“再理解‘距離’概念”教學設計

關鍵詞：問題探究；深度理解；構建體系；距離概念中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）03-0004-09引用格式：．“再理解‘距離’概念”教學設計[J]。中國數學教育（高中版），2025（3）：4-12.

一、單元整體分析

數學學習的根本在于對概念的理解，理解性學習的關鍵在于構建知識之間的聯系．實踐表明，在新授課中學生難以深刻體會概念整體的知識結構和數學思想等內容，而復習課不僅能夠整體、系統地把握概念，將分散于教材各模塊中的相關內容進行整合，還能挖掘數學概念的深層次內涵，從更高的層面尋求深度理解．因此，筆者考慮在高三復習中設置單元“圍繞核心概念再建概念體系—以‘距離’和‘角’為例”

本單元設置兩個核心概念一一距離和角，且各安排兩個課時．一方面，要充分體現距離和角這兩個核心概念在相關章節中的地位，以及與相關概念的聯系（橫向聯系），形成數學的整體觀與系統觀，歸納解決有關距離和角問題的思想方法和解題策略，提升學生運用概念解決問題的思維能力；另一方面，著重于回顧、思考距離和角概念的形成和發展歷程（縱向聯系），洞悉概念的內涵和外延不斷演變和抽象的過程，體會概念體系的構建視角、本質特征和應用價值，實現學生對概念的深刻理解、融會貫通和靈活運用，從而有效提高核心概念及其思想方法的復習效率，培養學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算素養.

二、教學內容解析

本節課是距離概念復習的第2課時．在第1課時中，已經梳理了教材中兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、平面與平面之間的距離、異面直線之間的距離等知識，包括定義、公式與推導過程，并在概念本質特征的基礎上，指出了它們的內在聯系．將三維空間中的距離問題轉化為平面中的距離問題來解決，體現了轉化與化歸思想．將幾何問題代數化，利用代數式的幾何意義研究相關問題，突出了數形結合思想.

章建躍博士在文獻[3]中指出：“數學概念教學的意義不僅在于使學生掌握‘書本知識”，更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的心路歷程，領悟數學家用數學認識世界的思想真諦，學會用概念思維，進而發展智力和培養能力.”因此，在上節課的基礎上，本節課回歸概念本源，再認識距離的定義，體會這些距離概念的內涵是兩點之間線段長度的最小值.

在歷年高考試題中，有些問題可以引導學生進一步思考距離的概念．2017年上海卷第12題研究的有向距離概念和比較常見的球面距離等，都著眼于探究距離概念的外延，而2023年新課標I卷第18題的第（2）小題是一道以曼哈頓距離為背景的解析幾何題．追溯過往，發現2006年福建卷、2009年上海卷、2010年廣東卷和2014年福建卷等都曾對曼哈頓距離有所關注．曼哈頓距離將解析幾何與絕對值性質、不等式證明等知識聯系起來，既符合高中學生的認知基礎，又強化了他們對基礎知識的綜合運用能力，能夠幫助學生從整體視角更好地理解高中數學的相關內容．這類問題背景深刻，源于教材，又高于教材，能夠體現學生對基本概念的深刻理解，故在高三教學中理應得到重視．距離的相關內容如圖1所示.

數學概念的內涵和外延都是發展變化的，初始的定義通常源自人們的經驗，基于現實的需要而改變的定義則是源自人們的自由創造，且更具思維和邏輯美感，這便是數學的人文性與科學性．距離概念的變化發展過程也是統一各種外延形式不斷提煉的過程，且能夠從中抽象一般的距離定義．引導學生對歐幾里得距離進行再認識，深化學生對距離概念的理解，嘗試運用比較、類比等方法研究曼哈頓距離，體會生成數學概念和豐富概念內涵與外延的基本方法，這便是第2課時的教學重點.

三、教學目標設置

1．單元教學目標

（1）表達世界維度．能夠用演繹的視角描述概念的生成與發展過程，能夠用歸納的視角梳理概念在相關章節中的地位與聯系.

（2）思考世界維度．通過觀察、操作、實驗，獲得抽象數學概念所需的現實材料，開展歸納、演繹、類比、抽象等活動，洞悉概念的內涵與外延，積累解決問題的方法與經驗，培養學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算等素養.

（3）觀察世界維度．利用學習情境，提升學習熱情和學習內驅力，能用數學的眼光觀察生活中的數學概念及其聯系，體會數學的應用價值與理性魅力.

