在特殊與一般之間合理進(jìn)退

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究；新情境；特殊與一般；概率；思維發(fā)展中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）03-0056-06

引用格式：．在特殊與一般之間合理進(jìn)退：“[J]．中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（3）：56-60，64.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

在新情境下，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，考查學(xué)生的探究能力，是人才培養(yǎng)、未來發(fā)展的時(shí)代要求．在課堂教學(xué)中，需要經(jīng)歷典型的數(shù)學(xué)探究過程，構(gòu)建知識(shí)體系，形成一般思路，培養(yǎng)思維的邏輯性和創(chuàng)新性（如圖1）.

的探究中，學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展用數(shù)學(xué)語言刻畫隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的能力．本節(jié)課的試題情境來源于田忌賽馬問題，在變化中增加了新穎性．在解決問題中，回顧概率的知識(shí)結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和思想方法進(jìn)行求解，并對(duì)問題進(jìn)行推廣，從特殊到一般進(jìn)行探究．在探究中，感受在特殊與一般間合理進(jìn)退、尋找一般方法的重要性，感受數(shù)學(xué)探究的一般思路．這體現(xiàn)了高考考查內(nèi)容的核心價(jià)值和關(guān)鍵能力，以及高考考查要求的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

本節(jié)課的探究只是一個(gè)載體，更重要的是激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)探究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和理性思維．通過提升思維品質(zhì)，培育創(chuàng)新人才.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

概率是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，通過對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究，人們能從不確定性的角度更好地認(rèn)識(shí)世界，發(fā)展思維模式，形成解決問題的方法.

本節(jié)課是一節(jié)高三年級(jí)的探究課．在對(duì)具體實(shí)例本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）基于2024年新課標(biāo)I卷第14題的新情境，經(jīng)歷獨(dú)立思考、討論交流、合作探究的過程，能夠結(jié)合所學(xué)的概率知識(shí)，理解求解該題的方法.

（2）經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的過程，通過在特殊與一般之間合理進(jìn)退、在特例中尋找可遷移的方法來證明猜想．感受特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng).

（3）通過本節(jié)課的探究，感受“通過特例發(fā)現(xiàn)規(guī)律一提出猜想一證明或否定猜想一拓展與應(yīng)用”的一般研究思路，能從特殊到一般嘗試探究新的問題，培養(yǎng)理性精神和創(chuàng)新思維.

三、學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象為高三學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容，學(xué)會(huì)了求解概率問題的常見手段，能夠從特殊到一般地發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想，并推理證明.

但學(xué)生對(duì)特殊與一般思想的理解更多地停留在解題，而非數(shù)學(xué)探究的過程上，對(duì)研究思路的認(rèn)識(shí)不夠清晰，并且需要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)才能解決問題．因此，本節(jié)課的教學(xué)自標(biāo)重在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探究．在展示與分享、交流與討論中，學(xué)生敢于提出問題，勇于參與討論、找到方法、提出猜想，善于運(yùn)用已有知識(shí)嘗試探究．通過師生互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生深度理解、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感受一般的研究思路．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，以及突破策略如下.

教學(xué)重點(diǎn)：從特殊到一般，探究當(dāng)雙方各有 n 張卡片（ 為偶數(shù)）時(shí)，甲得分不小于 的概率.教學(xué)難點(diǎn)：從特例中發(fā)現(xiàn)可遷移的方法.

突破難點(diǎn)的相應(yīng)策略：立足特殊，觀察規(guī)律，集思廣益；以退為進(jìn)，建立對(duì)應(yīng)，發(fā)現(xiàn)方法；合作交流，推廣一般，證明猜想.

