“圓錐曲線相關(guān)度量問題的探究” 教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）03-0047-05引用格式：．“圓錐曲線相關(guān)度量問題的探究”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（3）：47-51.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

1.單元內(nèi)容

“圓錐曲線相關(guān)度量問題的探究”基于人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第三章，以主題教學(xué)的形式，對(duì)解析幾何中的度量問題展開了探究，平面解析幾何的研究對(duì)象是平面幾何圖形，距離和角度是幾何的核心概念，刻畫距離和角度是平面解析幾何的基本任務(wù)．因此，單元內(nèi)容主要以圓錐曲線中距離、角度、面積的度量問題為載體，融合代數(shù)、平面幾何、向量、函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，形成不同主題數(shù)學(xué)內(nèi)容及其思想方法之間的聯(lián)系與綜合．然而，學(xué)生綜合解決問題的能力需要逐步培養(yǎng)．對(duì)于某些問題的解決，雖然學(xué)生具備所需要的基礎(chǔ)知識(shí)，但綜合運(yùn)用伴隨著對(duì)學(xué)生思維能力的高要求，因而這樣的問題不宜過早出現(xiàn)．本單元的教學(xué)，先針對(duì)這類問題提供思維上的應(yīng)對(duì)策略，再根據(jù)具體問題綜合聯(lián)系其他知識(shí)．因此，將本單元的課程內(nèi)容分為3個(gè)課時(shí)，分別側(cè)重于：解析幾何與平面幾何的融合，解析幾何與向量及三角函數(shù)的融合，解析幾何與函數(shù)及數(shù)列的融合．具體內(nèi)容框架如圖1所示.

2.課時(shí)內(nèi)容

“圓錐曲線相關(guān)度量問題與平面幾何的融合”為第1課時(shí)，具體課時(shí)內(nèi)容為明確度量對(duì)象，從圖形的幾何特征出發(fā)，結(jié)合平面幾何相關(guān)知識(shí)，探索處理圓錐曲線度量問題的一般策略，教學(xué)內(nèi)容及流程如圖2所示.

由于解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形，故引導(dǎo)學(xué)生把握?qǐng)D形的幾何特征，利用圓錐曲線自身的定義、對(duì)稱性等性質(zhì)，結(jié)合平面幾何相關(guān)知識(shí)對(duì)度量的目標(biāo)量進(jìn)行有效的坐標(biāo)表示或轉(zhuǎn)化，是解決度量問題的關(guān)鍵.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：從幾何圖形上尋找對(duì)度量的幾何量的表示及轉(zhuǎn)化方式，掌握一般化的度量策略.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1．單元教學(xué)目標(biāo)

能通過復(fù)習(xí)，更深刻地理解圓錐曲線的定義及對(duì)稱性等性質(zhì)的作用，學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形的基本性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想解決問題，形成關(guān)聯(lián)性的知識(shí)脈絡(luò)，發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志如下.

（1）能結(jié)合具體的度量問題，剖析解題受阻的主要原因，從而有針對(duì)性地尋找突破口.

（2）能利用圖形的幾何性質(zhì)，從直接表示與間接轉(zhuǎn)化兩個(gè)方向?qū)Χ攘康膶?duì)象進(jìn)行研究，探索有效的解題思路.

（3）能有意識(shí)地聯(lián)系各個(gè)主題的相關(guān)知識(shí)，積極利用平面幾何、向量等方法綜合解決相關(guān)度量問題，

三、學(xué)情分析

1.已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)

從處理問題的思維方法來看，學(xué)生已經(jīng)基本掌握利用坐標(biāo)法解決平面解析幾何問題的一般思路：將幾何問題“翻譯”為代數(shù)問題一代數(shù)運(yùn)算與推理一將代數(shù)結(jié)論“翻譯”為幾何結(jié)論，并能夠在圓錐曲線度量問題中運(yùn)用坐標(biāo)法的基本思路對(duì)度量的幾何量進(jìn)行代數(shù)表示.

從知識(shí)儲(chǔ)備來看，學(xué)生已經(jīng)掌握直線、圓、圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)．在之前的復(fù)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)回顧了三角形的高、中線、角平分線、三邊的垂直平分線，三角形中的外接圓、內(nèi)切圓，平行四邊形對(duì)角線等相關(guān)平面幾何涉及的結(jié)論.

2.可能存在的障礙

在解決具體度量問題的過程中，學(xué)生充分挖掘圖

形幾何性質(zhì)的意識(shí)較弱，往往機(jī)械地對(duì)度量的幾何量進(jìn)行代數(shù)表示，導(dǎo)致后續(xù)坐標(biāo)運(yùn)算難以進(jìn)行，且綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)的能力有待提升.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，自主探索幾何度量問題背后的幾何信息.

