)的大小，利用數(shù)軸探究有理數(shù)的加法法則、乘法法則等）時滲透數(shù)形結(jié)合思想；在絕對值的討論中滲透分類討論思想；在用方程或不等式解決實際問題時透數(shù)數(shù)學(xué)建模思想。

（3）注重建立數(shù)學(xué)模型。何為數(shù)學(xué)模型？廣義的數(shù)學(xué)模型是指一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由之組成的等算法系統(tǒng)；狹義的數(shù)學(xué)模型是指反應(yīng)特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。

在初中段主是以下幾種數(shù)學(xué)模型：方程模型（主要有一元一次方程、二元一次方程及方程組、一元二次方程）、函數(shù)模型（主要有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）、不等式模型（主要有一元一次不等式與一元一次不等式組）、統(tǒng)計與概率模型、三角與幾何模型（主要是解直角三角形的應(yīng)用）。

就這一題而言，第（1）小題主要運用一元一次方程模型進(jìn)行解答；第（2）小題的第①問主要是運用正比例函數(shù)模型進(jìn)行解答；第（2）小題的第②問主要一元一次方程模型進(jìn)行解答。

事實上，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，很多時候都是在幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，因此，在平時的教學(xué)中，必需注重數(shù)學(xué)模型的建立，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)會運用。