四、教學(xué)策略解析

在本節(jié)課的教學(xué)中，教師不僅要促進(jìn)學(xué)生發(fā)展自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)復(fù)習(xí)的能力，還要和學(xué)生一起理解新時(shí)代課程與評(píng)價(jià)改革的新思路，即努力實(shí)現(xiàn)由解題轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q問題、由總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)核心素養(yǎng)，更要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．因此，在教學(xué)內(nèi)容和策略的選取上，應(yīng)該關(guān)注知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系、理解方法應(yīng)用的廣泛性，注重?cái)?shù)學(xué)文化滲透，加強(qiáng)數(shù)學(xué)整體性、方法普適性、思維系統(tǒng)性的提升．基于以上分析，確定本節(jié)課的具體教學(xué)策略如下.

（1）課前布置探究．學(xué)生獨(dú)立思考，提出問題.

（2）課堂充分討論．通過討論式、活動(dòng)式、探究式、發(fā)現(xiàn)式的教學(xué)方法，學(xué)生敢于嘗試，主動(dòng)參與探究.

（3）課終總結(jié)提煉．學(xué)生交流反思，促進(jìn)升華.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考.

同學(xué)們，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說過這樣的一段話：“在討論數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們相信特殊化比一般化起著更為重要的作用．可能在大多數(shù)場合，我們尋找一個(gè)問題的答案而未能成功的原因在于這樣的事實(shí)，即有一些比手頭的問題更簡單、更容易的問題沒有完全解決或是完全沒有解決．這時(shí)，一切都有賴于找出這些比較容易的問題，并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們．這種方法是克服數(shù)學(xué)困難的最重要的杠桿之一，我認(rèn)為人們是經(jīng)常使用它的，雖然也許并不自覺.”

思考：能否結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，談?wù)勀銓?duì)希爾 伯特這段話的理解？

從特殊到一般是研究數(shù)學(xué)問題的一種典型方法，我們都經(jīng)歷過．這段話里還有什么更深刻的內(nèi)涵嗎？讓我們一同走進(jìn)今天的課程“在特殊與一般之間合理進(jìn)退——新情境下的數(shù)學(xué)探究”

【設(shè)計(jì)意圖】如何從特殊到一般展開數(shù)學(xué)探究是本節(jié)課教學(xué)的重要內(nèi)容．本節(jié)課先呈現(xiàn)希爾伯特的話語，引入課題．學(xué)生回憶學(xué)習(xí)經(jīng)歷，感受特殊與一般思想的重要性，為研究方法的類比與遷移提供可能．討論數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)，立足教材，挖掘教材背后的數(shù)學(xué)思想.

環(huán)節(jié)2：回顧交流，展示分享.

首先，讓我們一起回顧課前布置的探究任務(wù).

探究1：（2024年新課標(biāo)I卷·14）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率是多少？

問題1：你是如何求解的？你遇到了哪些困難？這些困難是如何解決的？

學(xué)生展示分享自己的思路與解法，交流遇到的困難與解決的方法，

【設(shè)計(jì)意圖】該題具有一定的難度，在課前已經(jīng)布置學(xué)生獨(dú)立探究，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)．回顧概率內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維方法，充分展示學(xué)生的思路和解法．解法的多樣性，既體現(xiàn)了高考考查的基礎(chǔ)性，也為后續(xù)探究的展開作鋪墊.

環(huán)節(jié)3：組織討論，提出問題.

問題2：你還想探究什么問題？

活動(dòng)1：小組討論，交流提出的問題

追問：關(guān)于各三張牌的問題，你覺得熟悉嗎？這像什么問題？

生：田忌賽馬.

師：這個(gè)問題我們其實(shí)討論過．它是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)中的一道習(xí)題：齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各1匹分組分別進(jìn)行1場比賽，勝2場及以上者獲勝．若雙方均不知對(duì)方馬的出場順序，試求田忌獲勝的概率．或許，高考試題就來自于這道習(xí)題的拓展．我們不僅可以進(jìn)一步拓展甲、乙雙方擁有卡片的數(shù)目，推廣到 n ，并研究不同的問題，同時(shí)還可以增加選手的人數(shù)，變比賽為積分制.數(shù)學(xué)就是這樣有趣，變幻莫測，但富有規(guī)律，

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生間的交流討論，讓學(xué)生主動(dòng)提出問題，拓寬學(xué)生視野，激活學(xué)生思維．調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力，使他們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)觀點(diǎn)．在高考試題與田忌賽馬問題的聯(lián)系中，學(xué)生以數(shù)學(xué)視角回看歷史典故，感受到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科和生活緊密相關(guān)，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信，落實(shí)立德樹人根本任務(wù).