2.課時教學目標

（1）能夠用演繹的視角描述距離概念的生成與發展過程，通過比較，發現歐幾里得距離概念與其他距離概念之間的異同.

（2）經歷觀察、分析、抽象等思維活動，體會距離概念從定性作圖到定量計算的科學性，領悟轉化與化歸思想、數形結合思想在構建距離概念中的作用，積累數學概念不斷統一外延、抽象提煉的活動經驗，發展學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算等素養.

（3）在合作學習中提升數學探究能力，能用數學的眼光觀察生活中的距離概念及其聯系，體會數學的應用價值與理性魅力.

活場景的舉例，進一步幫助學生認識到空間是影響距 離概念的重要前提，進而類比歐幾里得距離的探究過 程研究曼哈頓距離，構建概念體系，積累學習經驗， 從而突破教學難點.

五、教學策略分析

本節課圍繞3個具體內容展開：如何理解點到直線距離的兩種定義？如何理解點到線段的距離、點到曲線的距離？對于新定義的距離，如何進行類比探究？

為了考查學生的思維品質和解決問題的能力，高考命題經常會涉及聯系與綜合的題型，既有教學內部的綜合與聯系，也有理論與現實的聯系．因此，在高考備考中，要以課程標準的數學內容為基礎，通過知識探源、拓展延伸等引導學生開展創造性學習．通過觀察與實驗、歸納與演繹、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括等探索性思維活動，在學生深人理解知識本質的過程中建構知識體系，形成數學思維方式.

四、學情分析

學生能夠正確記憶與應用各種距離的定義和公式，能將立體幾何中的距離問題轉化為平面幾何中的距離問題來解決，有一定橫向聯系和應用知識的能力，但對于距離的內涵缺乏理解，這也是本節課的難點之一，只有準確理解距離的內涵、外延及其概念的抽象過程，才能合理運用所學知識解決實際問題．為達到這一目的，需要讓學生經歷概念的形成過程，在化解認知沖突的過程中，體會概念演變與抽象的必要性和合理性，積累概念構建的經驗.

為了突破難點，本節課搭建了概念理解的腳手架，從線段到最短距離，從歐氏空間中的不同距離到其他空間中的距離，逐步提升了學生對距離概念的認知．具體來說，通過學習情境的引導，從兩點間距離的定義出發，到從幾何與代數兩個角度定義點到直線的距離，然后到再理解距離的概念，借助“最短”定義點到線段的距離和點到曲線的距離，并進行探究，從更高的角度思考高考試題，提升復習效率．通過生

本節課以距離概念為知識背景，創新設問方式，設置新定義的距離，搭建思維平臺，引導學生積極思考，在思維發展過程中領悟數學方法，自主選擇路徑分析問題和解決問題．本節課的教學過程設計主要體現以下特點.

1.關注學生認知

滬教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊（以下統稱“滬教版教材”）中的距離是用線段、垂線段定義的，直觀但缺乏一般性．本節課圍繞距離內涵的“最短”，選取點到直線距離、點到線段距離、點到曲線距離，利用最近發展區理論，不斷拓寬、深化理解，演繹概念體系，剖析高考試題.

2.融入數學史

結合發生教學法理論，讓學生經歷概念的產生和形成過程，學生通過自主探究、合作交流等方式，體會距離概念定義的必要性和合理性，積累數學抽象的經驗，對“如何研究”“如何發現”的方法論有所感悟，使數學知識成為學生自己發現的結果，既為理解數學概念奠定堅實的基礎，也對應用知識的背景和條件形成完整的認識.

六、教學過程設計

3.融入信息技術

本節課將信息技術應用于探究活動和交互活動中．利用圖形軟件可以動態體現幾何直觀，有助于學生把握探究方向，利用投屏軟件可以直接展現學生的探究成果，有助于師生交流與評價，提升課堂教學效率.

4.滲透學科融合與學科德育

通過蘊含歷史、地理、計算機科學等內容的實際問題，讓學生從不同學科的角度審視問題，拓寬視野，充分體會數學家是如何研究的，并理解數學的探索需要經歷推廣、類比、演繹與歸納等過程，在不斷思考和優化中促進思維發展．在此過程中，學生意識到自己在學習和生活中的重要性和所肩負的責任，以及對社會的責任，從而培養他們的社會責任感.

5.設置遞進式問題鏈

圍繞教學重點，依據距離概念的發生過程和學生的思維規律，從已知到未知、從具體到抽象設置有梯度、遞進式的問題鏈，有助于學生在解決問題的過程中逐步深人，從而發現距離概念的內涵與外延，有助于學生類比歐幾里得距離的探究路徑構建以曼哈頓距離為代表的其他距離概念.