四、教學(xué)策略分析

為了更好地突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，促進(jìn)教學(xué)自標(biāo)的達(dá)成，本節(jié)課采用以下教學(xué)策略，

1.基于認(rèn)知，精選題目

在題目的選取上，以教材內(nèi)容和高考試題為來源，遵循學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的最近發(fā)展區(qū)原理，學(xué)生容易在獨(dú)立思考的成果基礎(chǔ)上，經(jīng)過引導(dǎo)與探究活動(dòng)，進(jìn)行知識(shí)的自主建構(gòu).

2.問題驅(qū)動(dòng)，層層遞進(jìn)

教師通過設(shè)置層層遞進(jìn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生有邏輯、有脈絡(luò)地進(jìn)行探究，讓學(xué)生充分體會(huì)處理度量問題的一般思考路徑.

3.合作探究，啟發(fā)互助

以學(xué)生為課堂主體，圍繞如何對(duì)度量的幾何量進(jìn)行表示或轉(zhuǎn)化這一問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作探究．在小組探討、展示交流的過程中，發(fā)揮同伴互助的力量，強(qiáng)化學(xué)生的發(fā)散性思維．

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.整體認(rèn)知，把握方向

表1呈現(xiàn)了中學(xué)平面解析幾何的主要研究對(duì)象，以點(diǎn)、直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為基本圖形，主要對(duì)圖形中的特征量、位置關(guān)系及度量的幾何量進(jìn)行研究．在幾何問題中，常見的度量對(duì)象有距離、角度和面積.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從整體上把握解析幾何的研究對(duì)象，明確度量問題中涉及的幾何量．對(duì)它們的度量是解析幾何問題教學(xué)中重要的一環(huán).

如表2，以表格的形式向?qū)W生展示《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，并通過梳理近幾年的高考試題，歸納圓錐曲線中度量問題的常見考查方式，體現(xiàn)高考“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的命題趨勢(shì)，并在此基礎(chǔ)上提出此類問題的基本處理策略，明確探究方向，引出課題.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生清晰本節(jié)課內(nèi)容在高考中的考查要求和考查方式，明確探究方向與學(xué)習(xí)目標(biāo).

2.啟發(fā)探究，思想滲透

探究：已知橢圓 c . 過點(diǎn) ，離心率為

（1）求橢圓 C 的方程；

（2）設(shè)點(diǎn) B 是點(diǎn) A 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， P 是橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，直線 A P 和 B P 分別與直線 x=6 交于 M ， N ，是否存在點(diǎn) P 使得 Δ P A B 與 Δ P M N 面積相等？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

師生活動(dòng)：第（1）小題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生根據(jù)方程思想得到基本量的值，由學(xué)生集體給出橢圓方程．對(duì)于第（2）小題，第一步是畫圖（如圖3）.教師注意強(qiáng)調(diào)學(xué)生的作圖細(xì)節(jié)，學(xué)生跟隨教師在黑板上的演示，再次經(jīng)歷作圖的完整過程.

【設(shè)計(jì)意圖】從規(guī)范作圖入手，強(qiáng)調(diào)幾何直觀的重要性，為后續(xù)準(zhǔn)確“翻譯”幾何條件做好前期準(zhǔn)備工作.

問題1：如何處理?xiàng)l件 ？

師生活動(dòng)：學(xué)生集體給出坐標(biāo)法解決問題的傳統(tǒng)思路，教師通過提前批閱了解學(xué)生的解題情況，選取具有代表性的作答過程，并由學(xué)生親自講述解題思路與解題受阻的原因，反饋大部分學(xué)生解決問題的心路歷程．在此基礎(chǔ)上，由成功解出點(diǎn) P 坐標(biāo)的學(xué)生上臺(tái)講解運(yùn)算過程中突破的關(guān)鍵點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】先從解題思路上認(rèn)可學(xué)生用坐標(biāo)表示面積的思考成果，引導(dǎo)學(xué)生積極應(yīng)對(duì)解題過程中出現(xiàn)的運(yùn)算障礙，強(qiáng)調(diào)掌握通性通法、提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的必要性.

