分析幾何要素 轉(zhuǎn)化代數(shù)等式

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）03-0052-04

引用格式：．分析幾何要素轉(zhuǎn)化代數(shù)等式：“圓錐曲線相關(guān)度量問(wèn)題的探究”課例點(diǎn)評(píng)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（3）：52-55.

解析幾何的基本思想是通過(guò)坐標(biāo)法處理幾何問(wèn)題，這一方法論的核心在于先用平面幾何的眼光觀察問(wèn)題，再用代數(shù)方法進(jìn)行解決．那么，如何在課堂教學(xué)中體現(xiàn)出來(lái)，是需要廣大教師認(rèn)真研究的課題.

“解析幾何中的度量問(wèn)題”是第十二屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)的指定課題之一，其內(nèi)容要求為：融合代數(shù)、數(shù)列、平面幾何等相關(guān)知識(shí)，解決解析幾何中的距離、角度與面積等度量問(wèn)題，形成不同主題數(shù)學(xué)內(nèi)容及其思想方法之間的聯(lián)系與綜合.

（如對(duì)稱(chēng)、平移等）及數(shù)形結(jié)合思想等解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

本節(jié)課中，執(zhí)教教師對(duì)指定課題內(nèi)容理解準(zhǔn)確，教學(xué)自標(biāo)定位合理，學(xué)情分析恰當(dāng)，問(wèn)題事學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，課堂教學(xué)邏輯清晰，師生思維互相交融，語(yǔ)言清晰準(zhǔn)確，板書(shū)工整，教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度高，下面對(duì)本節(jié)課的亮點(diǎn)進(jìn)行評(píng)析.

在具體的教學(xué)提示中指出，通過(guò)梳理近幾年高考試卷和適應(yīng)性測(cè)試卷中與解析幾何中的度量問(wèn)題相關(guān)的考題（如2024年適應(yīng)性測(cè)試中的第18題、新課標(biāo)I卷第16題等），引導(dǎo)學(xué)生深刻理解直線、圓及圓錐曲線的定義、基本性質(zhì)（特別是對(duì)稱(chēng)性）的作用，促進(jìn)解析幾何、平面幾何、平面向量等相關(guān)知識(shí)的融會(huì)貫通，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形的基本性質(zhì)、幾何變換

一、內(nèi)容理解準(zhǔn)確，單元和課時(shí)內(nèi)容設(shè)定清晰

本課例嚴(yán)格遵循指定課題的設(shè)計(jì)要求．單元內(nèi)容主要以解析幾何中距離、角度、面積的度量問(wèn)題為載體，融合代數(shù)、平面幾何、向量、函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)．在不同主題的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，構(gòu)建不同知識(shí)與思想方法之間的聯(lián)系．依據(jù)處理此類(lèi)問(wèn)題的知識(shí)應(yīng)用順序，將本單元課程內(nèi)容分為3個(gè)課時(shí)，分別側(cè)重于：解析幾何與平面幾何的融合、解析幾何與向量及三角函數(shù)的融合、解析幾何與函數(shù)及數(shù)列的融合.

本節(jié)課是第1課時(shí)．在圓錐曲線中的距離、角度、面積度量問(wèn)題中，幾何直觀是首要步驟．要充分挖掘圖形的幾何特征，利用合適的公式進(jìn)行度量，同時(shí)，促進(jìn)解析幾何、平面幾何等相關(guān)知識(shí)的融會(huì)貫通，提供處理解析幾何中度量問(wèn)題的一般策略（如圖1）.

二、整體認(rèn)知先行，明確課堂問(wèn)題解決策略

在本節(jié)課中，執(zhí)教教師首先向?qū)W生展示了表1，其自的在于幫助學(xué)生從整體層面把握解析幾何的研究對(duì)象，進(jìn)而明確度量問(wèn)題中涉及的幾何量.

接著，執(zhí)教教師以表格的形式為學(xué)生呈現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中的相關(guān)要求．與此同時(shí)，執(zhí)教教師通過(guò)對(duì)近幾年高考試題進(jìn)行系統(tǒng)梳理，全面概括了圓錐曲線中的度量問(wèn)題的常見(jiàn)考查方式．在此基礎(chǔ)上，執(zhí)教教師進(jìn)一步提出此類(lèi)問(wèn)題的基本處理策略，明確了探究方向，進(jìn)而引出課題．這樣一來(lái)，學(xué)生便能夠清晰地了解本節(jié)課的具

體內(nèi)容和探究方向.

三、題目選擇恰當(dāng)，體現(xiàn)指定課題內(nèi)容主旨

本節(jié)課中，執(zhí)教教師將2010年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第19題進(jìn)行了適當(dāng)改編，得到如下題目.