6.滲透評價理念

本節課的評價形式多樣．邊答邊評，給予學生及時的點評和補充；比較評價，針對不同想法，引導學生進行比較和經驗積累；延緩評價，針對課堂上的問題，在作業中為學生創造進一步探究學習、合作交流的機會，學之道在于“悟”，但“悟”是需要時間的，這也是教學智慧的體現．本節課的評價主體多元．學生在自主探究活動中獲得自我評價，在合作學習活動中獲得同伴評價，在教師指導中獲得教師評價．評價是為了促進高效課堂．從整體來看，教師可以改進教學行為，學生可以優化想法，形成合理的探究結果；從個體來看，可以關注到有所差異的學生．通過合作與評價，關注每名學生的課堂學習情況，被幫助者獲取知識，幫助者鞏固理解，使得全體學生都能得到不同程度的發展.

滬教版教材中以直觀的方式定義距離，如線段長度、垂線段長度等，而距離的內涵在于兩點間最短連線的長度．在教學中，通過對數與形兩種角度的點到直線距離的定義進行對比，探究點到線段距離與點到曲線距離的直觀表達，深度理解距離概念的內涵，并在此過程中體會到距離概念可以演繹出其他幾何概念，凸顯其核心地位．通過思考生活情境，發現線段的“最短性”會受空間的影響，以曼哈頓距離為例展開類比探究，積累探究學習與合作交流的經驗，發展學生的數學抽象和邏輯推理等素養.

環節1：回歸本源，概念生成.

結合上節課課后梳理的思維導圖，回顧復習內容，包含問題歸納、方法歸納和方法遷移，并在此基礎上進一步探究更復雜的距離問題.

回歸概念生成的起源，利用數學史情境開展本節課的學習.

問題1：兩點間的距離是如何定義的？

問題2：為什么用“線段”長度？

【設計意圖】從距離概念的本源出發，用天璇、天樞和北極星引入距離源于兩點間線段的長度．通過對《周算經》的介紹，引導學生體會用“線段”定義距離的意義．一是便于測量，矩尺和卡尺的發明體現了古代先賢的理性智慧；二是說明線段長度是唯一確定的，即兩點之間線段最短（也可以用三角不等式表示）.

環節2：定義表述，內涵顯現.

滬教版教材中點到直線的距離是用垂線段的長度定義的．其實，也可以用最短線段定義：已知平面上的直線 l 及點 P ，任取 l 上一點 Q ，線段 P Q 長度的最小值稱為點 P 到直線 l 的距離.

問題3：這兩種定義表達的含義一致嗎？

探究1：證明 取最小值的充要條件是 P Q⊥ l

已知直線 上兩點 ，直線 外一點 ，存在 λ∈R ，使得

學生活動：邏輯推理、合作探究.

子探究1：當 取最小值時，探究 ， ， ， b 與 λ 滿足的關系式.

解：令

由 ，知東當湯 時 取最小值.

子探究2：當 P Q⊥ l 時，探究 與 λ 滿足的關系式.

解：因為 P Q⊥ l 等價于 ，所以

問題4：此做法可以推廣到空間中的點到直線的距離嗎？

學生回答：可以類比點到線段的距離進行推廣.

【設計意圖】該問題的證明方法較多，此處用直線上兩點坐標和向量共線定理表示直線上的動點，與設直線方程表示直線上的動點相比，此方法的好處是可以將其推廣到空間中點到直線距離的計算．與此同時，學生發現能夠借助向量工具表示空間直線上點的坐標，也可以進一步得出空間直線方程．通過改變 λ 的取值范圍，引導學生發現直線變為線段，進而展開點到線段距離的探究.

環節3：推廣類比，演繹應用.

例1求點 到線段 l . x-y-3=（3≤x≤5 的距離

學生活動：方法遷移、真題演練.

變式：已知點 ， ，在平面直角坐標系內到線段 A B 距離為1的點的軌跡是什么？

學生活動：演繹概念、創造圖形.

問題5：還有哪些幾何圖形是由距離定義的？

【設計意圖】例1源于2011年高考數學上海卷理科第23題，在計算點到線段距離后，再比較點到直線距離的兩種定義，體現了“數缺形時少直觀、形少數時難入微”，進而思考：點到線段的距離是否有直觀的表達？設置變式題進行探究，結合《幾何原本》中的公設3對圓的定義和之前學習的中垂線、橢圓等定義體會距離作為核心概念可以演繹出其他幾何圖形，揭露距離概念的外延.

