宏觀架構促理解 微觀推進提素養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）03-0013-04

引用格式：．宏觀架構促理解微觀推進提素養：“再理解‘距離’概念”單元復習課例點評[J].中國數學教育（高中版），2025（3）：13-15，27.

一、背景

第十二屆高中青年數學教師課例展示活動在浙江杭州舉行，活動以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，更新教育理念．本次活動特別聚焦高考數學復習備考教學，并由中國教育學會中學數學教學專業委員會（以下統稱“中數專委會”）給定24個課題，每個課題由3～4個省市進行同課異構.

本次指定課題的難度較大，對于每位選手來說都有一定的挑戰性．活動要求選手們在教學設計和課堂教學中，依據以核心素養為導向的課程改革和高考數學內容改革的新要求，遵循中數專委會頒布的《全國中學青年數學教師優秀課評價標準（2024年修訂版）》的基本要求，深刻領會本次指定課題的設計意圖、內容要求和教學要求，立足實際、大膽實踐.

二、課題說明

“圍繞核心概念再建概念體系”設有“角”和“距離”兩個指定課題，“再理解‘距離’概念”是“圍繞核心概念再建概念體系—以‘距離’的概念為例”課題的第2課時.

1.教學要求

本課題的教學要求為：圍繞“距離”概念，在梳理兩點間的距離、點到直線的距離、平行線間的距離、點面距離、線面距離、面面距離、異面直線間的距離等各種距離概念本質特征的基礎上，建立它們之間的內在聯系，形成以距離為核心的概念體系，引導學生領悟數學定義所蘊含的數學思想.

2.教學提示

距離既是幾何學中最基本的概念，又是高中數學的核心概念．通過梳理高考試卷中體現距離概念內涵的試題，挖掘解決這類問題的思想方法和解題策略，提升學生運用概念解決問題的思維能力.

3.課程標準要求

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）對距離的相關要求與安排主要集中在“空間向量與立體幾何”和“平面解析幾何”這兩個單元．《標準》在“空間向量與立體幾何”單元中對距離的要求為：“借助特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式；能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題（參見案例16）和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.”《標準》在“平面解析幾何”單元中對距離的要求為：“探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離”《標準》附錄2中與距離有關的案例為案例16“用向量方法研究距離問題”和案例23“距離問題”.

三、課例評析

距離是高中數學中的核心概念，對概念的理解和掌握是學生應用所學知識解決問題的基礎．在新授課中，學生難以深刻體會概念整體的知識結構、內涵和外延等，而復習課不僅能夠整體、系統地把握概念，將分散于各主題中的相關內容進行整合，還能挖掘數學概念深層次的內涵，從更高層面實現對概念的深度理解．因此，執教教師在高三復習中設置單元“圍繞核心概念再建概念體系—以‘距離’和‘角’為例”既合理又科學．執教教師遵循“概念生成一演繹一抽象一再演繹一再抽象”的過程，引導學生洞悉距離概念的內涵與外延的動態演變過程，體會概念體系的構建視角、本質特征和應用價值，實現學生對概念的深刻理解、融會貫通和靈活運用．下面從三個層面對此課例進行評析.

1.基于概念理解的宏觀架構

數學概念的內涵和外延都是發展變化的，初始的定義通常源自人們的經驗，基于現實的需要而改變的定義則是源自人們的自由創造，且更具思維和邏輯美感，這便是數學的人文性與科學性．距離概念的變化發展過程也是統一各種外延形式不斷提煉的過程，并能夠從中抽象一般的距離定義.

執教教師對“圍繞核心概念再建概念體系”進行了單元的宏觀設計，共設計了四個課時，分別為：第1課時“與距離有關的問題復習”，第2課時“再理解“距離’概念”，第3課時“與角有關的問題復習”，第4課時“再理解‘角’概念”本單元以距離為載體進行橫向歸納，從“知識一外延一方法一思想”設計教學，帶領學生進行探究性學習，并以角為載體進行縱向演繹，引導學生對概念的再理解進行拓展.

本節課是“距離”概念復習的第2課時，是在已經梳理教材中兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、平面與平面之間的距離、異面直線的距離等基礎上，回歸概念本源，引出點到線段的距離和點到曲線的距離，從而再認識距離的定義，體會這些距離概念的內涵是“兩點之間線段長度的最小值”引導學生對歐幾里得距離進行再認識，進而深化對距離概念的理解，嘗試運用類比、拓展等方法研究曼哈頓距離，了解廣義距離的一般定義，體會數學概念的生成，以及豐富其內涵和外延的基本方法，這也是本節課的教學重點.

雖然授課班級的學生能夠正確記憶和較靈活地應用各種距離的定義與公式，但是他們對距離的內涵缺乏理解：只有準確理解距離的內涵與外延及其概念抽象的過程，才能合理運用所學知識解決實際問題，這是本節課的難點之一．為了突破這一難點，執教教師搭建了概念理解的宏觀架構，從歐氏空間中的不同距離到其他空間中的距離，逐步提升學生對距離概念的認知．通過學習情境的引導，以兩點間距離的定義為出發點，從幾何與代數兩個角度定義點到直線的距離，然后再理解距離的概念，借助“最短”定義點到線段的距離和點到曲線的距離，并進行探究，從更高的角度思考高考試題，提升復習效率．通過生活場景的舉例，進一步幫助學生認識到“空間”是影響距離概念的重要前提，進而類比歐幾里得距離的探究過程研究曼哈頓距離，構建概念體系，積累學習經驗.

2.基于問題探究的微觀推進

在實際教學過程中，執教教師從“回歸本源，概念生成”“定義表述，內涵顯現”“推廣類比，演繹應用”“改變空間，深度理解”“作業布置，意義構建”“課堂小結，學科德育”等六個環節進行推進.