題目 已知橢圓 c . 過(guò)點(diǎn) ，離心率為

（1）求橢圓 C 的方程；

（2）設(shè)點(diǎn) B 是點(diǎn) A 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， P 是橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，直線 A P 和 B P 分別與直線 x=6 交于 M ， N ，是否存在點(diǎn) P 使得 Δ P A B 與 Δ P M N 面積相等？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

該題重點(diǎn)考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力、邏輯思維能力和代數(shù)運(yùn)算能力，探究如何將條件中的面積相等轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)便易算的等價(jià)代數(shù)式．題目難度適中，能夠從多個(gè)角度考查學(xué)生對(duì)解析幾何本質(zhì)的理解與掌握情況．解析幾何雖然是采用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，但是圖形同時(shí)具有豐富的幾何性質(zhì)，充分挖掘幾何對(duì)象的幾何屬性，可為準(zhǔn)確的代數(shù)化和便捷的運(yùn)算奠定良好的基礎(chǔ).

四、問(wèn)題設(shè)置明確，課堂教學(xué)活動(dòng)設(shè)置合理

前面的試題，執(zhí)教教師要求學(xué)生在課前自主解決．在課堂教學(xué)中，執(zhí)教教師在明確了第（1）小題的解法和答案后，迅速切入對(duì)第（2）小題的分析．執(zhí)教教師先作出圖形，明確正確作圖至關(guān)重要，相對(duì)準(zhǔn)確的圖形是后續(xù)正確分析問(wèn)題的關(guān)鍵．隨后，圍繞“如何處理 Δ P A B 與 Δ P M N 面積相等”這個(gè)條件展開(kāi)教學(xué).

1.選取具有代表性的學(xué)生解答進(jìn)行展示，明確運(yùn)算方式

執(zhí)教教師先讓學(xué)生展示常規(guī)解法．在這種解法中，學(xué)生往往是機(jī)械性地對(duì)度量的幾何量進(jìn)行直接代數(shù)轉(zhuǎn)化，然而大多數(shù)學(xué)生難以求解到最后．但是執(zhí)教教師并沒(méi)有就此轉(zhuǎn)而分析本節(jié)課的主線——分析幾何圖形，而是讓通過(guò)常規(guī)方法算出結(jié)果的學(xué)生展示其解法，這樣做的目的是讓全體學(xué)生清楚該題如何進(jìn)行運(yùn)算，從而提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng).

2.引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形得出兩個(gè)三角形具有一組對(duì)頂角，轉(zhuǎn)化為比值

在明確了常規(guī)運(yùn)算的解法后，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，探尋幾何圖形的特征．學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形有一組對(duì)頂角，這為后續(xù)轉(zhuǎn)化提供了條件．代數(shù)關(guān)系的得出需要基于幾何圖形的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由于兩個(gè)三角形有等值的角，故可以將面積轉(zhuǎn)化為鄰邊的乘積，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為邊的比值．執(zhí)教教師的設(shè)問(wèn)環(huán)環(huán)相扣，有效促進(jìn)了學(xué)生的深入思考.

3.引導(dǎo)學(xué)生變換圖形，尋求新的等量關(guān)系

在將面積轉(zhuǎn)化為比值后，運(yùn)算依然存在問(wèn)題．此時(shí)，執(zhí)教教師提出問(wèn)題：能否通過(guò)作輔助線或割補(bǔ)等平面幾何方法將面積等價(jià)轉(zhuǎn)換成更容易表示的幾何條件，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算呢？這一問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)思考，通過(guò)新的圖形構(gòu)建新的等量關(guān)系．在學(xué)生討論和執(zhí)教教師的不斷追問(wèn)下，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)點(diǎn) P 為△AQN的重心這一特征，將原有的面積度量問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化到更簡(jiǎn)潔的坐標(biāo)關(guān)系上．這樣一來(lái)，學(xué)生親身體會(huì)到充分挖掘題目中的幾何特征，借助平面幾何等性質(zhì)對(duì)度量的目標(biāo)量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以有效提高運(yùn)算效率.

4.時(shí)時(shí)總結(jié)，明晰策略流程

在前面的每一步分析中，執(zhí)教教師都在黑板上進(jìn)行實(shí)時(shí)板書(shū)，以便學(xué)生及時(shí)總結(jié)，將解題策略可視化，便于學(xué)生從整體上把握策略路徑（如圖2）.