再對探究1中兩個子探究的關鍵過程進行觀察

由子探究1，得

由子探究2，得

發現對子探究1中的表達式運用求導計算最小值也是合適的證法.

問題6：求導可以運用于點到曲線的距離嗎？

解：若曲線方程表示為 y=f（x） ，

設定點 P（a，b） ，曲線上一點

令點 P ， Q 之間的距離

若 y=f（x） 存在導函數，

則 有解 ，

即

此時線段 P Q 與在點 Q 處的切線垂直，

例2對于函數 及點 ，是否存在點 ，使點 P ， Q 的距離最近，且直線 P Q 與 在點 Q 處的切線垂直.

學生活動：比對聯系、高觀演練；反思梳理、生生互評.

【設計意圖】通過觀察兩個子探究中的表達式，發現求導的證法更直接，進而思考點到曲線的距離是否也可以借助求導的方法進行研究．對更一般情況的研究有助于在特殊的問題中基于高觀點找到構造方向.例2源于2024年高考數學上海卷第21題，通過審題、思考、實踐、交流、評價的過程，關注每名學生的學習情況，使每名學生都能得到發展．若在極小值點處取到最小值，則有更直觀的定義方式．如若不然，可能駐點不是極小值點，也可能導函數為0在定義域中沒有解，還有可能所處的空間導致線段取不到，進而引出對曼哈頓距離的探究.

環節4：改變空間，深度理解.

生活中有許多例子，如家與學校“兩點一線”，這里的“線”不是線段，是受到了空間的影響.

古今中外，許多道路是東西、南北向建設．例如，唐朝的長安城、現代的洋山深水港碼頭等都可以抽象為網格空間．愛達·魔都號郵輪、中歐班列-上海號和國產大飛機C919彰顯了中國海陸空的運輸實力，它們在球面空間中運行，下面就對網格空間中的距離進行探究.

探究2：類比歐氏空間，合作共建網格空間中的距離概念.

學生活動：類比探究、抽象概念.

問題7：網格空間中，平面內兩點 ， 的距離具有怎樣的幾何特征？距離公式是什么？

對于平面直角坐標系內的任意兩點 ， ，定義折線段距離： 該距離在19世紀由閔可夫斯基命名為曼哈頓距離.

問題8：如何用數學語言表達“最短”？

證明：對于平面內的任意三點 A ， B ， C ，都有||AC||+||CB||≥||AB||.

問題9：平面內到定點曼哈頓距離相等的點的軌跡是什么？

子問題1：已知點 ，則點 B 的軌跡是什么？

子問題2：已知點 ，則點 B 的軌跡是什么？

問題10：還有其他類型的問題嗎？

（1）勾股定理是否還成立？

（2）平面內到兩點曼哈頓距離相等的點的軌跡是否還是中垂線？（3）平面內到兩點曼哈頓距離之和為定值的點的軌跡是否還是橢圓？（4）平面內，點到直線的曼哈頓距離如何進行代數求解？是否有幾何特征？

（5）平面內，點到曲線的曼哈頓距離如何進行代數求解？是否有幾何特征？

【設計意圖】數學概念的演繹具有歷史必然性與合理性，創設問題情境，制造與已有距離概念的沖突，引出新的曼哈頓距離的定義，理解曼哈頓距離可以類比歐幾里得距離．結合歐幾里得距離概念的理解過程，引導學生自主提出關于曼哈頓距離的探究問題．通過問題7，寫出曼哈頓距離的代數表達式；通過問題8，用數學的語言表達“最短”，并證明折線段距離是網格空間內最短連線的長度；通過問題9，經過從特殊到一般、類比圓的定義，得到曼哈頓正方形，發現曼哈頓距離的幾何意義；通過問題10，讓數學的探究與思考不局限于課堂，結合作業，讓學生在課后和生活中進一步討論和學習．學生在本節課中學到的不僅是類比歐式幾何的一個個結論，更是類比的思想和探究的途徑，對于以后可能遇到的切比雪夫距離、球面距離等，學生可以結合本節課的學習經驗進行思考。

環節5：作業布置，意義構建.

作業分為基礎練習、自主探究與小組合作研究，并附有評價表及說明.