在環節1中，執教教師拋出問題1和問題2，意在引導學生體會用“線段”定義距離的意義：一是便于測量，矩尺和卡尺的發明體現了古代先賢的理性智慧；二是說明線段長度是唯一確定的，即兩點之間線段最短，也可以用三角不等式表示，說明采用線段定義的合理性.

在環節2中，執教教師提出問題3（滬教版教材中點到直線的距離是用垂線段的長度定義的．其實，也可以用最短線段定義：已知平面上的直線 l 及點 P ，任取 l 上一點 Q ，線段 P Q 長度的最小值稱為點 P 到直線 l 的距離）、問題4和探究1，并將探究1分為子探究1和子探究2.

從幾何直觀描述到代數嚴格定義，距離定義充分體現了數學知識發生發展與學生認知過程的合理性；探究1及其子探究的設計，讓學生真正成為課堂的主體，在探究過程中深刻理解形與數的直觀與嚴謹、和諧與統一；問題4的設計直接對距離概念進行拓展，促進了學生理解從代數角度定義距離的必要性和科學性.

在環節3中，執教教師設計了例1及其變式和問題5.在回顧子探究1和子探究2的基礎上提出了問題6和例2.

顯然，例1是點到線段距離定義的直接應用，變式和問題5則把距離問題升華為相關軌跡問題，帶領學生由理解概念上升到體會其中的思想方法；子探究1和子探究2則把點到線段的距離推廣到點到曲線的距離，再用問題6和例2鞏固學生對點到曲線的距離的理解與應用.

在環節4中，執教教師將理論知識轉化為實際應用，由于在現實中受各種因素的影響，兩點間線段的距離未必能夠實現，故帶領學生對探究2進行合作探究，并用問題鏈跟進，提出問題7、問題8、問題9及其子問題1和子問題2，以及問題10，等等.

這一環節中，執教教師通過現實情境，類比歐幾里得距離，帶領學生合作探究了曼哈頓距離的定義及其幾何意義，并類比與歐幾里得距離相關的軌跡問題研究與曼哈頓距離相關的軌跡問題，實現了兩種不同距離定義下的對立與統一，讓學生感受和體會了數學的無窮魅力.

在環節5中，執教教師為了激發學生的學習興趣，展示了二維歐幾里得距離公式、二維曼哈頓距離公式、二維閔可夫斯基距離公式和二維切比雪夫距離公式，并在最后給出了不同空間中的距離概念的一般定義，讓學生體會了數學抽象的過程與意義，認識到定義是人為給定的，是作為基點進行研究的，并不是全部，如下一課時要復習的角等.

在環節6中，由師生共同對本節課回顧總結．執教教師提問：請同學們想想今天我們是如何構建距離概念的？生，：這節課中，通過數學史和生活中的例子，我們理解了距離概念的生成和演變過程．生：我們從數和形兩個角度再理解了距離概念的內涵，以及空間中兩點最短連線長度的本質．生：對于不同空間中的距離概念，我們運用了類比思想進行探究，提升了我們的認知．執教教師追問：我們積累了怎樣的復習經驗？生4：復習不只是做題，還要多思考，發現問題、分析問題、解決問題，這樣才能形成更清晰的認知結構，從而深度理解數學概念．這一環節中，師生共同完成了對距離概念再理解的總結，提升了學生對距離概念的認識，也讓學生對復習與復習課有了更深層次的理解.

3.基于不同視角的教學思考

“同課異構”不僅希望從不同視角對課例進行設計與展示，更希望執教教師能在課后取長補短，對課例有更全面、更系統的認識．當然，優秀的課例永遠在追求完美的路上.

（1）問題設計思考.

從問題鏈角度來說，執教教師的設計幾乎都是無縫銜接.從點到直線的兩種定義到點到線段距離的定義到點到曲線距離的定義再到曼哈頓距離的定義，應該說是環環相扣，步步推進，形成了一個良好、高效的教學過程.但從另一角度來看，過于精密的設計，讓學生似乎有一種全程被帶著走的感覺，學生個性生成的空間會不會受到擠壓？學生發現問題、提出問題的能力是否會受到限制？這值得大家思考，要想讓學生學會學習，或許需要進一步“放手”.

（2）教學安排思考，

從知識梳理到點到曲線距離的定義及應用，用時30分鐘左右，從曼哈頓距離的引出到定義及應用，用時10分鐘左右，應該說，整節課非常流暢與高效，但給人一種過于緊湊的感覺，特別是對曼哈頓距離定義之后的一類軌跡問題的講解，讓人有一種意猶未盡之感，既然是單元整體設計，是否可以把本節課設計為兩個課時，第1課時重點理解歐幾里得距離的概念，第2課時介紹曼哈頓距離及其應用，其實曼哈頓距離也是一個重要的概念，因為《標準》中的案例23介紹的就是曼哈頓距離.

（3）一點“距離”感想.

執教教師在最后的總結中說：“人生最美的不僅僅是這段生命旅程，更是在不同的空間中，會有不同的人生軌跡.我們的人生充滿可能性.”或許“距離”真的與“軌跡”密不可分，在高中數學中，“距離”到底用在哪里？主要應該是度量，一維度量長度、二維度量面積、三維度量體積.到一個點距離相等的點的軌跡可以是兩個點，可以是圓周，也可以是球面，主要看度量維度;到一條直線距離相等的點的軌跡可以是兩條平行直線，也可以是圓柱側面，同樣要看度量的維度;到一個面距離相等的點的軌跡是兩個平行平面，當然，對于非歐“距離”不同維度的度量，教師可以帶領部分學有余力的學生進行更深入的探索和發現！

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心，中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.