問題2：回到圖3，觀察 Δ P A B 與△PMN的圖形特點(diǎn)，有一組對(duì)頂角，還可以用哪個(gè)公式表示其面積？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過圖形中的對(duì)頂角相等，自然想到利用 來表示面積建立方程，從而得到關(guān)于長(zhǎng)度的等量關(guān)系．教師邀請(qǐng)用這種思路成功解出點(diǎn) P 坐標(biāo)的學(xué)生分享解題思路，并給全班學(xué)生2分鐘時(shí)間動(dòng)筆實(shí)踐，讓他們經(jīng)歷從面積到長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)化，并嘗試獨(dú)立用坐標(biāo)表示長(zhǎng)度關(guān)系．教師讓學(xué)生到講臺(tái)上板演解答過程.

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察圖形的幾何特征，認(rèn)識(shí)到對(duì)度量對(duì)象的表示方式可以是多樣的，引導(dǎo)學(xué)生從多角度切入對(duì)面積進(jìn)行表示，并通過實(shí)際運(yùn)算，體會(huì)從幾何眼光出發(fā)對(duì)后續(xù)運(yùn)算帶來的簡(jiǎn)化作用，激發(fā)學(xué)生深入探究的興趣.

問題3：如果直接表示面積，思維量少，但后續(xù)的計(jì)算往往較為煩瑣．能否通過作輔助線或割補(bǔ)等平面幾何方法將面積等價(jià)轉(zhuǎn)換成更容易表示的幾何條件，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算呢？

師生活動(dòng)：由學(xué)生提供“延長(zhǎng) A B 交直線MN于點(diǎn)Q”“連接BM，AN”等作輔助線的方法（如圖4），將 Δ P A B 與 Δ P M N 面積相等進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．教師組織學(xué)生通過合作交流、小組探討的方式，對(duì)轉(zhuǎn)化后的幾何條件尋找有效的坐標(biāo)表示，并由小組代表上臺(tái)匯報(bào)成果，教師引導(dǎo)每個(gè)小組積極參與到展示與交流的活動(dòng)中去，并對(duì)學(xué)生的匯報(bào)給予及時(shí)的評(píng)價(jià)與總結(jié).

追問：已知點(diǎn) M 為線段 N Q 的中點(diǎn)，以及 A ， B ， Q 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易發(fā)現(xiàn)點(diǎn) B 也為線段 A Q 的中點(diǎn)，則可以得到點(diǎn) P 具有怎樣的位置特征？

【設(shè)計(jì)意圖】啟發(fā)學(xué)生深入挖掘圖形中的幾何特征，使學(xué)生體會(huì)到結(jié)合平面幾何方法將度量的目標(biāo)量有效轉(zhuǎn)化再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算的處理策略，進(jìn)一步提升學(xué)生分析圖形的能力，并在合作探討中，激發(fā)學(xué)生思維的活躍度.

教師總結(jié)：由整個(gè)探究過程我們可以體會(huì)到處理圓錐曲線度量問題的一般策略．一是直接表示度量的目標(biāo)量，但要根據(jù)圖形的幾何特征選擇合適的度量公式；二是充分挖掘圖形中的幾何特征，結(jié)合平面幾何中的相關(guān)方法，對(duì)度量的目標(biāo)量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成更容易代數(shù)表示的幾何量，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)為我們后續(xù)的代數(shù)運(yùn)算帶來很大的便利.

3.明確方向，策略應(yīng)用

跟蹤訓(xùn)練1：已知橢圓 c . C 的上頂點(diǎn)為 A ，左、右焦點(diǎn)為 ， ，離心率為 過點(diǎn) 且垂直于 的直線與 C 交于 D ， E 兩點(diǎn)， ，則 Δ A D E 的周長(zhǎng)是

師生活動(dòng)：按照探究過程得到的一般策略，給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，尋找對(duì)該題中周長(zhǎng)的度量方式，確定解題思路．在此題的求解過程中，學(xué)生將會(huì)親身感受不規(guī)范的作圖會(huì)給解題帶來很大的阻礙，教師提醒學(xué)生作圖是從離心率出發(fā)，還原題目所給代數(shù)條件，并動(dòng)態(tài)展示作圖過程中需要注意的關(guān)鍵細(xì)節(jié).在此基礎(chǔ)上，由學(xué)生分享解題思路，教師給予點(diǎn)評(píng)與完善.

跟蹤訓(xùn)練2：如圖5，設(shè)橢圓 C 的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)為 A ， B ，點(diǎn) M₁， ， 是 的四等分點(diǎn)，分別過這三點(diǎn)作斜率為 的一組平行線，交橢圓 C 于 ， ，…， ，則直線 ， ，…， 斜率的乘積為

師生活動(dòng)：給學(xué)生一定的思考時(shí)間，由學(xué)生從該題的圖形特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合前兩道題中對(duì)度量問題的處理策略，學(xué)生之間交流想法，教師及時(shí)追問，引發(fā)學(xué)生更進(jìn)一步的思考，不斷完善思路.