策略1：表示面積 坐標(biāo)運(yùn)算 ？

策略2：轉(zhuǎn)化面積→ 為 N Q 的中點(diǎn)→S△ABM=S△NBM→BM//AN

5.跟蹤訓(xùn)練適切，學(xué)生應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)解決問(wèn)題

執(zhí)教教師設(shè)計(jì)的兩道跟蹤訓(xùn)練題，直接求解難度較大，但若結(jié)合曲線的幾何特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則能簡(jiǎn)化運(yùn)算．執(zhí)教教師通過(guò)這兩道題自向?qū)W生明確，解析幾何的代數(shù)運(yùn)算是帶有幾何性質(zhì)的運(yùn)算，而不是單純的代數(shù)硬算．要先利用曲線自身或平面幾何的性質(zhì)將需要度量的對(duì)象進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，這是高效解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

五、教學(xué)過(guò)程流暢，語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，歸納及時(shí)高效

在本節(jié)課中，執(zhí)教教師充分展現(xiàn)了其在教學(xué)中的主導(dǎo)作用．一方面，執(zhí)教教師高效調(diào)動(dòng)了學(xué)生解決問(wèn)題的積極性及思維活動(dòng)的主動(dòng)性，為學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)創(chuàng)造了良好的條件．執(zhí)教教師通過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題、巧妙的引導(dǎo)和積極的鼓勵(lì)，激發(fā)了學(xué)生的求知欲和探索精神，使學(xué)生主動(dòng)參與到問(wèn)題的解決過(guò)程中，積極思考、大膽發(fā)言，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用．另一方面，執(zhí)教教師注重師生之間、生生之間的有效交流和互動(dòng)．課堂上，執(zhí)教教師鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)和想法，認(rèn)真傾聽(tīng)學(xué)生的發(fā)言，并給予及時(shí)反饋和評(píng)價(jià)．同時(shí)，執(zhí)教教師還組織學(xué)生進(jìn)行小組探究活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，營(yíng)造了和諧、輕松的課堂教學(xué)氛圍，極大地提高了教與學(xué)的有效性和開(kāi)放性.

在本節(jié)課中，當(dāng)學(xué)生描述完相關(guān)問(wèn)題的解法或想法后，執(zhí)教教師并沒(méi)有簡(jiǎn)單地重復(fù)學(xué)生的描述，而是順勢(shì)進(jìn)行簡(jiǎn)潔歸納．執(zhí)教教師憑借其敏銳的洞察力和豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，迅速抓住學(xué)生思路的核心要點(diǎn)，進(jìn)行提煉和總結(jié)．同時(shí)，執(zhí)教教師將學(xué)生的思路整理到黑板的策略流程圖中，使學(xué)生的思維過(guò)程更加清晰地呈現(xiàn)出來(lái)．這樣做既有助于其他學(xué)生更好地理解和借鑒，又提高了課堂教學(xué)效率，避免了時(shí)間的浪費(fèi)，使教學(xué)過(guò)程更加緊湊、高效.

本節(jié)課中，執(zhí)教教師緊緊圍繞設(shè)計(jì)的單元教學(xué)目標(biāo)和課時(shí)教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)教學(xué)．在課前，學(xué)生通過(guò)自主探究對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有了初步的認(rèn)識(shí)和思考，課堂上，在執(zhí)教教師的引導(dǎo)下，學(xué)生有序完成了學(xué)習(xí)內(nèi)容．執(zhí)教教師通過(guò)提問(wèn)反饋、學(xué)生展示、小組探究等方式進(jìn)行及時(shí)評(píng)價(jià)，有力地促進(jìn)了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成．在策略應(yīng)用環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的順利解決及在課堂內(nèi)容的小結(jié)中所表現(xiàn)出的對(duì)知識(shí)的掌握和理解，都充分反映了教學(xué)效果的達(dá)成．整節(jié)課結(jié)構(gòu)合理、邏輯清晰，執(zhí)教教師充分把握了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和水平，有效組織了課堂教學(xué)．課堂預(yù)設(shè)科學(xué)有效，執(zhí)教教師在課前對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程等進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)和規(guī)劃，確保了教學(xué)的順利進(jìn)行．同時(shí)，課堂生成自然合理，執(zhí)教教師在教學(xué)過(guò)程中能夠根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和課堂的變化，靈活調(diào)整教學(xué)策略，使教學(xué)更加符合學(xué)生的需求.

在本節(jié)課中，教師對(duì)解析幾何中的度量問(wèn)題進(jìn)行了深人分析，充分挖掘其中的幾何要素，并將其有效轉(zhuǎn)化為可解的代數(shù)等式．這樣的教學(xué)方式使學(xué)生不斷認(rèn)識(shí)到幾何與代數(shù)相互為用的關(guān)系及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形出發(fā)，分析問(wèn)題中的幾何特征，然后運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行求解．同時(shí)，執(zhí)教教師還通過(guò)具體例子，讓學(xué)生體會(huì)到如何將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，以及如何運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題．這種教學(xué)方法不僅有助于學(xué)生更好地理解解析幾何的本質(zhì)，還培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

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