如圖2，本節課學習的歐幾里得距離和曼哈頓距離是閔可夫斯基距離的兩種特殊情況，閔可夫斯基距離還包括切比雪夫距離．切比雪夫距離源于國際象棋中國王的最短步數，在計算機領域也有廣泛應用．此外，在地理中學習過1海里約為1.85公里，海里不是歐幾里得距離的度量單位，那么它是什么呢？激發學生課后學習的興趣.

數學家面對不同空間中的距離概念，抽象了一般定義.

定義：設 X 是任一非空點集，對 X 中任意兩點 P ， Q ，有唯一確定的實數 與之對應，且滿足以 下條件.

① 非負性： d（P，Q）≥0 ，當且僅當 P=Q 時，

② 對稱性：

③ 三角不等式：對 X 中任意一點 R ， d（P，Q）≤

則稱 為點 P ， Q 之間的距離.

【設計意圖】一方面，讓學生體會到數學抽象的過程與意義，其中 X 表示空間，非負性在圓和曼哈頓正方形中有直觀體現，對稱性體現為曼哈頓距離公式要加絕對值，三角不等式體現最短；另一方面，讓學生體會到定義是人為給定的，是作為基點進行研究的，并不是全部．例如，下一課時要復習的角，在高中階段將其范圍擴充為一切實數．又如，有向距離不滿足非負性等，我們也可以定義圓周上順時針距離不滿足對稱性．宇宙中還有許多規律等待學生們去發現與探索.

環節6：課堂小結，學科德育.

基于上節課的復習，本節課深度理解距離，再建概念體系（如圖3）．回歸概念本源，探尋概念內涵，結合高考試題，從數與形兩個角度探究點到線段距離和點到曲線距離，進一步理解歐氏空間中的距離概念，結合生活情境發現空間是影響距離概念的重要前提，類比探究曼哈頓距離，最終抽象概念并進行解讀，促進學生能力與素養的發展.

人生最美的不僅僅是這段生命旅程，更是在不同的空間中，會有不同的人生軌跡．我們的人生充滿可能性．在每一個空間中，希望大家既要仰望星空，又要腳踏實地，在通向成功的最短路徑上奮勇向前，

七、作業設計

基礎練習：

1.（1）已知實數 x ， y 滿足 則 x-y 的最大值是

（2）在平面直角坐標系中，記 d 為點 P（cosθ ， 到直線 x-m y-2=0 的距離，當 θ ， 變化時， d 的最大值為

（3）在平面直角坐標系 中， P 是曲線 y=x+ 上的一個動點，則點 P 到直線 x+y=0 的距離的最小值是

2．對于平面直角坐標系內的任意兩點 ，定義曼哈頓距離： （1）若點 ，點 B 在 上，則曼哈頓距離 的最小值為

（2）若點 A 在直線 上，點 B 為拋物線 上一點，則曼哈頓距離 的最小值為

（3）函數 ，當 時，記y 的最大值為 M ，若 M 的最小值為1，則 的取值范圍為

【設計意圖】以題組的形式對本節課涉及的兩種距離進行鞏固和提升，根據難度進行分層，滿足了不同學生的需求.

自主探究：

1.對于歐幾里得距離有三個重要結論：

① 在 Δ A B C 中，若 ，則 ，② 對于平面內任意三點 A ， B ， C ，都有 |CB|²=|AB|²：③ 對于平面內兩個不同的定點 A ， B ，若動點 P 滿足 ，則動點 P 的軌跡是線段 A B 的垂直平分線.

試將上述結論類比到曼哈頓距離，并判斷是否正確？

【設計意圖】結合歐氏幾何中的重要結論，進行類比探究，結論 ③ 改編自2010年高考數學廣東卷理科第21題，課后學生們可以借助圖形計算器或軟件，分類討論兩個定點的位置關系，直觀繪制點 P 的軌跡.

2.在平面直角坐標系中，定義 為點 ， 的切比雪夫距離．設點 P 及直線 l 上任一點 Q ，稱 的最小值為點 P 到直線 的切比雪夫距離，記作 ：

（1）求證：對于任意三點 A ， B ， c ，都有d（A，C）+d（C，"B）≥ d（A，"B）"；

（2）已知點 和直線 . 2x-y-1=0 ，求

（3）定點 ，動點 滿足 （rgt;0） ，求點 P 所在曲線圍成的圖形面積.

【設計意圖】類比本節課中對曼哈頓距離概念的理解過程，對切比雪夫距離進行探究，關注三角不等式、點到直線的切比雪夫距離、到定點的切比雪夫距離為定值的動點的軌跡（切比雪夫正方形，這也是切比雪夫距離的幾何意義）.