環(huán)節(jié)4：合理進(jìn)退，尋找方法.

問題3：你能選擇一個(gè)與探究1貼近的問題嗎？

學(xué)生自主選擇，在完善表達(dá)后，形成下面的探究2.

探究2：甲、乙兩人各有 n 張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，…， 2n-1 ，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，…， 2n ，兩人進(jìn)行 n 輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則 n 輪比賽后，甲的總得分不小于 的概率是多少？

問題4：你想怎樣探究呢？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生自主選擇要探究的問題，并思考研究方法．讓學(xué)生感受：面對(duì)一個(gè)新問題，重在思考解決問題的方法．從中發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略，提升學(xué)生的探究能力.

學(xué)生在分析思路的過程中遇到了困難．教師引導(dǎo)學(xué)生回看希爾伯特的話語，看一看當(dāng)數(shù)學(xué)家面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)，有過怎樣的想法.

追問1：回看希爾伯特的那段話，你對(duì)這個(gè)問題的解決有了怎樣的想法？

學(xué)生交流：問題沒能成功解決，可能是更簡單、更容易的問題還沒研究清楚，我想回到前面 n=4 的特殊情況，尋找方法來幫助解決.

【設(shè)計(jì)意圖】積極思考，回顧反思，基于已有經(jīng)驗(yàn)，逐步明確從特殊到一般的研究思路．學(xué)生自主制定研究思路，培養(yǎng)了分析問題的能力和探究的意識(shí).以學(xué)生為主體，尊重學(xué)生的發(fā)展.

接下來，回到探究1．當(dāng) n=4 時(shí)，我們已經(jīng)得到了甲的總得分 X 的概率分布列.

追問2：在前面求解探究1的方法中，哪些方法是可行的？

學(xué)生交流：在推廣到一般情形之后，其他方法似乎都不好處理．因此，需要利用對(duì)稱性來解決問題.

問題5：不枚舉，如何證明概率分布的對(duì)稱性？

追問1：怎樣利用“概率分布列是對(duì)稱的，但兩人實(shí)力‘不對(duì)稱””來幫助解決問題呢？

學(xué)生交流：換牌，把甲的1換成9.

【設(shè)計(jì)意圖】通過在特殊與一般之間合理進(jìn)退，深度挖掘特殊情形的特征．基于觀察到的對(duì)稱性，回顧與類比有關(guān)對(duì)稱性的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，嘗試選擇可行的方法，大膽猜想，敢于試探.

下面舉兩個(gè)例子感受一下.

（1）如圖2，將1換成9后，必輸?shù)?換成了必贏的9，此時(shí)新甲用最大的9對(duì)抗新乙中最小的2，得1分，則新乙得3分．在新的對(duì)局中，新乙水平更弱，因此新乙和原對(duì)局中原甲的地位相同．在原對(duì)局中，也有像這樣，較弱的一方用最小的卡片對(duì)抗較強(qiáng)的一方的最大的卡片，從而讓原乙得1分、原甲得3分的嗎？

學(xué)生交流：有的．甲：1，3，5，7；乙：8，2，4，6，此時(shí)較弱的一方甲的得分為3．這與甲：1，3，5，7；乙：2，4，6，8建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（2）如圖3，將1換成9后，必輸?shù)?換成了必贏的9，此時(shí)新甲用最大的9對(duì)抗新乙中最小的2，用第二大的7對(duì)抗新乙中第二大的6，得2分，則新乙得2分．在新的對(duì)局中，新乙水平更弱，因此新乙和原對(duì)局中原甲的地位相同．在原對(duì)局中，也有通過這樣的大小關(guān)系，使得原乙得2分、原甲得2分的嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從特殊出牌情況的對(duì)應(yīng)關(guān)系，猜想并證明一般出牌情況的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而證明概率分布的對(duì)稱性．在深入分析中，充分展示學(xué)生形成思路的過程，感受集合與對(duì)應(yīng)的思想；在靈活思考中，發(fā)展理性思維.

