解析高考新課標Ⅰ卷中的函數難題

函數一直是高考的重要考點，而高考新課標I卷中的函數，更是以其靈活性和技巧性著稱，成為高考中的一大亮點。深入了解這些難題的特點和解題思路，才能在考試中得心應手。要想解決高考新課標I卷中的函數難題，不僅需要夯實基礎知識，還需要注重對數學思想方法的理解及巧妙解題技巧的運用。

一、函數一歷年高考的熱點與關鍵

（一）書本中的函數：蘊含的核心知識點與思想方法

函數作為數學的基礎概念，貫穿于數學課本的各個章節。其中，函數的核心知識點主要包括函數的定義、性質、圖像及其變換。例如，在人教版數學教材中，函數的基本定義是：設有兩個變量 x 和 y ，如果對于 x 的每一個值， y 都有唯一確定的值與之對應，那么 y 就是 x 的函數，記作 y = f （ x ） 。

函數的性質包括單調性、奇偶性、周期性等。單調性是指函數在某一區間內是遞增或遞減的；奇偶性是指函數滿足 f （ - x ）=f （ x ） 或 f （ - x ） = - f （ x ） 的條件；周期性是指函數在一定區間內重復其值。

函數的圖像變換是理解函數性質的重要手段。常見的變換包括平移、伸縮和對稱。例如，函數 y = f （ x ） 向左平移 a 個單位得到 y = f （ x + a ） ，向上平移 b 個單位得到 y = f （ x ） + b 。此外，我們需要牢牢掌握函數的基本類型，具體見表1。

只有牢牢掌握這些基礎的核心知識點與思想方法，我們才能夠更好地理解和應用函數，為準確解答高考函數題型打下堅實的基礎。

（二）函數的靈活考查：以新高考Ⅰ卷的選擇題中的壓軸題為例

2022年全國高考新課標I卷第12題，也就是選擇題的壓軸題，給了如下題干：

已知函數 f （ x ） 及其導函數 的定義域均為 R ，記 g （ x ）=f （ x ） 。若 ， g （ 2 + x ） 均為偶函數，則。

A. f （ 0 ） = 0 （204號

解析：因為 ， g （ 2 + x ） 均為偶函數，所以

即 （20

所以 f （ 3 - x ） = f （ x ） ， g （ 4 - x ） = g （ x ） ，則 f （ - 1 ） = f （ 4 ） ，故C正確。

函數 f （ x ） ， g （ x ） 的圖象分別關于直線 2x=2對稱，又g（x）=f（x），且函數f（x））可導，所以 ，所以 ，所以 g （ x + 2 ） = - g （ x + 1 ） = g （ x ） ，所以 ， g （ - 1 ） = g （ 1 ） = - g （ 2 ） ，故B正確，D 錯誤。

若函數 f （ x ） 滿足題設條件，則函數 f （ x ） + C （C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定 f （ x ） 的函數值，故A錯誤。綜上，本題選BC。

本題通過函數的對稱性考查了大家對函數性質的理解與應用。首先，利用偶函數的性質，將題設條件轉化為函數及其導函數的對稱性關系。其次，通過分析原函數與導函數圖象的對稱性，結合函數的可導性，推導出函數的周期性。最后，根據函數的周期性，逐項判斷選項的正確性。整個解析過程體現了對函數性質的理解及靈活運用，其中對偶函數和周期函數性質的把握，是解決此類問題的關鍵。

二、新高考|卷函數壓軸題的深度剖析

2021年高考新課標I卷壓軸題第22題，不僅要求我們掌握函數的單調性分析，還要求我們運用極值點偏移等高級技巧來解決不等式問題。通過分析這道題，我們可以深入了解新高考I卷中的函數難題，并解密其背后的解題思路。

題目：已知函數

1.討論 f （ x ） 的單調性；

2.設 為兩個不相等的正數，且 ，證明： （2

解析：1.函數的定義域為 （ 0 ， + ∞ ） ，又 ，

當 x ∈ （ 0 ， 1 ） 時， ；當 x ∈ （ 1 ， + ∞ ） 時， ，故 f （ x ） 的遞增區間為（0，1），遞減區間為 （ 1 ， + ∞ ） 。2.因為 故 即 故 ，設 ，由題1可知，不妨設 。

因為 x ∈ （ 0 ， 1 ） 時， ； x ∈ （ e ， + ∞ ） 時， ，故 。先證： ，若 ， 必成立。

若 ，要證 ，即證 ，而 ，

故即證 ，即證 ，其中 。

設 g （ x ） = f （ x ） - f （ 2 - x ） ， 1 lt; x lt; 2 ，則 因為 1 lt; x lt; 2 ，故 ，故 ，所以 ，故 g （ x ） 在 （ 1 ， 2 ） 上為增函數，所以 g （ x ） gt; g （ 1 ） = 0 ，故 f （ x ） gt; f （ 2 - x ） ，即 成立，所以 成立，綜上， 成立。設x=tx，則tgt;1，結合lna+1_lnb+1，1=x1= =x=得（-，

即 a故 ，要證 ，即證 ），

即證ln（t+1）+nxlt;，即ln（t+1）+lnt ，即證 ，令 S （ t ） = （ t - 1 ） l n（ t + 1 ） - t l nt ， t gt; 1 ，則 先證明一個不等式： 。設 ，則 當 - 1 lt; x lt; 0 時， ；當 x gt; 0 時， ，故 u （ x ） 在 （ - 1 ， 0 ） 上為增函數，在 （ 0 ， + ∞ ） 上為減函數，故 ，故 成立。

由上述不等式可得，當 t gt; 1 時華 故 恒成立，故 S （ t ） 在 上為減函數，故 S （ t ） lt; S （ 1 ） = 0 ，故 成立，即 成立。綜上所述，

通過上述分析，我們可以發現，解答這類函數題，不僅需要我們熟練掌握函數的單調性、導數等基礎知識，還需要我們靈活運用極值點偏移等技巧。這樣才能化繁為簡，找到解題的突破口。

以本題的第2問為例。題目給出一個包含指數函數和絕對值函數的不等式，證明難度較大。通過分析題干條件，并結合函數的單調性，可以將原問題分解為兩個相對簡單的子問題，然后分別進行證明。

在證明第一個不等式的過程中，巧妙地構造了一個新的輔助函數，并利用導數研究其單調性，最終將不等式問題轉化為函數值比較問題，從而順利地完成了證明。

第二個不等式的證明則更加體現了極值點偏移技巧的精妙之處。通過引入新的變量，將原問題轉化為證明一個關于新變量的不等式在一定范圍內恒成立的問題。而這個新的不等式，可以通過構造函數，并利用導數研究其單調性得到證明。

上述解題過程，充分體現了高考新課標I卷函數壓軸題的特點，即綜合性強、技巧性高，對我們的數學思維和解題能力提出了更高的要求。

通過對這道題目的解析，我們可以得到以下啟示：

1.注重基礎知識。函數的單調性、導數等基礎知識是解決函數壓軸題的根基，必須熟練掌握；2.積極思考靈活多樣的解題方法。靈活運用分類討論、化歸轉化等數學思想，這些都是解決復雜問題的關鍵；3.掌握解題技巧。學習和掌握一些常見的解題技巧，如極值點偏移等，可以幫助我們更好地應對此類難題。