小組合作研究：

春節檔電影《唐人街探案2》中講述了曼哈頓距離在破解案件中的應用，偵探利用曼哈頓計量這一數學模型，將嫌疑人的多次案發地點代人公式，推理出犯罪者的作案規律，最終準確找到嫌疑人最有可能的居住范圍．究其原理，源于曼哈頓距離在圓錐曲線中的應用．以小組為單位，學生借助計算器或軟件，對以下項目進行研究.

項目：圓錐曲線及圓錐曲線的方程在曼哈頓距離下的演變.

子項目1：橢圓及橢圓方程在曼哈頓距離下的演變，

嘗試1：已知點 P 到點 與點（1，0）的曼哈頓距離之和為4，求點 P 的軌跡.

嘗試2：已知點 P 到點 與點（1，0）的曼哈 頓距離之和為2，求點 P 的軌跡.

嘗試3：思考如何將上述問題一般化？

嘗試4：在曼哈頓距離下，“橢圓”的性質有哪些？

范圍，對稱性，頂點，扁平程度，“橢圓上的點”到中心的“距離”的最小值、最大值，“橢圓”上的點到“焦點”的“距離”的最小值、最大值等.

子項目2：曼哈頓距離下的“橢圓”是否總是六邊形？

嘗試1：已知點 P 到點 （-1，δ-2） 與點（2，3）的曼哈頓距離之和為10，求點 P 的軌跡.

嘗試2：已知點 P 到點 與點 的曼哈頓距離之和為 2a ，求點 P 的軌跡.

子項目3：類比橢圓，自主設計研究路徑，探究雙曲線與拋物線在曼哈頓距離下的演變，并進行相互

評價，評價表如表1所示.

【設計意圖】參考2014年高考數學福建卷文科第12題，并進行推廣，設計項目研究，曼哈頓距離下的橢圓不滿足旋轉不變性．通過動手實踐，培養科學精神．通過小組合作，在交流中形成項目研究方案并形成多個子項目，發展學生的溝通能力、創新能力、實踐能力和高階思維，通過挖掘項目中的文化內涵，在數學教學中貫穿立德樹人的思想.

八、教學反思

遵循“概念生成一演繹一抽象一再演繹一再抽 象”的過程，引導學生洞悉距離概念的內涵與外延的 動態演變過程，體會概念體系的構建視角、本質特征 和應用價值，實現對概念的深刻理解、融會貫通和靈 活運用．體現出下列特點：探索思辨，注重思維品 質；問題設置，關注創新實踐；運用策略，提升學習 效果；評價激勵，展現學習成果；作業分層，滿足學 習需求.

1.轉向解決問題

本節課充分體現了“以學生為中心”的教學理念，沒有簡單地羅列數學概念和公式，而是通過一系列精心設計的探究活動和問題，引導學生主動思考、積極探索，從解題轉向解決問題，包括：問題生活化，通過與學生生活息息相關的問題情境，引導學生深入思考；問題系統化，通過設置問題鏈，引導學生系統地分析問題，質疑并求證，鍛煉學生的批判性思維能力；問題開放化，通過小組討論和項目式學習，鼓勵學生提出個性化觀點，培養學生的創新思維和問題解決能力.

本節課為學生創設了合適的自主探究、實踐應用和合作交流等學習場景，助力方法的形成、活動經驗的積累和核心素養的發展，體現了復習的策略與方法，關注數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統性．旨在讓回歸成為一種理念、讓探究成為一種習慣、讓抽象成為一種意識，關注教學目標的達成、教學策略的有效實施和學生核心素養的發展.

2.提升思維品質

本節課通過設計一些開放性問題，引導學生從不同角度、不同層面思考問題，培養學生的發散思維和創新能力，包括：思維過程化，對過程進行分解，在明確具體邏輯推理過程的基礎上解決問題，如推廣、類比、演繹等；思維可視化，將思維過程、方法展現出來，利用思維導圖進行整理；思維規范化，注重推理過程的準確性與規范性，能用嚴謹的數學語言進行表達.

本節課與基本理念和課程目標相契合，以學生發展為本，立德樹人，提升素養．以較高的視角，選取核心概念，優化復習結構，凸顯內在邏輯和思想方法，強調數學與生活、與其他學科的聯系，注重數學文化的滲透．把握概念本質，啟發思考，提倡自主學習、合作交流等，促進實踐和創新意識的發展，提高教學的實效性，不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

參考文獻：

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