活動(dòng)2：證明當(dāng) n=4 時(shí)，甲的總得分不小于2的概率為

學(xué)生交流：考慮如下兩種對(duì)局.

① 原甲：1，3，5，7；原乙：2，4，6，8.記原甲的得分為 X ， X=0 ，1，2，3.

② 新甲：3，5，7，9；新乙：2，4，6，8.記新甲的得分為Y， Y=1 ，2，3，4；新乙的得分為 Z ，Z=0 ，1，2，3，則原甲和新乙的地位一致，即 X=Z 。

對(duì)于任何一種雙方的出牌情況，將1換成9后，1與2，4，6，8中的任意一個(gè)數(shù) k 的對(duì)應(yīng)，都變成9與 k 的對(duì)應(yīng)；反之，9與 k 的對(duì)應(yīng)，都變成1與 k 的對(duì)應(yīng)，其余不變.

因此，對(duì)局 ① 中，原甲得0分的所有情況，相當(dāng)于對(duì)局 ② 中，新甲得1分的所有情況.

所以 P（X=0）=P（Y=1）=P（Z=3）=P（X=3）.

同理， P（X=1）=P（Y=2）=P（Z=2）=P（X=2）.

因?yàn)?P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）=1， 所以 P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=1/2.

通過換牌，我們構(gòu)造一種新的優(yōu)劣關(guān)系對(duì)稱的對(duì)局，建立了與原對(duì)局的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用這種對(duì)應(yīng)，能證明概率的對(duì)稱性．這種方法克服了枚舉法的劣勢，是一種可遷移的方法，

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生獨(dú)立證明 n=4 時(shí)的結(jié)論，并小組交流．在此過程中，學(xué)生找到了可遷移的方法，提升了分析和解決問題的能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

學(xué)生交流：有的．甲：1，3，5，7；乙：8，2，6，4，此時(shí)較弱的一方甲的得分為2．這與甲：1，3，5，7；乙：2，4，8，6建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系.

追問2：既然把1換成9后，上面這兩種特殊的出牌情況下的對(duì)局之間都具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么是否所有的出牌情況之間都有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？能否利用這一對(duì)應(yīng)關(guān)系證明概率的對(duì)稱性呢？

環(huán)節(jié)5：推廣拓展，探求規(guī)律.

活動(dòng)3：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，小組討論 探究2，提出猜想并加以證明.

學(xué)生交流：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，考慮如下兩種對(duì)局

① 原甲：1，3，5 2n-1 ；原乙：2，4，6，…， 2n ·

② 新甲：3，5，7 2n+1 ；新乙：2，4，6，…， 2n ·

記原甲的得分為 X ， X=0 ，1，…， n-1

記新甲的得分為 Y ， Y=1 ，2，…， n ，新乙的得分為 Z ， Z=0 ，1，…， n-1

則兩對(duì)局中，原甲與新乙的地位完全一致.

根據(jù)前面的分析，原甲得0分

新甲得1分

新乙得 n-1 分

原甲得 n-1 分.

故 P（X=i）=P（Y=i+1）=P（Z=n-（i+1））=

所以

時(shí)間關(guān)系， n 為奇數(shù)的情形留給學(xué)生課后進(jìn)行探究.

【設(shè)計(jì)意圖】類比 n=4 時(shí)的情形，再次從特殊到一般提出猜想，利用對(duì)稱性與得分概率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系加以證明．學(xué)生在嚴(yán)謹(jǐn)證明中鍛煉了數(shù)學(xué)表達(dá)能力，在思維過程中領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，提升了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，符合高考考查的綜合性和創(chuàng)新性要求，

環(huán)節(jié)6：反思小結(jié)，提煉感悟.