【設(shè)計(jì)意圖】通過獨(dú)立解決兩道對(duì)距離、角度的度量題目，進(jìn)一步落實(shí)處理度量問題的基本思想方法，使學(xué)生明確從圖形幾何特征出發(fā)，利用圓錐曲線自身的定義、對(duì)稱性，結(jié)合平面幾何方法對(duì)度量對(duì)象進(jìn)行多角度表示與轉(zhuǎn)化是解決此類問題的有效途徑.

4.歸納小結(jié)，素養(yǎng)提升

問題4：根據(jù)本節(jié)課的收獲，大家說一說處理圓錐曲線度量問題的解題思路有哪些？從中體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧探究過程（如圖6），梳理解題策略，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘知識(shí)本質(zhì)，體會(huì)核心數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的整體性與思想的一致性.

5.課后鞏固，作業(yè)布置完成課后鞏固與綜合應(yīng)用的分層作業(yè)，

六、課堂教學(xué)評(píng)價(jià)與作業(yè)設(shè)計(jì)

1．課堂教學(xué)評(píng)價(jià)

本節(jié)課將結(jié)合學(xué)生的課堂活動(dòng)表現(xiàn)與課后作業(yè)完成情況，對(duì)課堂教學(xué)目標(biāo)的完成度進(jìn)行檢測(cè)．第一階段以教師在課堂進(jìn)行過程中對(duì)學(xué)生的參與度、回答問題、小組討論情況的觀察為評(píng)價(jià)依據(jù)；第二階段在本節(jié)課結(jié)束后，教師通過回收學(xué)生的課堂筆記、解題過程等，及時(shí)了解隨著課堂內(nèi)容的推進(jìn)，學(xué)生真實(shí)的求知態(tài)度、思維變化和處理策略的應(yīng)用情況；第三階段是通過學(xué)生對(duì)不同層次作業(yè)的完成情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和水平，關(guān)注不同學(xué)生的能力及思維層次，診斷學(xué)生在此類問題中的不足，從而在下一課時(shí)中改進(jìn)教學(xué)方法，完善教學(xué)內(nèi)容.

2.作業(yè)設(shè)計(jì)

作業(yè)1：重新審視預(yù)習(xí)作業(yè)中的題目，對(duì)方法進(jìn)行歸納、優(yōu)化.

作業(yè)2：獨(dú)立完成以下4道圓錐曲線度量問題.

題目1：已知 ， 分別是雙曲線 E . 的左、右焦點(diǎn)， M 是 E 的左支上一點(diǎn)，過點(diǎn) 作 角平分線的垂線，垂足為 N ， o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ∣ O N∣ 的值為

題目2：已知橢圓 C . ， A ， B 分別為 c 的左、右頂點(diǎn)．點(diǎn) P 在 c 上，點(diǎn) Q 在直線 x=6 上，且 ， B P⊥ B Q ，求 Δ A P Q 的面積.

題目3：設(shè)橢圓 c 的右焦點(diǎn)為 F ，過 F 的直線 與 c 交于 A ， B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（2，0）.設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： ∠ O M A=∠ O M B ·

題目4：已知橢圓 c 的左、右焦點(diǎn)為 ， ， c 上不同兩點(diǎn)A’ B 滿足 ，當(dāng) λ=1 時(shí)，

（1）求 C 的方程；

（2）設(shè)直線 交于點(diǎn) P ， Δ P A B 的面積 為1，求 與 的面積之和.

作業(yè)3：對(duì)2024年全國(guó)統(tǒng)一適應(yīng)性測(cè)試第18題進(jìn)行解法探究，最終探究成果以論文形式展現(xiàn)．提示：可以從命題立意、解題思路、思想方法、變式延伸等角度進(jìn)行研討.

已知拋物線 C . 的焦點(diǎn)為 F ，過 F 的直線 l 交 C 于 A ， B 兩點(diǎn)，過 F 與 l 垂直的直線交 C 于 D ， E 兩點(diǎn)，其中 B ， D 在 x 軸上方， M ， N 分別為 A B ，DE的中點(diǎn).

（1）證明：直線MN過定點(diǎn)；

（2）設(shè) G 為直線 A E 與直線 B D 的交點(diǎn)，求 Δ GMN面積的最小值.

【設(shè)計(jì)意圖】從溫故知新、獨(dú)立解決、深入挖掘三個(gè)層次對(duì)學(xué)生在這節(jié)課中的收獲進(jìn)行應(yīng)用、鞏固.

參考文獻(xiàn)：

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