問題6：本節(jié)課我們是如何展開數(shù)學(xué)探究的？小結(jié)你所經(jīng)歷的探究過程，并談?wù)勀愕恼J(rèn)識(shí).

本節(jié)課我們從高考試題出發(fā)，基于新情境，經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，明確了研究的思路．在對(duì)特殊情形的觀察、分析和歸納中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，并在特例中找到了可遷移的一般方法，幫助我們證明或否定猜想.

今天這節(jié)課我們只是截取了同學(xué)們探究的一個(gè)問題，圍繞它進(jìn)行了一般化的論證．根據(jù)大家提出的問題，我們不僅可以拓展卡片的數(shù)目，還可以拓展選手的數(shù)目、改變規(guī)則等，再增加各式各樣的變化．對(duì)這些問題進(jìn)一步豐富與充實(shí)，就會(huì)形成新的方法和模型．例如，信息學(xué)中的貪心算法、運(yùn)籌學(xué)中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法等，都有今天所研究問題的身影（如圖4）.

這種從特殊到一般的研究方法（如圖5），不僅可以探究數(shù)學(xué)問題，還可以用于解決其他各式各樣的問題．希望同學(xué)們?cè)谖磥淼纳钪校粩喟l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，探究數(shù)學(xué)的魅力，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生自主小結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)探究的一般思路．引發(fā)學(xué)生再思考，激發(fā)探索欲及數(shù)學(xué)探究的興趣．在問題解決與數(shù)學(xué)建模中，融會(huì)貫通“四基”“四能”，持續(xù)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

六、課堂教學(xué)評(píng)價(jià)與作業(yè)設(shè)計(jì)

本節(jié)課通過組織學(xué)生活動(dòng)和小組討論，展開過程性評(píng)價(jià).

課后作業(yè)分層設(shè)計(jì)如下.思考·運(yùn)用：

1.回顧本節(jié)課的探究過程，思考是否有其他方法可以證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的猜想？當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，嘗試求解探究2.

2.在近三年的高考試題中，選擇一道與“新情境下的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)探究”有關(guān)的試題，嘗試求解，并小組分享你的探究經(jīng)驗(yàn).

探究·拓展：

在同學(xué)們所提的其他問題中，選擇一個(gè)問題嘗試探究.

[設(shè)計(jì)意圖]課后作業(yè)分層布置，鞏固研究思路，反饋診斷學(xué)情，為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供充分的學(xué)習(xí)空間，改進(jìn)學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化吸收、拓展提升.

七、幾點(diǎn)思考

關(guān)于本節(jié)課，主要有以下四點(diǎn)思考，

（1）基于單元設(shè)計(jì)，課前、課中、課后都在探究，這才是一節(jié)完整的數(shù)學(xué)探究課.

（2）思維的工具是語言，而語言的運(yùn)用促進(jìn)了思維的發(fā)展.本節(jié)課為學(xué)生充分提供了展示、交流、分享的空間，學(xué)生能提出自己的問題，展示思路的優(yōu)勢與不足，在猜想與試探中允許試錯(cuò)，用數(shù)學(xué)語言解釋想法、完成證明.

（3）課后作業(yè)讓學(xué)生在回顧所學(xué)的同時(shí)分層提升.對(duì)于探究2的證明還有許多方法，不一定需要換牌才能完成.課后就有學(xué)生分享了直接構(gòu)造對(duì)應(yīng)關(guān)系證明對(duì)稱性的其他方法.學(xué)生在再思考、再創(chuàng)造中，反思感悟，促進(jìn)升華.

（4）本節(jié)課通過問題串設(shè)計(jì)推進(jìn)思維過程，以思維發(fā)展為主線，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過程，形成一般思路;培養(yǎng)學(xué)生的探究習(xí)慣，使其感受數(shù)學(xué)的魅力;發(fā)展學(xué)生的理性思維，樹立創(chuàng)新精神.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心.中國高考評(píng)價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2019.